2020届二轮复习微专题9　解析几何中的探索性问题课件（29张）（江苏专用）

2020届二轮复习微专题9　解析几何中的探索性问题课件（29张）（江苏专用）

微专题 9 解析几何中的探索性问题 微专题9　解析几何中的探索性问题 题型一　定值问题的探索 例1    (2018南京高三第三次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :   +   =1 ( a > b >0)经过点 P   ,离心率为   . 已知过点 M   的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)试问 x 轴上是否存在定点 N ,使得   ·   为定值?若存在,求出点 N 的坐标;若 不存在,请说明理由. 解析 　(1)离心率 e =   =   , 所以 c =   a , b =   =   a . 所以椭圆 C 的方程为   +   =1. 因为椭圆 C 经过点 P   ,所以   +   =1. 所以 b 2 =1.所以椭圆 C 的方程为   + y 2 =1. (2)设 N ( n ,0).当直线 l 的斜率存在时,设 l : y = k   . 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),由   消去 y , 得(4 k 2 +1) x 2 -   k 2 x +   k 2 -4=0, 所以 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . 所以   ·   =( x 1 - n )( x 2 - n )+ y 1 y 2 =( x 1 - n )( x 2 - n )+ k 2     =( k 2 +1) x 1 x 2 -   ( x 1 + x 2 )+ n 2 +   k 2 =( k 2 +1)   -     + n 2 +   k 2 =   + n 2 =   + n 2 . 若   ·   为常数,则   为常数. 设   = λ , λ 为常数, 则   k 2 -4=4 λk 2 + λ 对任意的实数 k 恒成立, 所以   所以   此时   ·   =12. 当直线 l 的斜率不存在时,设 A   , B   , 则 y 2 =1-   =   . 所以   ·   =   - y 2 =   -   =12. 所以在 x 轴上存在定点 N (4,0),使得   ·   为定值. 【方法归纳】　定值问题的探索一般有两种思路,一是利用特殊值法求出定 值,再证明对一般情况也成立;二是直接探索求解,即根据条件联立直线方程 与椭圆方程,结合斜率公式、根与系数的关系等计算. 1-1     (2019扬州第一学期期中,17)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 x -3 y -10 =0与圆 O : x 2 + y 2 = r 2 ( r >0)相切. (1)直线 l 过点(2,1)且被圆 O 截得的弦长为2   ,求直线 l 的方程; (2)已知直线 y =3与圆 O 交于 A , B 两点, P 是圆上异于 A , B 的任意一点,且直线 AP , BP 与 y 轴相交于 M , N 点.判断点 M 、 N 的纵坐标之积是不是定值.若是,求出该定 值;若不是,说明理由. 解析 　∵直线 x -3 y -10=0与圆 O : x 2 + y 2 = r 2 ( r >0)相切, ∴圆心 O 到直线 x -3 y -10=0的距离为 r =   =   . (1)记圆心 O 到直线 l 的距离为 d ,则 d =   =2. 当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x =2,满足题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y -1= k ( x -2), 即 kx - y +(1-2 k )=0, 所以 d =   =2,解得 k =-   , 此时直线 l 的方程为3 x +4 y -10=0. 综上,直线 l 的方程为 x =2或3 x +4 y -10=0. (2)是定值.设 P ( x 0 , y 0 ),不妨取 A (1,3), B (-1,3), 由题意易知直线 PA , PB 的斜率均存在. ∴直线 PA 、 PB 的方程分别为 y -3=   ( x -1), y -3=   ( x +1), 令 x =0,得 M   , N   , 则 y M · y N =   ·   =   .(*) 因为点 P ( x 0 , y 0 )在圆 C 上,所以   +   =10, 即   =10-   ,代入(*)式得 y M · y N =   =10,为定值. 题型二　定点问题的探索 例2     (2018南京师大附中高三模拟)如图,已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)的左、 右焦点分别为 F 1 , F 2 ,若椭圆 C 经过点(0,   ),离心率为   ,直线 l 过点 F 2 ,与椭圆 C 交于 A , B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 N 为△ F 1 AF 2 的内心(三角形三条内角平分线的交点),求△ F 1 NF 2 与△ F 1 AF 2 面积的比值; (3)设点 A , F 2 , B 在直线 x =4上的射影依次为点 D , G , E .连接 AE , BD ,试问当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T ?若是,请求出定点 T 的坐标; 若不是,请说明理由. 解析 　(1)由题意, b =   .又因为   =   ,所以   =   . 所以 a =2.所以椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)因为点 N 为△ F 1 AF 2 的内心, 所以点 N 为△ F 1 AF 2 的内切圆的圆心.设该圆的半径为 r , 则   =   =   =   =   . (3)当直线 l 的斜率不存在时,四边形 ABED 是矩形,此时 AE 与 BD 交于 F 2 G 的中 点   . 证明如下:当直线 l 的倾斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点 T   . 设直线 l 的方程为 y = k ( x -1).由   化简,得 (3+4 k 2 ) x 2 -8 k 2 x +4 k 2 -12=0. 因为直线 l 经过椭圆 C 内的点(1,0),所以 Δ >0. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   . 由题意, D (4, y 1 ), E (4, y 2 ), 直线 AE 的方程为 y - y 2 =   ( x -4). 令 x =   ,得 y = y 2 +   ×   =   =   =   =   =   =   =   =0. 所以点 T   在直线 AE 上.同理可证,点 T   在直线 BD 上. 所以当直线 l 的倾 斜角变化时,直线 AE 与 BD 相交于定点 T   . 【方法归纳】    定点问题的探索思路一般也有两种:一是利用图形的对称性 分析出定点所在的位置,或者利用特殊位置求出可能的定点,再验证对一般情 况也成立;二是直接设出定点坐标,由条件建立恒等式,弄清定点与哪个量无 关,整理为关于这个量的恒等式,利用对应项系数相等建立方程组求解,常用 方法一. 2-1     (2019南京金陵中学检测,18)已知圆 O : x 2 + y 2 =4,点 F (1,0), P 为平面内一动 点,以线段 FP 为直径的圆内切于圆 O ,设动点 P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)已知 M , N 是曲线 C 上的动点,且直线 MN 经过定点   ,问在 y 轴上是否存在 定点 Q ,使得∠ MQO =∠ NQO ?若存在,请求出定点 Q ;若不存在,请说明理由. 解析 　(1)设 PF 的中点为 S ,切点为 T ,连接 OS , ST , 则| OS |+| ST |=| OT |=2, 取 F 关于 y 轴的对称点 F ',连接 F ' P , 故| F ' P |+| FP |=2(| OS |+| SF |)=4. 所以点 P 的轨迹是以 F ', F 为焦点,长轴长为4的椭圆. 其中, a =2, c =1,所以曲线 C 的方程为   +   =1. (2)假设存在满足题意的定点 Q ,设 Q (0, m ). 当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y = kx +   , M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), x 1 ≠ 0,且 x 2 ≠ 0. 由   消去 x ,得(3+4 k 2 ) x 2 +4 kx -11=0, 由直线 MN 过椭圆内一点   知 Δ >0, 由根与系数的关系得 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   , 由∠ MQO =∠ NQO ,得直线 MQ 与 NQ 斜率的和为零, 故   +   =   +   =   =0, 即2 kx 1 x 2 +   ( x 1 + x 2 ) =2 k ·   +   ·   =   =0. 当 k ≠ 0时, m =6, k =0时, m =6也符合题意.故存在定点(0,6)符合题意. 当直线 MN 斜率不存在时,定点(0,6)也符合题意. 综上, y 轴上存在定点(0,6),使得∠ MQO =∠ NQO . 题型三　其他问题的探索 例3     (2018苏北四市高三第一次调研)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭 圆   +   =1( a > b >0)的离心率为   ,且过点   . F 为椭圆的右焦点, A , B 为椭圆 上关于原点对称的两点,连接 AF , BF ,分别交椭圆于 C , D 两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若| AF |=| FC |,求   的值; (3)设直线 AB , CD 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,是否存在实数 m ,使得 k 2 = mk 1 ?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 解析 　(1)设椭圆的方程为   +   =1( a > b >0). 由题意得   解得   所以椭圆的方程为   +   =1. (2)若| AF |=| FC |,由椭圆对称性,知 A   ,所以 B   , 此时直线 BF 的方程为3 x -4 y -3=0. 由   得7 x 2 -6 x -13=0,解得 x =   ( x =-1舍去). 故   =   =   . (3)设 A ( x 0 , y 0 ),则 B (- x 0 ,- y 0 ), 直线 AF 的方程为 y =   ( x -1).代入椭圆的方程   +   =1,得(15-6 x 0 ) x 2 -8   -15   + 24 x 0 =0. 因为 x = x 0 是该方程的一个解,所以点 C 的横坐标 x C =   .又 C ( x C , y C )在直线 y =   ( x -1)上, 所以 y C =   ( x C -1)=   . 同理,点 D 的坐标为   , 所以 k 2 =   =   =   k 1 , 即存在 m =   ,使得 k 2 =   k 1 . 【方法归纳】　椭圆中探索性问题的关键是计算,包括计算方法的选择、计 算结果的正确性,对运算求解能力有较高要求,而运算能力的提高功在平时, 所以平时认真计算,不偷懒是关键.