2019-2020学年江西省南康中学高二上学期第二次大考数学（理）试题 word版

2019-2020学年江西省南康中学高二上学期第二次大考数学（理）试题 word版

南康中学2019-2020学年度第一学期高二第二次大考 数学(理)试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）‎ ‎1.直线的方程为，则直线的倾斜角为（ 　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.在空间直角坐标系中，已知，，则的中点到坐标原点的距离为（　　）‎ A． B． ‎ C．2 D．3‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A. 9 B. 45 ‎ C. 126 D. 270‎ ‎4. 若样本平均数是4，方差是2，则另一样本 的平均数和方差分别为（ 　　）‎ A．12，2　　　　 B．14，6 ‎ C．12，8 D．14，18‎ ‎5.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ 　　）‎ ‎ 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198‎ ‎ 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481‎ A． 02 B． ‎07 ‎ C． 01 D． 06‎ ‎6.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中 错误的一个是（ ）‎ A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24‎ C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21‎ ‎7.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），的线性回归方程为，则的值为（ 　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知空间中不同直线和不同平面、，下面四个结论：‎ ‎①若互为异面直线，，，，，则；‎ ‎②若，，，则；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④若，，，则.其中正确的是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③‎ ‎9.若执行下面的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（  ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成 （平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）‎ A．与平面垂直的直线必与直线垂直 ‎ B．异面直线与所成角是定值 C．一定存在某个位置，使 D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）‎ ‎13.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为______．‎ ‎14.如图,△为水平放置的△斜二测画法的直观图，且,则△的周长为________．‎ ‎15.已知点，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为 ‎ ‎16.已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）‎ ‎17. （本小题满分10分）某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)．‎ ‎(1)求居民月收入在[3000,3500)的频率；‎ ‎(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；‎ ‎(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10‎ ‎ 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？‎ ‎18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，⊥平面，，，为中点．‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)线段上是否存在一点，使∥平面?若存在，求 的值；若不存在，说明理由．‎ ‎19. （本小题满分12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：‎ 单价（元）‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 销量（册）‎ ‎61‎ ‎56‎ ‎50‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？‎ 附：，，，.‎ ‎20. （本小题满分12分）如图所示，正三棱锥的高为2，点是的中点，点是的中点. ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的 底面边长.‎ ‎21. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，，平面，，，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎22. （本小题满分12分）如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线，分别与圆交于两点,设直线的斜率分别为。‎ ‎ （1）若，求△的面积；‎ ‎ （2）若，求证：直线过定点。‎ 南康中学2019-2020学年度第一学期高二第二次大考 数学(理)参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A C D C B A D C C A C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡上的相应位置）‎ ‎13. (填不给分) 14. 15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）‎ ‎17.解: (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15. --------------3分 ‎(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，‎ ‎0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，‎ ‎∴样本数据的中位数为＝2 000＋400＝2 400(元)．‎ ‎-------------------------7分 ‎(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频数为0.25×10 000＝2 500(人)，再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取-----10分 ‎ ‎18.解（1）连接，在中，，‎ 又∵为中点，，∴ -------------2分 ‎∵平面平面，‎ ‎∴，∵，∴平面，‎ 又∵平面，∴平面平面 -------------6分 ‎（2）线段上存在一点，且时，平面 -------------8分 证明如下：连接交于点，在平面中过点作，则交于 又∵平面平面 ‎∴平面，‎ ‎∵四边形，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴当时，平面 -------------12分 ‎19.解：（1），-------------2分 ‎，‎ ‎， -------------4分 所以对的回归直线方程为：． -------------6分 ‎（2）设获得利润为，‎ ‎， -------------9分 因为二次函数的开口向下，‎ 所以当时，取最大值，‎ 所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润． -------------12分 ‎20.（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点， ‎ 所以在中，, ‎ 平面， 平面， ‎ 所以平面. -------------5分 ‎（2）解：由等体积法，得，‎ 因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半.‎ 如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， ------------9分 ‎ ,‎ 所以，解得，‎ 所以该正三棱柱的底面边长为. -------------12分 ‎21.解：(1)在中，.‎ 所以，所以为直角三角形，. -------------3分 又因为平面，所以.‎ 而，所以平面. -------------5分 ‎(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，‎ 则平面平面.‎ 二面角就是平面与平面所成二面角.‎ 因为，所以是的中位线.‎ ‎，这样是等边三角形.‎ 取的中点为，连接，因为平面.‎ 所以就是二面角的平面角. -------------10分 在，所以. -------------12分 ‎(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.‎ ‎.‎ 设是平面的法向量，则 令得. -------------9分 取平面的法向量为. -------------10分 设平面与平面所成二面角的平面角为，‎ 则，从而. -------------12分 ‎22.解:（1）由题知，得直线AM的方程为，直线AN的方程为 所以，圆心到直线AM的距离，所以，，-------------3分 由题知，所以AN⊥AM，，。-------------5分 ‎（2）方法一:由题知直线AM的方程，直线AN的方程为 联立方程，所以，‎ 得或 所以，-------------7分 同理，，-------------8分 所以直线为 ‎ 即，得，‎ 所以直线恒过定点．-------------12分 ‎ 方法二:由知直线的斜率不为0,设直线的方程为,‎ 联立 得 且 -------------7分 ‎, ‎ 又 ‎ 即 ‎ -------------9分 化简整理得,解得或(舍去) -------------11分 直线的方程为,故直线恒过定点 -------------12分