【数学】江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期第一次月考（理）（解析版）

【数学】江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期第一次月考（理）（解析版）

江西省南昌市第二中学2019-2020学年 高二下学期第一次月考（理）‎ 一、 选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，‎ 只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，c为常数，k＝1,2,3,4，则的值为( )‎ A． B. C. D.‎ ‎2．“中国梦”的英文翻译为“ ”，其中又可以简写为，从“ ”中取6个不同的字母排成一排，含有“” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有 ( )‎ A. 360种 B. 480种 C. 600种 D. 720种 ‎3．如图所示，在正方体中，已知分别是和的 中点，则与所成角的余弦值为（ 　）‎ A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ ‎4.随机变量服从正态分布,，则的最小值为（ ）‎ A.6+4 B.6+2 C.8+2 D.3+4‎ ‎5. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形的较短的直角边为 勾、另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则侧 ‎(左)视图中线段的长度x的值是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. 4 ‎ D. 5‎ ‎7. 设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个结论：‎ ‎①若，则； ‎ ‎②若，是在内的射影，，则；‎ ‎③若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有；‎ ‎④若，则 ‎ 其中正确的个数为( )个 A. 1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ( )‎ A. 3600 B. 1080 C. 1440 D. 2520‎ ‎9.若，则等于( )‎ A. 5 B. 25 C. D. ‎ ‎10. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动 点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是（ 　）‎ A. AC⊥BE ‎ B. EF∥平面ABCD C. 三棱锥A-BEF的体积为定值 ‎ D. 异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎11. 若一个四位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字2017。问：用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字且大于2018的“完美四位数”有    个 A. 71 B. 66 C. 59 D. 53 ‎ ‎12. 如图，在正方体中， 是的中点， 在上，且，点是侧面（包括边界）上一动点，且平面，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13.设离散型随机变量， ，若，则的值 为 ．‎ ‎14．若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方 体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有 对．‎ ‎15. 若等差数列的首项为，公差为展开式中的常数项，其 中m是除以19的余数，则此等差数列的通项 ．‎ ‎16．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角ABDC的 大小为60°的四面体，则四面体ABCD的外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题10分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则：每人从备选的10道题中一次性抽取3道题独立作答，至少答对2道题即闯关成功．已知10道备选题中，甲只能答对其中的6道题，乙答对每道题的概率都是．‎ ‎（1）求甲闯关成功的概率；‎ ‎（2）设乙答对题目的个数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎18．（本小题12分）为了支援湖北省应对新冠肺炎，某运输公司现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运输一批紧急医用物资到武汉.‎ ‎（1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？‎ ‎（2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？‎ 19． ‎（本小题12分）‎ 在如图所示的几何体中， ， ， 平面 ‎，在平行四边形中， ， ， ．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎20.（本小题12分）已知，‎ 若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ 若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． ‎ ‎21.（本小题12分）‎ 为了应对暴力恐怖活动，某地警方从武警训练基地挑选反恐警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有4名武警战士（分别记为）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、爆破的概率分别为.这三项测试能否通过相互之间没有影响．‎ ‎（1）求能够入选的概率；              ‎ ‎（2）规定：按入选人数得训练经费，每入选1人，则相应的训练基地得到5000元的训练经费，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望（期望精确到个位）． ‎ ‎22.（本小题12分）‎ 如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线AD交于D ‎． 1)求证：平面平面； 2)求二面角的余弦值．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎11‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎34‎ ‎45‎ ‎46‎ ‎77‎ ‎88‎ ‎99‎ ‎110‎ ‎111‎ ‎112‎ 答案 BB CC DC DA CD BC BB DC DB DD DA DD 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 14. 24 15. 16. 156‎ 小题详解：‎ ‎1．B 由已知， ＝1，解得c＝，‎ ‎∴.‎ ‎2．C 从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有,故选C.‎ ‎3．C 建立如图所示的坐标系设正方体的棱长为，则， ， ， ， 与所成角的余弦值为 故选 ‎4. A 由题意, = ‎ ‎ ,当且仅当,即时等号成立,故选A.‎ ‎5. D解：从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数， 其中能组成勾股数的为：4，，8，，12，，12，，共4组， 这三个数为勾股数的概率为：．故选：D．‎ ‎6．C 分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥PABCD.‎ ‎7.B ，则或；若，则由可得。若 ‎，则存在有m∥n。因为，所以，从而可得，①正确；‎ 过l上一点作，则B点在直线n上，且AB⊥m。因为n是l在上射影，所以l,n平行或相交，从而可得l,n,AB共面。因为m⊥n，所以m⊥l,n,AB所在平面，从而可得m⊥l，②正确；‎ 若，设，则直线AB是直线m在平面α内的射影。因为m是平面α的斜线，所以l,m,AB共面且直线m与直线AB相交。若，由可得m∥AB，矛盾，③不正确； ‎ 垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，④不正确。 综上可得，选B ‎8. C 由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：‎ 第一类：先将6人分成四组，分别为1人，1人，2人，2人，再分配到四个社团，不同的参加方法数为种，‎ 第二类：将6人平均分成三组，在分配到除“演讲团”外的四个社团中的任意三个社团，不同的参加方法数为，‎ 所以由以上可知，不同的参加方法数共有1440种，故选择C.‎ ‎9. B解：对于，两边对x求导， 可得， 再令，可得，故选：B．‎ ‎10. D ∵AC⊥平面，又BE⊂平面，∴AC⊥BE．故A正确．‎ ‎∵EF垂直于直线， ，∴⊥平面AEF．故B正确．‎ C中由于点B到直线的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．C正确 ‎ 当点E在处，F为的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，‎ 当E在上底面的中心时，F在C1的位置， 异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1,显然两个角不相等，D不正确 ‎11. A解：由0，1，2，7组成的四位数为完美四位数，比2018大的有个；‎ 由1，2，3，4组成的四位数为完美四位数，比2018大的有个，‎ 由0，1，3，6组成的四位数为完美四位数，比2018大的有个，‎ 由0，1，4，5组成的四位数为完美四位数，比2018大的有个，‎ 由0，2，3，5组成的四位数为完美四位数，比2018大的有个，‎ 故共有个．故选A．‎ ‎12．D 在上取点，使得，连接，则，取的中点为，连接，则.因此平面平面，过作交于连接，则四点共面. 且 . 平面. 点在线段上运动. 当点分别与点重合时， 取最小值和最大值，故选D.‎ ‎13． ‎ ‎ .‎ ‎14．24 正方体如图所示，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有这4条，而正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有对（每一对被计算两次，所以要除以2），故答案为24．‎ ‎15. 解：由得，，又n为自然数，即． 故．‎ ‎，‎ 上式的前77项均有因式76，故可以被19整除，余数为， 即．的通项公式为，令，解得．故公差 则．故答案为．‎ ‎16．156 如图，设BD的中点为E，连接AE，CE，则平面ACE⊥平面BCD，且即为二面角ABDC的平面角，故．‎ 由题意得为等边三角形，设G为的重心，过G作平面BCD的垂线GO，则GO在平面ACE内． 在平面ACE内作EO垂直于AC交GO于点O，则O为该四面体外接球的球心．由题意得， ，故 ，故球半径，‎ 故球O的表面积为．‎ ‎17．(1)设 “甲闯关成功”为事件， ；‎ ‎(2)依题意～; 可能取的值为0，1，2，3,‎ 则 ,, ，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎, ‎ 所以的分布列为 ‎　(或).‎ ‎18．（1)可分步完成这件事情：第一步，选3名男司机,有种不同的选法；‎ 第二步，选2名女司机，有种不同的选法；‎ 由分步乘法原理，共有种不同的选法．‎ ‎（2）可分类完成这件事情：第一类，选2名男司机3名女司机,有种不同的选法；‎ 第二类，选3名男司机2名女司机，有种不同的选法；‎ 第三类，选4名男司机1名女司机，有种不同的选法；‎ 第四类，选5名男司机0名女司机，有种不同的选法；‎ 由分类加法与分步乘法原理，共有种不同的选法．‎ ‎19．（1）证明：连接交于，取中点，连接， .‎ ‎∵、分别为、的中点∴， 又∵， ∴， ，从而， 平面， 平面，∴平面．‎ ‎（2）解：连接，可计算得， ， ， ， ，设点到平面的距离为，则由， ，得，所以由，知.∴，∴与平面所成角的正弦值为．‎ ‎20.解：，，或． 当时，展开式中二项式系数最大的项是和，且的系数， 的系数．当时，展开式中二项式系数最大的项是， 且的系数． 由，可得，设项的系数最大． ， ，，，展开式中系数最大的项为， 且． ‎ ‎21．（1）设A通过体能、射击、爆破分别记为事件则能够入选包含以下几个互斥事件： ， ， ， ‎ ‎∴‎ ‎（2）记表示该训练基地入选人数，则得到的训练经费为，又可能的取值为0，1，2，3，4.‎ ‎ ，   ，‎ ‎，    ，‎ ‎ ∴训练经费的分布列为：‎ ‎0‎ ‎5000‎ ‎10000‎ ‎15000‎ ‎20000‎ ‎∴.‎ ‎22.解：1如图，过点D作交于E，连接CE，BE， 设，连接BO，，， 又AD为的角平分线，四边形AEDC为正方形，，又，，，≌，，又为CE的中点，， 又，平面BAD，，平面BAD． 又平面，平面平面C. 2在中，，，， 在中，，，又，，，，又，，AD，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系， 则，4，，4，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，令，得， 设平面的一个法向量为 ‎， 则，，令，得， ，故二面角的余弦值为．‎