高中数学选修2-2课时练习第二章 章末复习

高中数学选修2-2课时练习第二章 章末复习

章末复习 ‎1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即 ＝ .‎ 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．‎ ‎2．曲线的切线方程 利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：‎ ‎(1)判断P点是否在曲线上；‎ ‎(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．‎ ‎3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．‎ 题型一　应用导数求切线方程 根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．‎ 例1　(2013·福建改编)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．‎ 当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程．‎ 解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－. ‎ 当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，‎ f′(x)＝1－(x＞0)，‎ ‎∴f(1)＝1，f′(1)＝－1，‎ ‎∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.‎ 跟踪演练1　点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．‎ 解　因为点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像的一个公共点，‎ 所以23＋‎2a＝0①‎ ‎4b＋c＝0②‎ 由①得a＝－4.‎ 所以f(x)＝x3－4x.‎ 又因为两条曲线在点P处有相同的切线，‎ 所以f′(2)＝g′(2)，‎ 而由f′(x)＝3x2－4得到f′(2)＝8，‎ 由g′(x)＝2bx得到g′(2)＝4b，‎ 所以8＝4b，即b＝2，‎ 代入②得到c＝－8.‎ 综上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8.‎ 题型二　求函数的导数 求一个函数的导数的基本方法有三种：一是利用定义，二是利用基本初等函数的导数公式，三是把函数分解成为基本初等函数的和、差、积、商的运算，再利用导数的运算法则进行计算，其中以第三种较为常见．‎ 在第三种运算中，对不具备求导法则所要求的结构形式的函数要进行适当的变形，比如(1)函数中有两个以上因式乘积的形式，可利用多项式的乘法展开后再求导．(2)利用代数恒等变形，避开商的求导，简化运算．(3)利用三角恒等变形简化求导过程等等．‎ 例2　求函数y＝的导数．‎ 解　本题若直接用商的求导法则求导，会非常繁琐，故先化简为幂的多项式再求导是明智之举．‎ 因为y＝3－x＋5－9·，‎ 所以y′＝3··x－1－9··x－ ‎＝－1.‎ 跟踪演练2　求y＝(n≠0)的导数．‎ 解　从这个函数的结构来看，是商的形式，如果直接套用商的求导法则，运算量较大，但从形式上看，可以转化为和的形式．‎ ‎∵y＝xm－1＋nxn－1＋，‎ ‎∴y′＝(m－1)xm－2＋n(n－1)xn－2＋·.‎ 题型三　导数的综合应用 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．‎ 例3　已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．‎ 解　‎ 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，‎ y＝，y′＝，‎ 由题意知kAB＝.‎ ‎∴kl＝＝，即x0＝1，‎ ‎∴y0＝1.∴P(1,1)．‎ 跟踪演练3　(1)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. ‎ C. D．1‎ 答案　A 解析　‎ ‎∵y′＝(－2x)′e－2x ‎＝－2e－2x，‎ ‎∴k＝－2e0＝－2，‎ ‎∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，‎ 即y＝－2x＋2.‎ 如图，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为，‎ y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，‎ ‎∴S＝×1×＝.‎ ‎(2)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.‎ ‎①求直线l2的方程；‎ ‎②求由直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积．‎ 解　①∵y′＝2x＋1，‎ ‎∴直线l1的方程为y＝3x－3.‎ 设直线l2与曲线y＝x2＋x－2的切点为B(b，b2＋b－2)，‎ 则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.‎ ‎∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－，b＝－.‎ ‎∴直线l2的方程为y＝－x－.‎ ‎②由题意，得解得 ‎∴直线l1和l2的交点坐标为.‎ l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、.‎ ‎∴所求三角形的面积S＝××＝.‎ ‎1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用；‎ ‎2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率；‎ ‎3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．‎