2019-2020学年湖南省郴州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省郴州市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省郴州市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则A∩B=（ ）‎ A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，3}‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先求集合，再求.‎ ‎【详解】‎ 由条件可知，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集，属于简单题型.‎ ‎2．下列函数中，在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析每个函数在定义域内是否是增函数和奇偶性，得到正确答案.‎ ‎【详解】‎ A. 在上是减函数，并且不是奇函数，故不正确；‎ B.在定义域上是增函数，但不是奇函数，故不正确；‎ C.在定义域上是增函数，并且满足，是奇函数，故正确；‎ D.在定义域不是增函数，是奇函数，故不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的性质判断满足条件的函数解析式，意在考查灵活掌握函数性质，属于基础题型.‎ ‎3．设则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件可知，再根据函数的单调性判断的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 是增函数，，‎ ‎，即.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查比较指数，对数式的大小，属于简单题型.‎ ‎4．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依次判断区间端点的函数值的正负，根据零点存在性定理，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎， ， ，‎ ‎ ，‎ 根据零点存在性定理可知函数的零点必在区间.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查零点存在性定理，意在考查基本的判断方法，属于简单题型.‎ ‎5．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几尺（注：1丈即10尺）？该问题的答案为34尺.若圆木长为3尺，圆周为2尺，同样绕圆木两周刚好顶部与圆木平齐，那葛藤最少又是长（ ）尺？‎ A．34尺 B．5尺 C．6尺 D．4尺 ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成的对角线的长，‎ 画图求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示，‎ 一条直角边（圆木的高）长3尺，另一条直角边长是两个圆周长尺，‎ 因此葛藤长为（尺）‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查旋转体的最短距离，意在考查空间想象能力，本题的关键是正确画出侧面展开图，属于基础题型.‎ ‎6．设是直线，，是两个不同的平面（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】利用线面平行,垂直和面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.‎ ‎【详解】‎ 对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α＝m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．‎ ‎7．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为．‎ ‎【考点】点关于直线的对称点；圆的标准方程．‎ ‎8．已知函数，若恰好有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，恰好有3个零点，等价于与有3个交点，画出函数的图象，求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由条件可知 ‎ 恰好有3个零点，等价于与有3个交点，‎ 如图画出函数的图象，‎ 由图象可知.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是画出函数的图象.‎ ‎9．如图所示，为正方体，给出以下四个结论：①平面；②直线与BD所成的角为60°；③二面角的正切值是；④与底面ABCD所成角的正切值是；其中所有正确结论的序号为（ ）‎ A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②‎ ‎【答案】D ‎【解析】逐一分析选项，①根据线面垂直的判断定理证明；②根据,异面直线与BD所成的角是；③是二面角的平面角，直接求;④与底面ABCD所成角是.‎ ‎【详解】‎ ‎①连接，‎ ‎，，‎ 平面，‎ ‎，‎ 同理：，，‎ 平面，故①正确；‎ ‎②,异面直线与BD所成的角是或其补角，‎ 是等边三角形，‎ ‎ ，故②正确；‎ ‎③，连接，是二面角的平面角，,故③不正确；‎ ‎④平面，‎ ‎ 是与底面ABCD所成角，‎ ‎,故③不正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查几何体中的线线，线面位置关系的判断，意在考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于基础题型.‎ ‎10．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足以下两个条件：（1）在[m，n]上是单调函数；（2）在[m，n]上的值域为[2m，2n ‎]，则称区间[m，n]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）个.‎ ‎①②③‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】①②两个函数都是单调递增函数，假设存在“倍值区间”，转化为判断在定义域内是否有两个不等实根；③在单调递减，在单调递增，分两个区间讨论是否存在“倍值区间”.‎ ‎【详解】‎ ‎①是增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，‎ 则 ，即 有两个实数根，分别是， ，即存在“倍值区间”，故①存在；‎ ‎②是单调递增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，‎ 则，即，存在两个不同的实数根，分别是是， ，即存在“倍值区间”，故②存在；‎ ‎③ ，在单调递减，在单调递增，‎ 若在区间单调递减，则 ，解得，不成立，‎ 若在区间 单调递增，则，即有两个不同的大于1的正根，‎ 解得：不成立，故③不存在.‎ 存在“倍值区间”的函数是①②.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查新定义背景的函数性质，意在考查函数性质的灵活掌握，关键是读懂题意，并能转化为方程实根个数问题，属于中档题型.‎ 二、填空题 ‎11．已知空间两点，，则P，Q两点间的距离是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据空间两点间的距离公式直接计算结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间两点间距离，属于简单题型.‎ ‎12．函数的定义域为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数的形式，直接列不等式求函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知 ‎ ，解得：，‎ 函数的定义域是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数的定义域，意在考查基础知识，属于简单题型.‎ ‎13．已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，‎ 故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，‎ 故答案为x2+（y+2）2=25．‎ ‎14．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的高所在直线的一般式方程为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先求边上的高所在直线的斜率，先写出点斜式方程，再化为一般式直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 边上的高所在直线的斜率，‎ 边上的高所在直线方程是，‎ 一般方程是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程，意在考查求直线方程的方法和直线形式，属于简单题型.‎ ‎15．如图所示，边长为2的正方形中，E、F分别是，的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S—EFG，使、、三点重合，重合后记为G，则三棱锥S—EFG的外接球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先将三棱锥补成如图所示的长方体，利用长方体和三棱锥有同一外接球，求外接球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，，‎ 所以三棱锥补成如图所示的长方体，它们有同一的外接球，‎ ‎，‎ 所以外接球的直径，‎ 三棱锥S—EFG的外接球的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和转化与化归的思想，属于基础题型.‎ 三、解答题 ‎16．（1）设集合，，求；‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】（1）先求，再求；‎ ‎（2）利用指数式和对数的运算公式化简，求值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）或，‎ ‎.‎ ‎（2）原式= ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算和指数，对数的运算，属于简单题型.‎ ‎17．如图所示，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，D为的中点，点P为AB的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求三棱锥B-CDP的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】（1）连接，要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明；‎ ‎（2）先证明平面，再根据线面垂直的性质定理和证明；‎ ‎（3）利用等体积转化，求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接∵D，P分别是，AB的中点，∴‎ 又：‎ ‎（2）∵AA1⊥平面ABC，.AA1⊥BC，‎ 又∠ACB=90°∴BC⊥AC，又AA1∩AC=A，∴BC⊥平面ACC1A1‎ ‎∴BC⊥AC1‎ ‎∵AC1//DP，所以BC⊥PD ‎（3）过D作DE⊥BC交BC于E，则DE为三棱锥D—BCP的高且为1，‎ 所以 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行，线线垂直的证明，和体积的计算，考查空间想象能力和推理证明，属于基础题型.‎ ‎18．科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为该物质的数量，x为月份数，a，b，c，p，q，r为常数.‎ ‎（1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由.‎ ‎（2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？‎ ‎【答案】（1）乙模型更好，详见解析（2）月增长量为，月增长量为，月增长量为；越到后面当月增长量快速上升.‎ ‎【解析】（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当时的函数值，最接近32的模型好；‎ ‎（2）第月的增长量是，由增长量总结结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对于甲模型有，解得：‎ 当时，.‎ 对于乙模型有，解得：，‎ 当时，.‎ 因此，乙模型更好；‎ ‎（2）时，当月增长量为，‎ 时，当月增长量为，‎ 时，当月增长量为，‎ 从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意.‎ ‎19．已知圆C经过点，两点，且圆心C在直线上.‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）设，对圆C上任意一点P，在直线MC上是否存在与点M不重合的点N，使是常数，若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在满足条件 ‎【解析】（1）由圆的性质可知圆心是线段的垂直平分线和直线的交点，再求圆的半径，写出圆的标准方程；‎ ‎（2）假设存在点满足条件，设，利用两点距离公式计算，若为常数时，求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）线段AB的中点坐标为，∴线段AB的中垂线所在的直线方程为，‎ ‎∵圆心C在直线与直线的交点上，‎ 联立两条直线方程可得圆心C的坐标为，‎ 设圆C的标准方程为，将点A坐标代入可得，，‎ ‎∴圆C的方程为.‎ ‎（2）点，，直线MC方程为，‎ 假设存在点满足条件，设，则有，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当是常数时，是常数，‎ ‎.‎ ‎∴存在满足条件.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程的求法，以及定值问题的综合应用，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型.‎ ‎20．已知函数为偶函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若函数，，是否存在实数m，使得的最小值为2，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）存在，‎ ‎【解析】（1）利用公式，求实数的值；‎ ‎（2）由题意得恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3），，通过换元得，，讨论求函数的最小值，求实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）是偶函数，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）由题意得恒成立，‎ ‎.‎ ‎（3），，‎ 令，则，，‎ ‎1°当时，的最小值为3，不合题意，舍去；‎ ‎2°当时，开口向上，对称轴为，‎ 在上单调递增，‎ ‎，故舍去；‎ ‎3°当时，开口向下，对称轴为，‎ 当即时，y在时取得最小值，‎ ‎，符合题意；‎ 当即时，y在时取得最小值，‎ ‎，不合题意，故舍去；‎ 综上可知，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分，，和三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值.‎