2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考数学（文）试题 一、选择题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A. 150 B. 120 C. 60 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线的倾斜角为，则， ，故选B.‎ ‎2．点的直角坐标为，则它的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】点的直角坐标为， ，所以 ， 的极坐标为，故选A.‎ ‎3．抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，由，得，则，则抛物线的准线方程为，故选C.‎ ‎4．圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 ‎【答案】B ‎【解析】圆和圆的圆心坐标分别为和，半径分别为和圆心之间的距离， ，则两圆的位置关系是相交，故选B.‎ ‎5．圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】化为 ，圆心坐标为，半径为，双曲线的渐近线方程为，可得圆心到双曲线的渐近线的距离为，故选A.‎ ‎6．若双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的焦点在 轴上， ， 该椭圆的焦点为以椭圆的焦点为焦点，短半轴长为实轴长的双曲线焦点也 轴上，且有： ，则， 该双曲线的标准方程为，故选B.‎ ‎7．过两直线和的交点，并与原点的距离等于 的直线有（ ）条 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，求得，故两直线和的交点，再根据，可得过点且与原点的距离等于的直线有两条，故选C.‎ ‎8．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】略 ‎9．与圆及圆都外切的圆的圆心的轨迹为 A. 椭圆 B. 双曲线一支 C. 抛物线 D. 圆 ‎【答案】B ‎【解析】,设两个圆心分别为，设动圆圆心为P（x,y）,则，所以是双曲线的一支。‎ ‎10．、分别是椭圆的左顶点和上顶点， 是该椭圆上的动点，则点到直线 的距离的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由椭圆方程可得，可得方程为，即，设，则点到直线 的距离为 ，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查椭圆的方程与性质及利用三角函数求最值，属于难题. 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.‎ ‎11．已知直线 被椭圆截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为2017的有（ ）‎ ‎① ② ③ ④ ‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】C ‎【解析】由于直线被椭圆截得的弦长为， 与直线，分别关于原点、 轴、 轴对称，根据椭圆的对称性可得： ， 被椭圆截得的弦长也为，，而直线被椭圆截得弦长大于，综上可得被椭圆截得弦长一定为的有①③④，故选C.‎ ‎12．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图所示，抛物线的焦点，圆的圆心坐标是，半径，设，由抛物线的定义可知， ，显然直线不可能平行于轴，设直线的方程为代入到抛物线的方程中，得， ，显然， ，等号成立当且仅当和同时成立，即等号成立当且仅当， 的最小值是，故选B.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及基本不等式求最值，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，本题就是将转化为到准线的距离后，再利用韦达定理与基本不等式使问题得到解决的.‎ 二、填空题 ‎13．直线（为参数）的斜率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的参数方程为为参数）消去参数得，则直线的斜率为，故答案为.‎ ‎14．直线x－2y＋2＝0经过椭圆＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线x－2y＋2＝0与坐标轴的交点为(－2，0)，(0,1)，依题意得，‎ c＝2，b＝1⇒a＝⇒e＝.‎ ‎15．已知P为椭圆上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,,则△F1PF2的面积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎16．已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上， 是坐标原点， 是以为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线的离心率是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为等腰三角形， ，又为直角三角形，设，则，可得， ， ，故答案为.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据题设条件结合双曲线的定义以及勾股定理找出之间的关系，求出离心率．‎ 三、解答题 ‎17．已知过抛物线的焦点，且平行于直线的直线交抛物线于、（）两点,若，求该抛物线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：直线的方程是与联立，根据韦达定理可得，由抛物线定义得， ，从而抛物线方程是.‎ 试题解析：直线的方程是，与联立，从而有，所以，由抛物线定义得，∴，‎ 从而抛物线方程为．‎ ‎18．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为，圆与直线交于，两点，点的直角坐标为．‎ ‎（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由移项、平方消去参数可得直线的普通方程，利用 即可得圆的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义可得的值. ‎ 试题解析：（1）由消去参数，得到直线的普通方程为，把，，代入，得：圆的直角坐标方程，即． ‎ ‎（2）把（为参数）代入，化简得： ，由于，所以设，是该方程的两根．所以， ，所以，又直线过，所以 ‎19．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. ‎ ‎（1）求这两曲线的方程；‎ ‎（2）若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值.‎ ‎【答案】（1）和；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设椭圆长、短半轴长分别为，双曲线半实、虚轴长分别为，列出，解出参数的值，即可得出椭圆与双曲线的方程；（2）不妨设分别为左、右焦点， 是第一象限的一个交点，则 ‎， ，再利用余弦定理得出，求值即可.‎ 试题解析：（1）由题意知，半焦距，设椭圆长半轴为，则双曲线实半轴，离心率之比为，∴，∴椭圆的短半轴等于，双曲线虚半轴的长为，∴椭圆和双曲线的方程分别为： 和. （2）由椭圆的定义得： ，由双曲线的定义得： ，∴与中，一个是10，另一个是 4，不妨令， ，又，三角形中，利用余弦定理得： ，∴‎ ‎20．已知圆的圆心在直线上，且与直线相切，被直线截得的弦长为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若、满足圆的方程，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设圆的圆心为，半径为，利用点到直线距离公式以及勾股定理列方程组，求出 与 的值，即可得结果；（2）由题意， 、满足两圆的方程，所以只需两圆有公共点即可，根据两圆的位置关系，即可得结果.‎ 试题解析：（1）设圆的圆心为，半径为，则有 ，解得 所以圆的方程为. ‎ ‎（2），‎ 设，，所以，因为，所以，所以，从而的取值范围为.‎ ‎21．已知为坐标原点， 是椭圆上的点，设动点满足.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）设点，,则由 ，得，利用“逆代法”可得动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线,联立可得，，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式将面积用 表示，利用基本不等式 即可得结.‎ 试题解析：（1）设点，,则由，得，即，，因为点在椭圆，所以，故，即动点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）由曲线与直线联立得，消得，因为直线与曲线交于， 两点，所以，又，所以.‎ 设， ，则， ，因为点到直线 ‎： 的距离， ，所以 ，，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查逆代法求曲线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最大值的.‎ ‎22．已知椭圆过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点， 为原点.‎ ‎①求证： ；‎ ‎②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明: 为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆过定点以及椭圆的离心率可得，解得的值，由椭圆的定义可得的值，将的值代入椭圆方程即可得答案；（2）①设过椭圆的上顶点的直线的方程为，与抛物线方程联立，设出点的坐标，由根与系数的关系分析计算的值，由向量数量积的性质可得证明；②直线 与抛物线联立，由韦达定理及平面向量数量积公式可得， 的等量关系，结合点到直线距离公式可得结果.‎ 试题解析：(1) ，所以，又，解得，，‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）①证明：设、，依题意，直线一定有斜率， 的方程为，‎ 联立方程消去得 ，，又，，‎ ‎②证明：设、，直线的方程为，，，，联立方程消去得 ，‎ ‎，，‎ 而 由 得 ‎，即. 所以为定值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎