2019-2020学年河南省南阳市高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省南阳市高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省南阳市高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据集合交集与补集的概念，直接计算，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，又，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．下列函数，表示的是相同函数的是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据相同函数的概念，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 若函数相同，则定义域相同，对应关系一致；‎ A选项，函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是相同函数，故A错；‎ B选项，函数与的定义域为，且，对应关系也相同，故B正确；‎ C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是相同函数，故C错；‎ D选项，函数和的定义域均为，但对应关系不一致，故D错；‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查相同函数的判定，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎3．函数的定义域是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题中解析式，列出不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，解得，‎ 即函数的定义域是.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.‎ ‎4．已知，则在下列区间中，有零点的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的零点存在定理，直接判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ ‎，，，‎ 所以，‎ 又函数连续不间断，‎ 因此在区间，函数有零点.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断零点所在区间，熟记零点存在定理即可，属于基础题型.‎ ‎5．在映射中，，且，则元素在的作用下的原像为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先设元素在的作用下的原像为，根据题意列出方程组求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 设元素在的作用下的原像为，‎ 因为，‎ 所以，解得，即原像为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查映射的应用，熟记映射的概念，以及二元一次方程组的解法即可，属于基础题型.‎ ‎6．设，，则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先分析得到，再比较b,c的大小关系得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎7．已知，则是( )‎ A．奇函数，在上为增函数 B．偶函数，在上为增函数 C．奇函数，在上为减函数 D．偶函数，在上为减函数 ‎【答案】A ‎【解析】先由函数奇偶性的概念，判断是奇函数；再由指数函数的单调性判断单调递增.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，‎ 因此函数是奇函数；‎ 又单调递增，单调递减，所以单调递增；‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性与单调性的判定，熟记奇偶性的概念，以及指数函数的单调性即可，属于常考题型.‎ ‎8．设函数则满足的的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数解析式，分别求出，时，的解集，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，，所以可化为，‎ 因此，解得：；所以；‎ 当时，，所以可化为，‎ 即，解得：，所以；‎ 综上，满足的的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记指数函数与对数函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎9．已知二次函数在区间上的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由二次函数性质，得到函数单调性，求出最小值，再令，得出当时，的值域为；结合题意，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为二次函数开口向上，且对称轴为：，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 因此，当且仅当时，取最小值；‎ 令，解得或，‎ 所以当时，的值域为；‎ 又函数在区间上的最小值为，最大值为，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查由二次函数在给定区间的最值求参数的问题，熟记二次函数性质即可，属于常考题型.‎ ‎10．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由题意得到二次函数在区间是增函数，且 在上恒成立；列出不等式组求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数在区间是减函数，‎ 所以只需二次函数在区间是增函数，且在上恒成立；‎ 所以有：，解得；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查由对数型复合函数的单调性求参数的问题，熟记对数函数与二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎11．已知定义在实数R上的函数y＝f(x)不恒为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有(　　)‎ A．f(x)<－1 B．－11 D．00时，，∴解得；‎ 当a<0时，，∴不满足条件A,‎ 综上得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的值域及单调性的应用，关键是将条件转化为两个函数值域的关系，运用了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎16．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】根据题意，逐步计算出，，，，…，归纳得到以为周期，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，因为，，所以；‎ ‎，因为，，所以；‎ ‎，因为，，所以；‎ ‎，‎ ‎……‎ 所以以为周期，因此.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，根据题中所给条件，总结出规律即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据指数幂的运算法则，直接求解，即可得出结果；‎ ‎（2）根据对数的运算法则，直接求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式．‎ ‎（2）原式 ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数幂的运算以及对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎18．设集合，，．‎ ‎（）求．‎ ‎（）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（）先求的集合，， 即可求解．‎ ‎（）由，所以，分是空集和非空集合，分类讨论即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（），， 所以．‎ ‎（）因为，所以，‎ 若是空集，则，得到，‎ 若非空，则，得，‎ 综上所述，，即的取值范围是．‎ ‎19．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x．‎ ‎（Ⅰ）求出函数f（x）在R上的解析式；‎ ‎（Ⅱ）在答题卷上画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2a+1有三个不同的解，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调增区间为，‎ 单调减区间为；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】试题分析; （Ⅰ）①由于函数是定义域为的奇函数，则；‎ ‎②当时，，因为是奇函数，所以，可得当时 的解析式，从而得到在上的解析式； （Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的解析式可画出函数的图象，进而得到的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）由（1）可得 有极大值1，极小值-1，进而可构造关于 的不等式，解不等式可得答案．‎ 试题分析;（Ⅰ）①由于函数是定义域为的奇函数，则；‎ ‎②当时，，因为是奇函数，所以．‎ 所以.‎ 综上： ‎ ‎（Ⅱ）图象如图所示．（图像给2分）‎ 单调增区间：‎ 单调减区间： ‎ ‎（Ⅲ）∵方程有三个不同的解 ‎ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎【点睛】本题考查利用奇偶性求函数解析式以及根的存在性及根的个数判断，其中根据图像得到函数的单调性和极值是解题的关键．‎ ‎20．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系；第天的销售价格（单位：元/件）为，第天的销售量（单位：件）为（为常数），且在第天该商品的销售收人为元（销售收入=销售价格×销售量）．‎ ‎（1）求的值，并求第天该商品的销售收入；‎ ‎（2）求在这天中，该商品日销售收入的最大值．‎ ‎【答案】（1）,元；（2）元.‎ ‎【解析】（1）根据题意，得到，求解，可得出，进而可求出结果；‎ ‎（2）先由题意得到，商品日销售收入的函数解析式 ‎，根据二次函数的性质，求出最大值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，由，‎ 解得．‎ 从而可得（元），‎ 即第天该商品的销售收入为元．‎ ‎（2）由题意可知，‎ 即 当时，，‎ 故当时取最大值，，‎ 当时，，‎ 故当时，该商品日销售收入最大，最大值为元 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数模型的应用，熟记二次函数的性质，以及分段函数的应用即可，属于常考题型.‎ ‎21．已知，函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设，，若对任意的，都有，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由，将原不等式化为，根据对数函数的单调性，以及分式不等式的解法，即可求出结果；‎ ‎（2）先由题意得到在区间上是减函数，由 ‎，得到，化简整理得到，该式对任意的恒成立．根据二次函数的性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，将原不等式化为，得，‎ 解得：，或 因此不等式的解集为；‎ ‎（2）由题意，因为，在上单调递减，‎ 所以函数在区间上是减函数，因此 ‎，；‎ 因为对任意的，都有，‎ 则：，‎ 化简得，该式对任意的恒成立．‎ 因为，因此函数在区间上单调递增，‎ 当时，有最小值，则由得：；‎ 故a的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解对数形式的不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记对数函数的性质与二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎22．已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）试判断的单调性，并用定义法证明；‎ ‎（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）在上单调递增,证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据题意，得到，求出，即可得出结果；‎ ‎（2）根据题意得到，任取，且，作差法比较，，根据函数单调性的概念，即可得出结果；‎ ‎（3）先由函数奇偶性与单调性得到存在，使得成立，推出存在，使得成立；令，求出其最小值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，解得，‎ 故；‎ ‎（2），可得在上单调递增，‎ 任取，且，，‎ ‎∵∴即，‎ 又，，∴即，‎ 故在上单调递增．‎ ‎（3），‎ 因为是奇函数，所以，‎ 由（2）可知在上单调递增，‎ 所以存在，使得成立，‎ 即存在，使得成立；‎ 令，，‎ 易得其在上单调递增；‎ 所以；‎ 故，‎ 所以k的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性求解析式，由单调性定义判断函数单调性，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数奇偶性与单调性的概念，以及二次函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.‎