安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三6月模拟考试数学（文）试卷

安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三6月模拟考试数学（文）试卷

文科数学 考试时间120分钟 ，满分150分。仅在答题卷上作答。‎ 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) ‎ ‎1.设集合， ，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.设复数z=+i（i为虚数单位），则|z|= A. B. C. D.2‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎4.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.设为等差数列的前项和,且,则 ‎ A. 28 B. 14 C. 7 D. 2‎ ‎6.已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.某校李老师本学期任高一A班、B班两个班数学课教学，两个班都是50个学生，下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比，根据图表信息，下列不正确的结论是 ‎ A. A班的数学成绩平均水平好于B班 B. B班的数学成绩没有A班稳定 C. 下次B班的数学平均分高于A班 D. 在第一次考试中，A、B两个班总平均分为78分 ‎8.如图， 直线经过函数（，） 图象的最高点和最低点，则 ‎ A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎9.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点，为抛物线上的任一点，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形的面积最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.函数（其中是自然对数的底数）的大致图像为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若 ,，则的大小关系是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若函数的定义域为R，其导函数为．若恒成立， ，则解集为 A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.已知，且，则_________________.‎ ‎14.若满足，则的最小值为______．‎ ‎15.椭圆的右焦点为，左顶点为，线段的中点为，圆过点，且与交于， 是等腰直角三角形，则圆的标准方程是____________‎ ‎16.已知是两个不同的平面， 是两条不同的直线，有下列命题：‎ ‎①若平行于同一平面，则与平行；‎ ‎②若， ，则；‎ ‎③若不平行，则在内不存在与平行的直线；‎ ‎④若， ，则且；‎ ‎⑤若， ，则与所成角等于与所成角.‎ 其中真命题有__________．（填写所有正确命题的编号）‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) ‎ ‎17. （本题12分）‎ 已知数列满足，，设．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求．‎ ‎18. （本题12分）‎ ‎“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：‎ ‎“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；‎ ‎“江南梅雨无限愁”.‎ 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量（/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？‎ ‎（完善列联表，并说明理由）.‎ 亩产量降雨量 合计 ‎<600‎ ‎2‎ ‎1‎ 合计 ‎10‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.703‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎19. （本题12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，.‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积.‎ ‎20. （本题12分）‎ 已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上一点，且，的方程为，过点作直线，与抛物线和依次交于.（如图所示）‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎21. （本题12分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)若，求函数的单调区间；‎ ‎(2)若的极小值点，求实数a的取值范围。‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答。注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，解答时请写清题号。‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ 写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；‎ 若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于， 两点，弦的中点为，求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）‎ 若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若正实数满足，求的最小值.‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C A A B B C A D D B D ‎1.C【解析】因为，‎ 所以，选C.‎ ‎2.C【解析】复数z= 则|z|= ． 故选：C．‎ ‎3.A【解析】由题意结合可设，‎ 则由,得|(x,y)−(1,1)|=|(1,−1)|，‎ 据此可得：(x−1)2+(y−1)2=2，‎ 即对应点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，‎ ‎∵圆过圆心，‎ ‎∴的最大值为圆的直径，故选：A ‎4.A ‎【解析】‎ 抠点法，在长方体中抠点,1.由正视图可知: 上没有点;‎ ‎2.由侧视图可知: 上没有点; 3.由俯视图可知: 上没有点;4.由正（俯）视图可知: ‎ 处有点,由虚线可知处有点, 点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示, ,，故选.‎ ‎5.B【解析】由等差数列的性质求得，利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.‎ 因为，‎ 所以 ‎，故选B.‎ ‎6.B【解析】由奇函数的图象经过点先求出，的值，得到函数表达式；接下来分析该几何体为矩形绕轴旋转而得，进而判断出它是一个圆柱，设其半径为，结合题意即可表示出圆柱的体积，由基本不等式即可求出其最值.‎ 由，及得，，，，‎ 如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径，‎ 令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根，‎ 所以 于是圆柱的体积，‎ 当且仅当，即时，等号成立.故选B ‎7.C【解析】A班的5次数学测试平均分分别为81,80,81,80,85，5次的平均分，B班的5次数学测试平均分分别为75,80,76,85,80，5次的平均分为，A班的数学平均分好于B班，选项A正确；由于A班的成绩都在80分附近，而B班的平均分变化很大，所以A班成绩稳定些，选项B正确；下次考试A，B班的平均分不能预料，所以选项C错误；在第一次考试中，总平均分为分，选项D正确，故选C.‎ ‎8.A【解析】由，分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和，‎ 代入直线得其横坐标分别为和，‎ 故，，得，故，故，‎ 代入得，‎ 故，所以 因为，所以，故选A．‎ ‎9.D【解析】设，则，进而得最值.‎ 由题意可知抛物线的方程为，圆恒的圆心为，半径为．‎ 设，则 所以当时，切线长取得最小值，‎ 此时四边形的面积取得最小值，最小值为，故选D．‎ ‎10.D【解析】由题意得，函数点定义域为且，所以定义域关于原点对称，‎ ‎ 且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，‎ ‎ 故选D.‎ ‎11.B【解析】由于，所以.故选B.‎ ‎12.D ‎【解析】由已知有，令，则，函数在R单调递减， ，由有，则，故选D. ‎ ‎13.‎ ‎【解析】，且，‎ ‎，‎ ‎.故答案为 ‎14.‎ ‎【解析】‎ 画出约束条件对应的平面区域如下图示：‎ 由，可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时， ‎ 直线在轴上的截距最大，‎ 此时，目标函数有最小值：，故答案为．‎ ‎15.‎ ‎【解析】如图设A（﹣a，0），可得a＞1，c＝1，b2＝a2﹣1，‎ 线段AF的中点为B（，0），‎ 圆F的圆心为F（1，0），半径r＝|BF|，‎ 设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，﹣n），‎ 由△BDE为等腰直角三角形，可得kBD＝1，‎ 即1，即n＝m，‎ 由D在圆F：（x﹣1）2+y2＝（）2上，‎ 可得（m﹣1）2+（m）2＝（）2，‎ 化简可得（m﹣1）（2m﹣1+a）＝0，‎ 解得m＝1或m（舍去），‎ 则n，‎ 将D（1，）代入椭圆方程，可得 ‎1，‎ 化简可得a＝2或（舍去），‎ 则圆F的标准方程为（x﹣1）2+y2，‎ 故答案为：（x﹣1）2+y2．‎ ‎16.②⑤‎ ‎【解析】①还可以相交或异面；③若不平行，则相交，设，在内存在直线，使得，则；④还可能在平面内或平面内．‎ ‎②⑤正确.‎ ‎17.（1），；（2）是等比数列，理由详见解析；（3）.‎ ‎【解析】数列满足，，‎ 当时，，‎ 解得：．‎ 当时，‎ 解得：．‎ 当时，，‎ 所以：．‎ 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列．‎ 由和得：，‎ 所以：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎18. 乙 ‎【解析】频率分布直方图中第四组的频率为. ‎ 所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为 ‎.‎ 根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为.‎ 进而完善列联表如图.‎ 亩产量降雨量 ‎200～400之间 ‎200～400之外 合计 ‎<600‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎6‎ 合计 ‎7‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎.‎ 故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.‎ 而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅.‎ ‎19.（1）证明：因为，则，‎ 又侧面底面，‎ 面面，面，‎ 则面 面，则 又因为，为平行四边形，‎ 则，又 则为等边三角形，则为菱形，‎ 则 又，则面，‎ 面，则面面 ‎（2）由平面把四面体分成体积相等的两部分，则为中点 由，，得 由知为菱形，则 又由知面，则 则 则 ‎20.（1）；（2）． ‎ ‎【解析】由在抛物线上得，‎ 又由得，‎ 解得，，又，故.‎ 所以抛物线的方程为.………………4分 由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为.‎ 则圆心到直线的距离为，‎ ‎.………………6分 设，，‎ 由得，‎ 则，由抛物线定义知，………………8分 ‎.………………10分 设，则 ‎，，‎ 函数在上都是单调递增函数， ‎ 当时即时，有最小值.………………12分 ‎21.（1）单调减区间为，单调增区间为 （2）‎ ‎【解析】（1）由题 ‎ 由，得 ‎ 由，得；由，得 的单调减区间为，单调增区间为 ‎ ‎（2）， ‎ ‎ 因为是的极小值点，所以 ，即， ‎ 所以 ‎ ‎1°当时，在上单调递减；‎ ‎ 在上单调递增；‎ 所以是的极小值点，符合题意； ‎ ‎2°当时，‎ 在上单调递增；‎ ‎ 在上单调递减；在上单调递增；‎ 所以是的极小值点，符合题意； ‎ ‎3°当时， 在上单调递增，‎ 无极值点，不合题意 ‎ ‎4°当时，‎ 在上单调递增；‎ 在上单调递减；‎ 在上单调递增；‎ 所以是的极大值点，不符合题意； ‎ 综上知，所求的取值范围为 ‎22.(Ⅰ)曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为： ‎ ‎.(Ⅱ) .‎ ‎【解析】由题意的方程为： 可得的普通方程为： ， ‎ 将代入曲线方程可得： .‎ 因为曲线的极坐标方程为，‎ 所以.‎ 又， ， .‎ 所以.‎ 所以曲线的极坐标方程为： ；曲线的直角坐标方程为： ‎ ‎.‎ 因为点，化为直角坐标为所以.‎ 因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得： ，‎ 所以由韦达定理： ， ，‎ 所以.‎ ‎23.（1）（2）3‎ 解析：（1）因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 从而实数的最大值.‎ ‎（2）因为 ‎ ‎，‎ 所以，从而，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.’’‎