2017-2018学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期开学考试（暑假学习效果验收）数学试题

2017-2018学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期开学考试（暑假学习效果验收）数学试题

‎2017-2018学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期开学考试（暑假学习效果验收）数学试题 试卷说明：‎ ‎1、本试卷满分 150 分，答题时间 120 分钟。‎ ‎2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)：‎ ‎1.过点P（2，-1）且倾斜角为的直线方程是（　　） A.x-y+1=0   B.x-2y--2=0   C.x-y-3=0   D.x-2y++1=0‎ ‎2.已知a＞b，则下列不等式正确的是（　　） A.ac＞bc   B.a2＞b2   C.|a|＜|b|  D.2a＞2b ‎3.函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A.（0，4）  B.[0，4）   C.[0，4]   D.（0，4]‎ ‎4.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2sinC=4sinA，cosB=，则△ABC的面积为（　　） A.1      B.      C.2      D.‎ ‎5.已知平面α⊥平面β，直线m，n均不在平面α、β内，且m⊥n，则（　　） A.若m⊥β，则n∥β        B.若n∥β，则m⊥β C.若m⊥β，则n⊥β        D.若n⊥β，则m⊥β ‎6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（　　） A.8      B.8+4      C.4+2      D.2+‎ ‎7.设数列{an}是等比数列，且an＞0，Sn为其前n项和．已知a2a4=16，，则S5等于（　　）‎ ‎ A.40     B.20     C.31     D.43‎ ‎8.设等差数列{an}的前n项为Sn，已知S13＞0，S14＜0，若ak•ak+1＜0，则k=（　　） A.6      B.7      C.13     D.14‎ ‎9.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若==，则△ABC是（　　） A.等边三角形           B.锐角三角形 C.任意三角形           D.等腰直角三角形 ‎10.已知点A（a，2）到直线l：x-y+3=0距离为，则a等于（　　） A.1      B.±1     C.-3     D.1或-3‎ ‎11.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则AD1与平面BB1D1所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D.‎ ‎12.入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（　　） A.2x+y-3=0  B.2x-y-3=0  C.2x+y+3=0  D.2x-y+3=0‎ 二、 填空题（本大题共四个小题，每题5分，共20分）：‎ ‎13. 在△ABC中，，A=120°，则角B的大小为 ______ ．‎ ‎14. 已知实数x，y满足，则z=3x-y的最大值为 ______ ．‎ ‎15、已知函数，则f（x）取最小值时对应的x的值为 ______ ．‎ ‎16．若关于x的方程cos2x-sinx+a=0在[0，π]内有解，则实数a的取值范围是 ______ ．‎ 三、解答题（共六道大题，总分70分）：‎ ‎17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2b-c）cosA-acosC=0 （1）求角A． （2）若边长a=，且△ABC的面积是，求边长b及c． ‎ ‎18.（本小题满分12分） ‎ ‎ 如图，空间几何体 的底面是直角梯形， ， ， ， 平面 ， 为线段 的中点.‎ ‎（1）求证： 平面 ；（2）若 ，求三棱锥 的体积.‎ ‎19、已知数列{an}的前n项和Sn，满足：Sn＝2an－2n(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项an；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，Tn为数列{}的前n项和，求Tn ‎20．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.‎ ‎(1)求索道AB的长；‎ ‎(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎ 21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； （2）（理）求二面角A-BC-P的余弦值． （文）求异面直线PC与AD的夹角的余弦值 ‎ ‎22.在数列 中， ，当 时，满足 ． ‎ ‎（Ⅰ）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令 ，数列 的前 项和为 ，求使得 对所有 都成立的实数 的取值范围．‎ 参考答案 ‎1-5 CDBBB ‎ ‎6-10 CCBDD ‎11-12 AB ‎13.30° ‎ ‎14.10 ‎ ‎15.-1 ‎ ‎16.[-1，1]‎ ‎17.解：（1）△ABC中，∵（2b-c）cosA-acosC=0，∴由正弦定理得（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，------（2分） ∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，---------（3分） ∵sinB≠0，∴2cosA=1，∴cosA=0.5，∴A=60°．---------（5分） （2）由△ABC的面积是=，∴bc=3．‎ ‎ 再由a2=b2+c2-2bc•cosA，可得b2+c2=6． 解得b=c=． ‎ ‎18. （1）证明：设线段AD的中点为Q，连接PQ，BQ， 则在△MAD中，PQ为中位线，故PQ∥MD， 又PQ平面MCD，MD平面MCD，所以PQ∥平面MCD. 在底面直角梯形ABCD中，QD∥BC且QD=BC， 故四边形QBCD为平行四边形，故QB∥DC， 又QB平面MCD，DC平面MCD，所以QB∥平面MCD. 又因为PQ∩QB=Q，所以平面PQB∥平面MCD， 又PB平面PQB，所以PB∥平面MCD. （2）解：因为MA⊥平面ABCD，所以MA⊥DC， 因为∠ADC=90°，所以AD⊥DC， 又因为MA∩AD=A，所以DC⊥平面MAD， , ， 所以三棱锥P-MCD的体积为. 19. an＝2n＋1－2 ‎ ‎(2)证明　bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，‎ ‎∴＝，则Tn＝＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋，‎ 两式相减得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋－ ‎＝＋－－＝－， ∴Tn＝－，‎ ‎20．解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，‎ cos C＝，所以sin A＝，sin C＝.‎ 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)‎ ‎＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.‎ 由正弦定理＝，‎ 得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．‎ 所以索道AB的长为1 040 m.‎ ‎(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．‎ 由于0≤t≤，即0≤t≤8，‎ 故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．‎ ‎ 21.解：（1）证明：连接BD， ∵底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，∴△ABD为等边三角形 又G为AD的中点，∴BG⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG⊂平面ABCD． ∴BG⊥平面PAD （2）（理）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB ‎ ‎ 又BG⊥AD，AD∥BC∴BG⊥BC∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角 在Rt△PBG中，PG=BG，‎ ‎（文）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB ‎22. （Ⅰ）证明：两边同除以得 ‎， 即数列是等差数列， 首项， 公差， ， ； （Ⅱ）解：     由题意， 即对于所有  都成立， 设即 ， 函数在上是减函数，在上是增函数， 故数列从第二项起递减， 而 ，， 满足题意的实数的取值范围为. ‎