西藏自治区拉萨那曲第二高级中学2020届高三月考数学（文）试题

西藏自治区拉萨那曲第二高级中学2020届高三月考数学（文）试题

数学（文科）试卷 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束后，只需将答题卡上交.‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先解出集合A,进而得到结果．‎ 详解】解：由集合A得,‎ 所以 故答案选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．‎ ‎2.复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，由复数虚部的概念即可得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 所以复数的虚部为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算与复数虚部的概念，属于基础题.‎ ‎3.在数列中，，则（ ）‎ A. 101 B. ‎100 ‎C. 99 D. 98‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合等差数列的概念可得数列是首项为1，公差的等差数列，由等差数列的通项公式即可得解.‎ ‎【详解】，，‎ 数列是首项为1，公差的等差数列，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列概念及通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.设平面向量，若，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合平面向量平行的性质可得，即可得解.‎ ‎【详解】，，，‎ ‎，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量平行性质的应用，属于基础题.‎ ‎5.的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式可得，计算即可得解.‎ ‎【详解】由题意 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式的应用及特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎6.设，则“”是“且”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得“”与“且”之间的推出关系，结合充分条件和必要条件的概念即可得解.‎ ‎【详解】当，时，满足，所以“”不能推出“且”；‎ 若且，则，即，所以“且”能推出“”；‎ 所以“”是“且”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，属于基础题.‎ ‎7.已知，且，则角是（ ）‎ A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由以及绝对值的定义可得,再结合已知得,根据三角函数的符号法则可得.‎ ‎【详解】由，可知，结合，得，‎ 所以角是第四象限角，‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了三角函数的符号法则,属于基础题.‎ ‎8. 如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由算法流程图知s＝0＋＋＋＝.选C.‎ ‎9.设变量x,y满足约束条件，则目标函数最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出可行域，转化目标函数，数形结合即可得解.‎ ‎【详解】由题画出可行域，如图阴影部分，‎ 目标函数可转化为，上下平移直线，‎ 数形结合可知，当直线过点A时，取最小值，‎ 由可得点，此时.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.‎ ‎10.已知平面向量，满足，，则=（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意设，转化条件得，再由即可得解.‎ ‎【详解】设，‎ ‎，，，‎ 又，，化简得，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积的坐标表示，考查了垂直关系的向量表示，属于基础题.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 角的终边经过点,根据三角函数的定义得到， ‎ 故答案选B．‎ ‎12.已知函数在上单调，且函数的图象关于直线对称，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前100项的和为（ ）‎ A. 300 B. ‎100 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1轴对称，平移可得y＝f（x）的图象关于x＝﹣1对称，由题意可得a50+a51＝﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．‎ ‎【详解】函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1对称，‎ 可得y＝f（x）的图象关于x＝﹣1对称，‎ 由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），‎ 可得a50+a51＝﹣2，又{an}是等差数列，‎ 所以a1+a100＝a50+a51＝﹣2，‎ 则{an}的前100项的和为100‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.在数列中，已知，若是的个位数字，则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意逐步计算出、、、、，即可得解.‎ ‎【详解】，是的个位数字，‎ 即；即；即；即；‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14.已知是第三象限的角，若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合同角三角函数的商数关系可得，再由同角三角函数的平方关系即可得，结合是第三象限的角即可得解.‎ ‎【详解】，即，‎ ‎，‎ 又是第三象限的角，，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，属于基础题.‎ ‎15.设是等比数列的前项和，，则此数列的公比____________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，，化简后即可得解.‎ ‎【详解】设等比数列的首项为，公比为，‎ ‎，，‎ ‎，化简可得，‎ 解得或 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列前n项和的基本量运算，属于基础题.‎ ‎16.已知向量，．若，则与的夹角为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合，可以求出的值，再根据平面向量夹角公式求出与的夹角.‎ ‎【详解】因为，所以，即，‎ 因此，设与的夹角为，因此有 ‎，因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列的前项和为．‎ ‎（1）求出它的通项公式；‎ ‎（2）求使得最小时的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可求的通项.‎ ‎（2）利用二次函数的性质可求的最小值.‎ ‎【详解】（1）当时，；‎ 当时, ‎ 也适合此式，. ‎ ‎（2）‎ 又因为是正整数，所以当或8时，最小.‎ ‎【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.而可表示为，因此可利用二次函数的图像和性质来讨论其最值.‎ ‎18.的内角的对边分别为，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；‎ ‎（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 则，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为的面积为，所以，即，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.‎ ‎19.如图，某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项 测试．这25位学生的考分编成的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同．‎ ‎（Ⅰ）求这两个班学生成绩的中位数及x的值；‎ ‎（Ⅱ）如果将这些成绩分为“优秀”（得分在175分 以上，包括175分）和“过关”，若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率．‎ ‎【答案】（1） x=7；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）中位数是数据由小到大排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数；‎ ‎（Ⅱ）考查的是古典概型概率，求解时需要找到所有基本事件总数种与满足题意要求的基本事件种数共7中，所以概率为.‎ ‎【详解】（Ⅰ）甲班学生成绩的中位数为．‎ 乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157，故x=7； ‎ ‎（Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有1人入选”．‎ 设甲班两位优生为A，B，乙班三位优生为1，2，3．‎ 则从5人中选出3人的所有方法种数为：‎ ‎（A，B，1），（A，B，2），（A，B，3），（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），‎ ‎（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）共10种情况， ‎ 其中至多1名甲班同学的情况共（A，1，2），（A，1，3），（A，2，3），（B，1，2），（B，1，3），（B，2，3），（1，2，3）7种． ‎ 由古典概型概率计算公式可得P（A）=．‎ 考点：1．中位数；2．古典概型概率 ‎20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设椭圆C的方程为，根据它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，得到，又，由此求出椭圆C的标准方程.‎ ‎（Ⅱ）设，，，直线l的方程为，代入方程，得，由此利用韦达定理结合已知条件能求出的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，‎ 抛物线方程化为，其焦点为 ‎ 则椭圆C的一个顶点为，即，‎ 由，解得，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为，‎ ‎∴椭圆C的右焦点 设，，，由题意知直线l的斜率存在，‎ 设直线l的方程为，代入方程，‎ 并整理，得， ‎ ‎∴，， ‎ 又，，，，‎ 而，，‎ 即，，‎ ‎∴，， ‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数f（x）＝x﹣1（a∈R，e为自然对数的底数）‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值 ‎（2）求函数f（x）的极值．‎ ‎【答案】（1）a＝e；（2）当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x＝lna处取到极小值lna，无极大值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出f（x）的导数，依题意，f′（1）＝0，从而可求得a的值；‎ ‎（2）f′（x）＝1，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值；‎ ‎【详解】解：（1）由f（x）＝x﹣1，得f′（x）＝1，‎ 又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，‎ ‎∴f′（1）＝0，即10，解得a＝e；‎ ‎（2）f′（x）＝1，‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值；‎ ‎②当a＞0时，令f′（x）＝0，得ex＝a，x＝lna，‎ x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0；‎ ‎∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，‎ 故f（x）在x＝lna处取到极小值，且极小值为f（lna）＝lna，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，f（x）无极值；‎ 当a＞0时，f（x）在x＝lna处取极小值lna，无极大值．‎ ‎【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请在答题卡上涂上相应的题号.‎ 选修4—4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于，两点，若点的坐标为，求．‎ ‎【答案】（1）直线l的普通方程为；圆C的直角坐标方程为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线的参数方程消去参数可直接得到普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得到圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线参数方程代入圆的直角坐标方程，结合韦达定理，根据参数的方法，即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)由直线的参数方程(为参数)得直线的普通方程为 由,得,即圆的直角坐标方程为．‎ ‎(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，‎ 即，‎ 由于>0,‎ 故可设，是上述方程的两个实根，‎ 所以 又直线过点P(3,)，‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23.已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；‎ ‎(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.‎ 详解：（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.‎