2018-2019学年广西钦州市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年广西钦州市高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年广西钦州市高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题首先可以根据抛物线方程得出焦点所在位置以及的值，然后就可以得出焦点坐标，最后得出结果。‎ ‎【详解】‎ 由抛物线方程可知，抛物线的焦点在轴正方向上，且，‎ 故焦点坐标为，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的相关性质，考查根据抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，考查计算能力，考查对抛物线焦点坐标的理解，是简单题。‎ ‎2．2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，节目组为热心广众给以奖励，要从2018名观众中抽取50名幸运观众，先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每个人被抽到的可能性（ ）‎ A．均不相等 B．不全相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 ‎【答案】C ‎【解析】由简单随机抽样的特点即可判断出结果.‎ ‎【详解】‎ 简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，且被抽到的概率为样本容量比上总体容量，‎ 故在2018人中，每个人被抽到的可能性都相等，且为.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单随机抽样，熟记简单随机抽样的特点即可求解，属于基础题型.‎ ‎3．若为实数，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由充分条件与必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】‎ 若，则，即“”是“”的充分条件；‎ 但是当时，可得或，即由不能推出，所以“”不是“”的必要条件；‎ 综上，“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可求解，属于基础题型.‎ ‎4．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件，则的对立事件是（ ）‎ A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品 C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品 ‎【答案】D ‎【解析】由对立事件的概念可知，直接写出其对立事件即可.‎ ‎【详解】‎ ‎“至少抽到2件次品”的对立事件为“至多抽到1件次品”，故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查对立事件的概念，熟记对立事件的概念即可求解，属于基础题型.‎ ‎5．在空间直角坐标系中，已知点，过点作平面的垂线，垂足为，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由过点作平面的垂线，垂足的坐标为，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为过点作平面的垂线，垂足为，所以可得两点的横坐标与竖坐标相同，只纵坐标不同，且在平面中所有点的纵坐标都是0，因为，所以有.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题型.‎ ‎6．已知命题，；，，若“且”为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题首先可以根据“且”为真命题得出命题与命题的真假性，然后根据命题与命题的真假性来分别求出命题与命题所对应的实数的取值范围，最后得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为“且”为真命题，所以命题是真命题，命题是真命题 因为且命题是真命题，所以，‎ 因为且命题是真命题，所以，‎ 综上所述，实数的取值范围是，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查逻辑联结词的相关性质，主要考查逻辑联结词中的“且”的相关性质，如果“且”为真命题，则命题是真命题且命题是真命题，是中档题。‎ ‎7．正四面体中，D是AB边的中点，P是线段AB上的动点，记SP与BC所成角为，SP与底面ABC所成角为，二面角为，则下列正确的是 ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先分别求出二面角以及直线与所成的角，再结合题中条件即可判定出结果.‎ ‎【详解】‎ 设正四面体的各边长均为，连结，，取中点，底面的重心记作，连结，，由题意可得在底面的投影为，且为的一个三等分点，所以有，，‎ 所以即为与所成的角，即为二面角即，同时也是直线与底面所成的角，‎ 因此，‎ 当由向靠近时，不变，逐渐增大，所以逐渐减小；当与重合时，与所成角的值为，当由向靠近时，逐渐增大，故，‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间角的综合问题，需要考生掌握着立体几何法求空间角，即作辅助线找到所求空间角，进而即可求解，属于中档试题.‎ ‎8．平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为(　　)‎ A．－2 B．－8 C．0 D．－6‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为为共线向量，从而，故．‎ ‎【详解】‎ 因为共线，故存在实数使得，故，所以，，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 空间向量中有三个定理：‎ ‎（1）共线向量基本定理：如果为共线向量，则存在实数使得．‎ ‎（2）共面向量基本定理：为不共线向量，若与共面，则存在实数使得，该定理就是平面向量基本定理．‎ ‎（3）空间向量基本定理：如果为不共面向量，则对于空间的任意向量，存在唯一的有序实数对，使得．该定理和平面向量基本定理有类似的应用即可把空间向量的问题基底化．‎ ‎9．如图，圆内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点不在圆内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆半径为 ，因为扇形面积为 ，所以该点不在圆 内的概率为 ，选C.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎10．已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，是直角三角形，则的面积为（ ）‎ A． B．或4 C． D．或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据椭圆的方程可得，若若轴 或，结合直角三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积，若P为椭圆短轴的一个端点则不可能有 ‎【详解】‎ ‎∵椭圆方程为， ∴a2=5，b2=4，可得c2=a2-b2=1， 即 ， 若轴或 ，把 代入椭圆方程得，解得 ∴△PF1F2的面积 ‎ 若P为椭圆短轴的一个端点 则在中故不可能有 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆中是直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．‎ ‎11．设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，可求出．得到.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点为（0，2）， ∴椭圆的焦点在y轴上， ∴c=2， 由离心率 e=，可得a=4，∴b2=a2-c2=，‎ 故.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，注意分析双曲线焦点的位置．‎ ‎12．某学校在数学联赛的成绩中抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的分布直方图，这100名学生成绩的中位数估值为（ ）‎ A．80 B．82 C．82.5 D．84‎ ‎【答案】B ‎【解析】中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，，中位数为，故选B.‎ ‎13．秦久韶是我国南宋时期的著名数学家，他在其著作《数书九章》中提出的多项式求值的算法，被称为秦久韶算法，下图为用该算法对某多项式求值的程序框图，执行该程序框图，若输入的，则输出的为（ ）‎ A．1 B．3 C．7 D．15‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题首先要确定输入程序框图的初始值为、、，然后在程序框图中找出运算的关系式，最后通过程序框图运行，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 输入，，，‎ 第一次运算：；‎ 第二次运算：；‎ 第三次运算：；‎ 第四次运算：，此时，‎ 综上所述输出的为15，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的相关性质，主要考查了程序框图的循环结构，考查了推理能力，在计算程序框图时一定要能够准确的找出运算的关系式，是简单题。‎ ‎14．正方体的棱长为1，则二面角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出正方体，取中点，连结交于点，连结，说明即是二面角的平面角，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，取中点，连结交于点，连结，，则，，‎ 所以即是二面角的平面角，‎ 又因正方体棱长为1，所以，所以，又，‎ 所以在，即二面角的余弦值为，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查求二面角的大小，可用立体几何法在几何体中作出二面角的平面角，通过解三角形即可求解，属于基础题型.‎ ‎15．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，结合题中数据，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设点到平面的距离为，因为正方体的棱长为1，所以 由题意可知，即，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间中点到面的距离，等体积法求点到面的距离是最常用的一种做法，属于基础题型.‎ 二、填空题 ‎16．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是__________．‎ ‎【答案】90.5‎ ‎【解析】本题首先可以通过茎叶图得出8个班参加合唱比赛的得分，然后将得分从小到大排列，最后通过中位数的性质即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 本题一共八个数字，分别是，‎ 故中位数是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图以及中位数的相关性质，能否根据茎叶图确定所有的数据是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题。‎ ‎17．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．‎ ‎【答案】0.72‎ ‎【解析】根据对立事件的概率公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，‎ 所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查对立事件的概率公式，熟记对立事件的概念及概率计算公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎18．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，点是弦的中点，则直线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先设出两点的坐标，代入椭圆方程，再两式作差，结合弦的中点坐标即可求出直线的方程，再由直线的点斜式方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设，因为直线与椭圆相交于两点，‎ 所以有，两式作差得：整理得，‎ 因为点是弦的中点，所以，所以，‎ 所以直线的方程为，整理得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的中点弦所在直线方程的问题，通常需要设出两交点坐标，代入椭圆方程，两式作差，结合中点坐标即可求出直线斜率，再由直线的点斜式即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎19．某公司调查了商品的广告投入费用（万元）与销售利润（万元）的统计数据，如下表：‎ 广告费用（万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售利润（万元）‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ 由表中的数据得线性回归方程为，则当时，销售利润的估值为__________．‎ 其中：，.‎ ‎【答案】12.2‎ ‎【解析】先求出，的平均数，再由题中所给公式计算出和，进而得出线性回归方程，将代入，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题中数据可得：，，‎ 所以，‎ 所以，故回归直线方程为，‎ 所以当时，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程，需要考生掌握住最小二乘法求与，属于基础题型.‎ ‎20．若回归直线的斜率估值为1.23，样本中心点为，当时，估计的值为___．‎ ‎【答案】2.54‎ ‎【解析】本题首先可以通过斜率估值为得出，再通过样本中心点为得出以及回归直线方程，最后带入，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为回归直线的斜率估值为1.23，‎ 所以，，‎ 因为样本中心点为，‎ 所以，，，‎ 带入，。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是回归直线的相关性质，主要考查回归直线方程的求解以及用回归直线方程求值，考查计算能力，是简单题。‎ 三、解答题 ‎21．已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题方程表示双曲线.‎ ‎（1）若命题是真命题，求实数的范围；‎ ‎（2）若命题“或”为真命题，“且”是假命题，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆，根据椭圆的几何性质可得，，求解不等式可得答案；由双曲线的几何性质求出为真命题的的范围，结合，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若命题p是真命题，则，解得；‎ 若命题q为真命题，则，即．‎ 命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假．‎ 当p真q假时，，得；‎ 当p假q真时，，解得或．‎ 实数m的取值范围时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假判断，考查椭圆与双曲线的性质，是中档题．解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎22．读下列程序：‎ ‎（1）根据程序，画出对应的程序框图；‎ ‎（2）写出该程序表示的函数，并求出当输出的时，输入的的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据题目所给程序即可画出程序框图；‎ ‎（2）首先可以根据程序框图得出该程序所表示的函数，然后将带入，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对应的程序框图如图所示：‎ ‎（2）该程序表示的函数是，‎ 当时，由得， ‎ 当时，由得， ‎ 综上所述，当输出的时，输入的的值是。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的相关性质，主要考查了程序框图的条件结构，考查了函数方程思想，考查了推理能力，是中档题。‎ ‎23．某高中三年级的甲、乙两个同学同时参加某大学的自主招生，在申请的材料中提交了某学科10次的考试成绩，记录如下：‎ 甲：78 86 95 97 88 82 76 89 92 95‎ 乙：73 83 69 82 93 86 79 75 84 99‎ ‎（1）根据两组数据，作出两人成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两人本学科成绩平均值的大小关系及方差的大小关系（不要求计算具体值，直接写出结论即可）‎ ‎（2）现将两人的名次分为三个等级：‎ 成绩分数 等级 合格 良好 优秀 根据所给数据，从甲、乙获得“优秀”的成绩组合中随机选取一组，求选中甲同学成绩高于乙同学成绩的组合的概率.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）以十位为茎，个位数为叶，即可作出茎叶图，由茎叶图的特征即可比较两人的平均成绩以及方差；‎ ‎（2）用列举法分别列举出从甲、乙均获得“优秀”的成绩组合的基本事件，以及甲同学成绩高于乙同学成绩组合的基本事件，结合古典概型的概率计算公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图如图：‎ 通过茎叶图可以看出，甲成绩的平均值高于乙成绩的平均值，‎ 故甲成绩的方差小于乙成绩的方差。‎ ‎（2）由表中的数据，甲优秀的数据为：95，97，92，95；‎ 乙优秀的数据为：93，99，　 ‎ 从甲、乙均获得“优秀”的成绩组合的基本事件有：‎ ‎（95，93），（95，99），（97，93），（97，99），（92，93），（92，99），（95，93），（95，99）共8种不同的取法，　　　‎ 甲同学成绩高于乙同学成绩组合的基本事件是：（95，93），（97，93），（95，93）共3种不同的取法，所以，选中甲同学优秀成绩高于乙同学优秀成绩的组合的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图的特征以及古典概型的问题，需要考生熟记概念以及古典概型的概率计算公式，属于基础题型.‎ ‎24．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为.‎ ‎（1）若记“”为事件，求事件发生的概率；‎ ‎（2）若记“”为事件，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）首先可以确定骰子抛掷次一共有多少种结果，然后确定满足的有多少种结果，最后即可得出结果。‎ ‎（2）通过确定事件B发生的基本事件的数目即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将一颗质地均匀的骰子抛掷次，它的点数有这种结果，‎ 抛掷第次，它的点数有这种结果，‎ 因为骰子共抛掷次，所以共有种结果， ‎ 事件A发生的基本事件有：共种结果， ‎ 所以事件A发生的概率为；‎ ‎（2）事件B发生的基本事件有：共6种结果，所以事件B发生的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是古典概型概率的求法，解题的关键是正确得到基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，其中常用的方法是列举法，列举时要完整，属于基础题。‎ ‎25．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，‎ ‎，点分别是和的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）先建立空间直角坐标系，求出直线与直线的方向向量，由向量数量积为0，即可证明两向量垂直，进而可得直线垂直；‎ ‎（2）先由（1）可得，所以是平面的一个法向量，求出的坐标，再求出平面的一个法向量，由两向量夹角的余弦值确定二面角的余弦值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）建立如图的空间直角坐标系，‎ 由已知可得，，，‎ 所以，，‎ 所以， ‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，，而，‎ 所以是平面的一个法向量，，‎ 设平面的法向量为，由，得 ‎，‎ 令，得，‎ 设向量和向量的夹角为，‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的方法在立体几何中的应用，通常需要建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量的夹角确定空间角即可，属于常考题型.‎ ‎26．椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定点满足题意.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为列方程组求出，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线方程为，由 得，，根据韦达定理及斜率公式可得，令，可得符合题意.‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，‎ ‎∴，解得，‎ 所以椭圆的方程为：；‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，‎ 由得，，‎ 设，‎ 假设存在定点符合题意，∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，‎ 当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，‎ 显然此时，综上，存在定点满足题意．‎ ‎27．设抛物线，点，，过点的直线与抛物线交于两点.‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析 ‎【解析】（1）由与轴垂直，可得直线的方程，代入抛物线方程可求出M的坐标，进而可求出直线方程；‎ ‎（2）分直线与轴垂直和与轴不垂直两种情况讨论，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理分别表示出与，证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当与轴垂直时，的方程为，‎ 可得的坐标为（2，2）或（2，–2）．‎ 所以直线的方程为或．‎ ‎（2）当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以． ‎ 当与轴不垂直时，设的方程为，，‎ 则，．‎ 由得，可知．　　 ‎ 直线的斜率之和为 ‎．①‎ 将，及，的表达式代入①式分子，可得 ‎． ‎ 所以，可知的倾斜角互补，所以．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的综合，常需要用到联立直线与抛物线方程联立，以及韦达定理等，解题思路比较清晰，但计算量稍大，需要考生认真对待，属于常考题型.‎