2018-2019学年湖北省咸宁市高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省咸宁市高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省咸宁市高二下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．实数集R，设集合，则 A．[2，3] B．(1，3) C．(2，3] D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出集合P，Q，从而求出，进而求出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合P＝{x|y}＝{x|}＝{x|}，‎ ‎＝，‎ ‎∴＝{x|或}，‎ ‎∴＝{x|x≤﹣2或x1}＝（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查并集、补集的求法，涉及函数的定义域及不等式的解法问题，是基础题．‎ ‎2．将代入检验，下列式子成立的是()‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】代入逐项检验是否正确.‎ ‎【详解】‎ A：，，不相等，故错误；‎ B：，，不相等，故错误；‎ C：，，不相等，故错误；‎ D：，，相等，故正确；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角函数值判断等式是否成立,难度较易.常见的三倍角公式有：‎ ‎，.‎ ‎3．已知函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求，再求，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.‎ ‎4．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是（ ）‎ A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.‎ 详解：①的命题否定为，故①的假设正确.‎ 或”的否定应是“且”② 的假设错误，‎ 所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.‎ 点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.‎ ‎5．某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：‎ ‎2018年与2015年比较，下列结论正确的是（ ）‎ A．一本达线人数减少 B．二本达线人数增加了0.5倍 C．艺体达线人数相同 D．不上线的人数有所增加 ‎【答案】D ‎【解析】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.分别根据扇形图算出2015和2018年一本、二本、艺术生上线人数以及落榜生人数，再进行比较即可.‎ ‎【详解】‎ 不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.‎ ‎2015年一本达线人数为28,2018年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故选项错误；‎ ‎2015年二本达线人数为32，2018年二本达线人数为60，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项错误；‎ 艺体达线比例没变，但是高考人数是不相同的，所以艺体达线人数不相同，故选项错误；‎ ‎2015年不上线人数为32,2018年不上线人数为42，不上线人数有所增加，选项正确. 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对扇形图的理解与应用，意在考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力，属于简单题.‎ ‎6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入，.那么在①处应填（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意， S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础，读懂程序的功能是关键.‎ ‎7．已知实数满足，则函数的零点在下列哪个区间内 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由3a＝5可得a值，分析函数为增函数，依次分析f（﹣2）、f（﹣1）、f（0）的值，由函数零点存在性定理得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，实数a满足3a＝5，则a＝log35＞1，‎ 则函数为增函数，‎ 且f（﹣2）＝（log35）﹣2+2×（﹣2）﹣log53＜0，‎ f（﹣1）＝（log35）﹣1+2×（﹣1）﹣log53＝﹣2＜0，‎ f（0）＝（log35）0﹣log53＝1﹣log53＞0，‎ 由函数零点存在性可知函数f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点存在性定理的应用，分析函数的单调性是关键．‎ ‎8．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：‎ ‎（单位：℃）‎ ‎（单位：千瓦·时）‎ 由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（ ）‎ A．千瓦·时 B．千瓦·时 C．千瓦·时 D．千瓦·时 ‎【答案】A ‎【解析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得 ，代入回归直线可求得；代入回归方程后，可预报当气温为℃时，当天的用电量。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 代入回归直线方程，求得 ‎ 所以回归直线方程为 当温度为℃时，代入求得千瓦·时 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程的简单应用，注意回归直线方程一定经过样本的中心点，而不是样本的某个点，属于基础题。‎ ‎9．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，(c是常数)，则不等式的解集是()‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据以及奇偶性计算的值，然后根据奇偶性和单调性解不等式.‎ ‎【详解】‎ 因为是偶函数，所以，所以，所以；又因为时是增函数且，所以时是减函数且；所以，解得：，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，难度一般.对于利用奇偶性、单调性解不等式的问题，除了可以直接分析外，还可以利用函数图象分析.‎ ‎10．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率后求解切线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，若为奇函数，‎ 可得，所以函数，可得，‎ 曲线在点处的切线的斜率为：，‎ 曲线在点处的切线方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎11．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．‎ ‎【详解】‎ 解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，‎ 如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，‎ 根据勾股定理得a2+b2＝c2，‎ 即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，‎ 所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，‎ 第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，‎ 如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，‎ 正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形B的面积，‎ 正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，‎ 所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，‎ ‎…‎ 以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，‎ 第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．‎ ‎12．已知函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将题中的问题转化为方程在上有解，即方程在有解的问题处理，然后再转化为两函数的图象有公共点求解，借助导数的几何意义和图象可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ 函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，‎ ‎∴方程在上有解，‎ 即方程在上有解，‎ ‎∴方程在有解．‎ 设，，则两函数的图象有公共点．‎ 由得．‎ 若为的切线，且切点为，‎ 则有，解得，‎ 结合函数图象可得若两函数的图象有公共点，则需满足．‎ 所以实数的取值范围是．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查转化思想和数形结合思想的应用，解题的关键是把两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，具有综合性，难度较大．‎ 二、填空题 ‎13．已知i是虚数单位，复数满足=，则复数________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对进行化简，再由复数的除法运算，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎14．若函数，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】利用诱导公式对变形，从而计算最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎，所以，‎ 此时，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式的使用：‎ ‎，.‎ ‎15．已知对数函数的图象过点，则不等式的解集______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，利用点求得的值，利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 设，代入点得，故，即.故原不等式可化为，即，解得，故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数函数解析式的求法，考查对数不等式的解法，属于中档题.‎ ‎16．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：‎ 同意限定区域停车 不同意限定区域停车 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 则认为“是否同意限定区域停产与家长的性别有关”的把握约为__________．‎ 附：，其中.‎ ‎0.050‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】99.5%. ‎ ‎【解析】分析：利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论.‎ 详解：因为K2= ≈8.333‎ 又 P（k2≥7.789）=0.005=0.5%． ‎ 故答案为：99.5%.‎ 所以，我们有99.5%的把握恩威是否同意限定区域停车与家长的性别有关．‎ 点睛：本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角C；（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎（2）‎ 又 ‎，‎ 的周长为 ‎【考点】正余弦定理解三角形.‎ ‎18．已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若对，均成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）求的导数，讨论时和时，由导数大于0可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）题目转化为，由（1）得讨论知时不合题意；时，解不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为，‎ 当时，，所以在上为增函数；‎ 当时，是增函数；‎ 是减函数.‎ 综上所述：当时，在上为增函数;‎ 当时，增区间是，减区间是.‎ ‎（2）由（1）知当时，在上为增函数，无最大值；‎ 当时，‎ 所以，则所以，实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性及最值的应用，不等式恒成立问题，分类讨论要全面，注意题目的等价转化，是中档题 ‎19．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数．‎ ‎【答案】(1) 散点图见解析.为正相关 ‎(2) .‎ ‎(3)7.‎ ‎【解析】分析：（1）根据表中数据，画出散点图即可； （2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可； （3）由线性回归方程预测x=9时，y的平均值为7‎ 详解：‎ ‎　(1)散点图如图所示.为正相关.‎ xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106.＝＝6,＝＝4,‎ x＝42＋52＋72＋82＝154,‎ 则＝＝＝1,＝－＝4－6＝－2,‎ 故线性回归方程为＝x＋＝x－2.‎ ‎(3)由线性回归方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7. ‎ 点睛：‎ 本题考查了统计知识中的画散点图与求线性回归方程的应用问题，解题的关键是求出线性归回方程中的系数，是基础题目．‎ ‎20．已知命题“函数的定义域为R”；命题“，使得不等式成立”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】通过为真命题，为假命题，判断出的真假性；定义域为，被开方数恒大于等于零，分类考虑与的关系；将存在性问题转化为与最值之间的关系从而计算出的范围；综合考虑真假性，求解出的范围.‎ ‎【详解】‎ 依题意，和q一真一假，故p和q同真或同假，‎ 若p真，则或，‎ 解得．‎ 若q真，则，令，则，，‎ 所以的值域为，若命题q为真，则．‎ 若和q同真，则；‎ 若和q同假，或，‎ 故实数的取值范围为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查常用逻辑用语的综合应用，难度一般.存在性问题如：已知存在区间，有，则必有：；恒成立问题如：已知任意区间，有 ‎，则必有：.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）讨论函数零点的个数.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】(1),对函数求导，研究函数的单调性，求函数最小值，证得函数的最小值大于0；（2）对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值和极值，进而得到参数的范围.‎ ‎【详解】‎ 证明：当时，.‎ 令则 当时，；当时，，时，‎ 所以在上单调递减，在单调递增，‎ 所以是的极小值点，也是最小值点，‎ 即 故当时，成立，‎ ‎ ，由得.‎ 当时，；当时，，‎ 所以在上单调减，在单调增，‎ 所以是函数得极小值点，也是最小值点，‎ 即 当，即时，没有零点，‎ 当，即时，只有一个零点，‎ 当，即时，因为所以在上只有一个零点；‎ 由，得，令，则得，所以，于是在在上有一个零点；‎ 因此，当时，有两个零点.‎ 综上，时，没有零点；‎ 时，只有一个零点；‎ 时，有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系中,直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求出线的极坐标方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点为曲线上的任意一点,求点到直线的距离最大值．‎ ‎【答案】（1）曲线的极坐标方程，直线的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】（1）先求解的普通方程，然后将其转化为极坐标方程；（2）设出点的参数形式，利用点到直线的距离公式以及三角函数有界性求解最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的参数方程为（为参数)，‎ 消去方程中的可得普通方程为，‎ 将，代入上式得．‎ 所以曲线的极坐标方程．‎ 直线l的极坐标方程为，即，‎ 将，代人上式，得，‎ 所以直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2)设为曲线上任一点，‎ 则点P到直线l的距离，‎ ‎∴当时，的最大值，‎ ‎∴点P到直线l的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）直角坐标与极坐标的互化：，；‎ ‎（2）利用参数方程，将点设成三角函数表示的参数形式可用于计算曲线上的点到直线的距离问题，求解对应最值可根据三角函数的有界性完成求解即可.‎ ‎23．已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，使得，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）不等式变形后构造新函数，采用零点分段的形式解不等式并求解集；（2）根据（1）中的新函数以及存在性问题对应的参数与最值的关系，列出不等式求解出 的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时原不等式可化为：，‎ 设，‎ 则或或，‎ 即．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（2)若存在使得成立，等价于有解，‎ 由(1)即有解，即，‎ 由(1)可知，在单调递增，在单调递减．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）求解绝对值不等式的解集，常用的方法有：几何意义法、零点分段法、图象法；‎ ‎（2）存在性问题如：已知存在区间，有，则必有：.‎