安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三6月模拟考试数学(文)试卷

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文档介绍

安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三6月模拟考试数学(文)试卷

文科数学 考试时间120分钟 ,满分150分。仅在答题卷上作答。‎ 第I卷 选择题(共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) ‎ ‎1.设集合, ,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.设复数z=+i(i为虚数单位),则|z|= A. B. C. D.2‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎4.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.设为等差数列的前项和,且,则 ‎ A. 28 B. 14 C. 7 D. 2‎ ‎6.已知奇函数的图象经过点,若矩形的顶点在轴上,顶点在函数的图象上,则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.某校李老师本学期任高一A班、B班两个班数学课教学,两个班都是50个学生,下图反映的是两个班在本学期5次数学检测中的班级平均分对比,根据图表信息,下列不正确的结论是 ‎ A. A班的数学成绩平均水平好于B班 B. B班的数学成绩没有A班稳定 C. 下次B班的数学平均分高于A班 D. 在第一次考试中,A、B两个班总平均分为78分 ‎8.如图, 直线经过函数(,) 图象的最高点和最低点,则 ‎ A. , B. , C. , D. , ‎ ‎9.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点,为抛物线上的任一点,过点作圆的切线,切点分别为,则四边形的面积最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11.已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递减,若 ,,则的大小关系是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若函数的定义域为R,其导函数为.若恒成立, ,则解集为 A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题(共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题-第23题为选考题,考生根据要求作答。‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.已知,且,则_________________.‎ ‎14.若满足,则的最小值为______.‎ ‎15.椭圆的右焦点为,左顶点为,线段的中点为,圆过点,且与交于, 是等腰直角三角形,则圆的标准方程是____________‎ ‎16.已知是两个不同的平面, 是两条不同的直线,有下列命题:‎ ‎①若平行于同一平面,则与平行;‎ ‎②若, ,则;‎ ‎③若不平行,则在内不存在与平行的直线;‎ ‎④若, ,则且;‎ ‎⑤若, ,则与所成角等于与所成角.‎ 其中真命题有__________.(填写所有正确命题的编号)‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) ‎ ‎17. (本题12分)‎ 已知数列满足,,设.‎ ‎(1)求,;‎ ‎(2)判断数列是否为等比数列,并说明理由;‎ ‎(3)求.‎ ‎18. (本题12分)‎ ‎“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南镇2009~2018年梅雨季节的降雨量(单位:)的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:‎ ‎“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量;‎ ‎“江南梅雨无限愁”.‎ 镇的杨梅种植户老李也在犯愁,他过去种植的甲品种杨梅,他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大(把握超过八成).而乙品种杨梅2009~2018年的亩产量(/亩)与降雨量的发生频数(年)如列联表所示(部分数据缺失).请你帮助老李排解忧愁,他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小?‎ ‎(完善列联表,并说明理由).‎ 亩产量降雨量 合计 ‎<600‎ ‎2‎ ‎1‎ 合计 ‎10‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.703‎ ‎(参考公式:,其中)‎ ‎19. (本题12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,.‎ ‎(1)求证:面面;‎ ‎(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求三棱锥的体积.‎ ‎20. (本题12分)‎ 已知点是抛物线的焦点,点是抛物线上一点,且,的方程为,过点作直线,与抛物线和依次交于.(如图所示)‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)求的最小值.‎ ‎21. (本题12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若的极小值点,求实数a的取值范围。‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答。注意:只能做选定的题目,如果多做,则按所做的第一题计分,解答时请写清题号。‎ ‎22. [选修4-4:坐标系与参数方程](本题10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ 写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程;‎ 若过点(极坐标)且倾斜角为的直线与曲线交于, 两点,弦的中点为,求的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](本题10分)‎ 若关于的不等式的解集为,记实数的最大值为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若正实数满足,求的最小值.‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C C A A B B C A D D B D ‎1.C【解析】因为,‎ 所以,选C.‎ ‎2.C【解析】复数z= 则|z|= . 故选:C.‎ ‎3.A【解析】由题意结合可设,‎ 则由,得|(x,y)−(1,1)|=|(1,−1)|,‎ 据此可得:(x−1)2+(y−1)2=2,‎ 即对应点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上,‎ ‎∵圆过圆心,‎ ‎∴的最大值为圆的直径,故选:A ‎4.A ‎【解析】‎ 抠点法,在长方体中抠点,1.由正视图可知: 上没有点;‎ ‎2.由侧视图可知: 上没有点; 3.由俯视图可知: 上没有点;4.由正(俯)视图可知: ‎ 处有点,由虚线可知处有点, 点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示, ,,故选.‎ ‎5.B【解析】由等差数列的性质求得,利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.‎ 因为,‎ 所以 ‎,故选B.‎ ‎6.B【解析】由奇函数的图象经过点先求出,的值,得到函数表达式;接下来分析该几何体为矩形绕轴旋转而得,进而判断出它是一个圆柱,设其半径为,结合题意即可表示出圆柱的体积,由基本不等式即可求出其最值.‎ 由,及得,,,,‎ 如图,不妨设点在轴的上方,不难知该旋转体为圆柱,半径,‎ 令,整理得,则为这个一元二次方程的两不等实根,‎ 所以 于是圆柱的体积,‎ 当且仅当,即时,等号成立.故选B ‎7.C【解析】A班的5次数学测试平均分分别为81,80,81,80,85,5次的平均分,B班的5次数学测试平均分分别为75,80,76,85,80,5次的平均分为,A班的数学平均分好于B班,选项A正确;由于A班的成绩都在80分附近,而B班的平均分变化很大,所以A班成绩稳定些,选项B正确;下次考试A,B班的平均分不能预料,所以选项C错误;在第一次考试中,总平均分为分,选项D正确,故选C.‎ ‎8.A【解析】由,分别是图象的最高点和最低点得其纵坐标为1和,‎ 代入直线得其横坐标分别为和,‎ 故,,得,故,故,‎ 代入得,‎ 故,所以 因为,所以,故选A.‎ ‎9.D【解析】设,则,进而得最值.‎ 由题意可知抛物线的方程为,圆恒的圆心为,半径为.‎ 设,则 所以当时,切线长取得最小值,‎ 此时四边形的面积取得最小值,最小值为,故选D.‎ ‎10.D【解析】由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称,‎ ‎ 且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,‎ ‎ 故选D.‎ ‎11.B【解析】由于,所以.故选B.‎ ‎12.D ‎【解析】由已知有,令,则,函数在R单调递减, ,由有,则,故选D. ‎ ‎13.‎ ‎【解析】,且,‎ ‎,‎ ‎.故答案为 ‎14.‎ ‎【解析】‎ 画出约束条件对应的平面区域如下图示:‎ 由,可得,‎ 将变形为,‎ 平移直线,‎ 由图可知当直经过点时, ‎ 直线在轴上的截距最大,‎ 此时,目标函数有最小值:,故答案为.‎ ‎15.‎ ‎【解析】如图设A(﹣a,0),可得a>1,c=1,b2=a2﹣1,‎ 线段AF的中点为B(,0),‎ 圆F的圆心为F(1,0),半径r=|BF|,‎ 设D(m,n),(m>0,n>0),E(m,﹣n),‎ 由△BDE为等腰直角三角形,可得kBD=1,‎ 即1,即n=m,‎ 由D在圆F:(x﹣1)2+y2=()2上,‎ 可得(m﹣1)2+(m)2=()2,‎ 化简可得(m﹣1)(2m﹣1+a)=0,‎ 解得m=1或m(舍去),‎ 则n,‎ 将D(1,)代入椭圆方程,可得 ‎1,‎ 化简可得a=2或(舍去),‎ 则圆F的标准方程为(x﹣1)2+y2,‎ 故答案为:(x﹣1)2+y2.‎ ‎16.②⑤‎ ‎【解析】①还可以相交或异面;③若不平行,则相交,设,在内存在直线,使得,则;④还可能在平面内或平面内.‎ ‎②⑤正确.‎ ‎17.(1),;(2)是等比数列,理由详见解析;(3).‎ ‎【解析】数列满足,,‎ 当时,,‎ 解得:.‎ 当时,‎ 解得:.‎ 当时,,‎ 所以:.‎ 则数列为以2为首项,2为公比的等比数列.‎ 由和得:,‎ 所以:,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎18. 乙 ‎【解析】频率分布直方图中第四组的频率为. ‎ 所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为 ‎.‎ 根据频率分布直方图可知,降雨量在200~400之间的频数为.‎ 进而完善列联表如图.‎ 亩产量降雨量 ‎200~400之间 ‎200~400之外 合计 ‎<600‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎6‎ 合计 ‎7‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎.‎ 故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.‎ 而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成,故老李来年应该种植乙品种杨梅.‎ ‎19.(1)证明:因为,则,‎ 又侧面底面,‎ 面面,面,‎ 则面 面,则 又因为,为平行四边形,‎ 则,又 则为等边三角形,则为菱形,‎ 则 又,则面,‎ 面,则面面 ‎(2)由平面把四面体分成体积相等的两部分,则为中点 由,,得 由知为菱形,则 又由知面,则 则 则 ‎20.(1);(2). ‎ ‎【解析】由在抛物线上得,‎ 又由得,‎ 解得,,又,故.‎ 所以抛物线的方程为.………………4分 由题知直线的斜率一定存在,设直线的方程为.‎ 则圆心到直线的距离为,‎ ‎.………………6分 设,,‎ 由得,‎ 则,由抛物线定义知,………………8分 ‎.………………10分 设,则 ‎,,‎ 函数在上都是单调递增函数, ‎ 当时即时,有最小值.………………12分 ‎21.(1)单调减区间为,单调增区间为 (2)‎ ‎【解析】(1)由题 ‎ 由,得 ‎ 由,得;由,得 的单调减区间为,单调增区间为 ‎ ‎(2), ‎ ‎ 因为是的极小值点,所以 ,即, ‎ 所以 ‎ ‎1°当时,在上单调递减;‎ ‎ 在上单调递增;‎ 所以是的极小值点,符合题意; ‎ ‎2°当时,‎ 在上单调递增;‎ ‎ 在上单调递减;在上单调递增;‎ 所以是的极小值点,符合题意; ‎ ‎3°当时, 在上单调递增,‎ 无极值点,不合题意 ‎ ‎4°当时,‎ 在上单调递增;‎ 在上单调递减;‎ 在上单调递增;‎ 所以是的极大值点,不符合题意; ‎ 综上知,所求的取值范围为 ‎22.(Ⅰ)曲线的极坐标方程为: ;曲线的直角坐标方程为: ‎ ‎.(Ⅱ) .‎ ‎【解析】由题意的方程为: 可得的普通方程为: , ‎ 将代入曲线方程可得: .‎ 因为曲线的极坐标方程为,‎ 所以.‎ 又, , .‎ 所以.‎ 所以曲线的极坐标方程为: ;曲线的直角坐标方程为: ‎ ‎.‎ 因为点,化为直角坐标为所以.‎ 因为直线过点且倾斜角为,所以直线的参数方程为(为参数),代入中可得: ,‎ 所以由韦达定理: , ,‎ 所以.‎ ‎23.(1)(2)3‎ 解析:(1)因为,所以,‎ 又因为,所以,‎ 从而实数的最大值.‎ ‎(2)因为 ‎ ‎,‎ 所以,从而,‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 所以的最小值为.’’‎
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