浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 杭州学军中学2019学年第一学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡上.）‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的补集，然后求补集与的交集.‎ ‎【详解】依题意可知，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相等函数的概念，逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故与不是同一函数；A排除 对于B选项，函数与的定义域均为，且，所以与是同一函数；B正确；‎ 对于C选项，函数的定义域为，函数,定义域为，因此与解析式不同，不是同一函数，排除C；‎ 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，因此与不是同一函数，排除D.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查相等函数的判定，要使两函数相等，只需定义域相同，对应关系一致，属于基础题型.‎ ‎3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (　 )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，，故函数为非奇非偶函数.对于B选项，，函数为奇函数，当时，为递增函数，根据奇函数图像关于原点对称可知函数在时也是增函数，且，故函数在上为递增函数，符合题意，B选项正确.对于C选项，函数的定义域为，函数在这个区间上没有单调性，C选项不符合题意.对于D选项，由于函数定义域是，且，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎4.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.‎ ‎【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.‎ ‎5.若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lgx)的定义域为 A. [－1,1] B. [1,2]‎ C. [10,100] D. [0，lg2]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2．因为f(x2＋1)与f(lgx)是同一个对应法则，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函数f(lgx)的定义域为[10,100]．故选:C．‎ ‎6.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则　　‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可．‎ ‎【详解】函数为奇函数，为偶函数，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即  ‎ 由得，‎ 则，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．‎ ‎7.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数为偶函数，得到，根据指数函数单调性，得到单调性，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为定义在上的函数（为实数）为偶函数，‎ 所以，即，因此；‎ 所以，‎ 因此当时，单调递减；当时，单调递增；‎ 又，，，‎ 而，所以 ，‎ 即.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查由函数单调性判断函数的大小，熟记函数奇偶性以及指数函数的单调性即可，属于常考题型.‎ ‎8.已知在区间上为减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到在区间上为增函数，且在上恒成立；根据二次函数性质，列出不等式求解，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为在区间上为减函数，‎ 所以有在区间上为增函数，且在上恒成立；‎ 因此，只需，解得.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查由复函数函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型.‎ ‎9.已知，设函数的值域为，则 的值为（ ）‎ A. 0 B. 2019 C. 4037 D. 4039‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，求得，所以函数关于点中心对称，从而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因此，‎ 所以函数关于点中心对称，‎ 又函数的值域为，则.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，熟记函数的对称性即可，属于常考题型.‎ ‎10.已知，函数在上的最大值是5，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到，分别讨论，，三种情况，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为在上单调递减，因此；‎ 若，则的最大值为，符合题意；‎ 若时，的最大值为与中较大的，‎ 由，即，解得，‎ 显然时，的最大值为，时，的最大值不为定值．‎ 综上可得：时，在上的最大值是.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查由函数的最值求参数的问题，熟记函数单调性，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卷中的横线上.）‎ ‎11.若幂函数的图象经过点，则的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，根据题意得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】设幂函数，因为幂函数的图象经过点，‎ 所以，因此；所以，‎ 因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查求函数值，熟记幂函数解析式即可，属于常考题型.‎ ‎12.若，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令得，代入函数解析式，即可求出结果.‎ ‎【详解】令，得，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查求函数的值，熟记函数概念即可，属于常考题型.‎ ‎13.若正数，满足，则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令，得到，，，代入所求式子即可求出结果.‎ ‎【详解】令，‎ 所以，，，‎ 因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查对数与指数幂的运算，熟记对数的运算性质以及指数幂的运算性质即可，属于常考题型.‎ ‎14.已知函数.若，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数奇偶性得到奇函数；再由函数单调性判断单调递增，将所求不等式化为，根据函数单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因此函数是奇函数；‎ 又当与是增函数，所以单调递增；‎ 因此不等式可化为，即；‎ 所以，即，解得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.‎ ‎15.设函数，若，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数解析式，作出函数的图像，结合图像，根据，求出，‎ 分别讨论和两种情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】作出函数的图像如图：‎ 由，结合图像可得：，‎ 当时，由显然满足；‎ 当时，由，解得，所以；‎ 综上.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记分段函数性质，灵活运用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.‎ ‎16.已知，函数 若函数恰有2个不同的零点，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先由题意得到在区间上必须要有零点，求出，所以必为函数的零点，进而可得到在区间上仅有一个零点.根据二次函数的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】由已知可得在区间上必须要有零点，‎ 故解得：，‎ 所以必为函数的零点，‎ 故由已知可得：在区间上仅有一个零点.‎ 又在上单调递减，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数零点求参数的问题，根据分段函数的性质，以及二次函数的特征即可求解，属于常考题型.‎ 三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）‎ ‎17.化简求值： ‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据指数幂的运算性质计算即可, ‎ ‎ (2)根据对数的运算性质计算即可.‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2） lg25+lg2+-log29×log32=lg5+lg2+-2（log23×log32）‎ ‎=1+-2=‎ ‎18.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，m∈R，x∈R}．‎ ‎(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；‎ ‎(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；‎ ‎（2）由（1）解出的集合A，B，因为A⊆CRB，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．‎ 解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，‎ B={x|m﹣2≤x≤m+2}．‎ ‎（1）∵A∩B=[0，3]‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴m=2；‎ ‎（2）CRB={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}‎ ‎∵A⊆CRB，‎ ‎∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，‎ ‎∴m＞5，或m＜﹣3．‎ 考点：交、并、补集的混合运算．‎ ‎19.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得到，求解即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意，得到对于任意恒成立，令，得，，用定义法判断函数的单调性，求出的最值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以由题意可得：，即，‎ 即，解得或；‎ 故函数的定义域为；‎ ‎（2）因为对于任意，都有成立，‎ 所以对于任意恒成立，‎ 即对于任意恒成立，‎ 令，则，‎ 令，任取，‎ 则，‎ 因为，所以，；‎ 所以，‎ 即函数在上单调递减，所以，‎ 因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记指数的运算法则，以及函数单调性的定义即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数（且）.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性并说明理由；‎ ‎（2）当时，判断函数在上的单调性，并利用单调性的定义证明；‎ ‎（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3）存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由函数解析式求出定义域，再由，求出，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；‎ ‎（2）先令，用单调性的定义，即可判断的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果；‎ ‎（3）先假设存在满足条件的实数，由题意得出，，推出是方程的两根，进而得到在上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）由解得或，即函数的定义域为；‎ 又，‎ 所以，‎ 因此，所以，‎ 所以函数为奇函数；‎ ‎（2）令，任取，‎ 则，‎ 因为，，，所以，‎ 即函数在上单调递增；‎ 又，所以单调递减，‎ 根据同增异减的原则，可得：在上单调递减；‎ ‎（3）假设存在实数，使得当的定义域为时，值域为，由，可得；‎ 所以，‎ 因此是方程的两根，‎ 即在上有两个不同解，‎ 设，则，解得.‎ 所以存在，使得当的定义域为时，值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，单调性的判定，以及由函数定义域与值域求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）若函数为偶函数，求实数的值；‎ ‎（2）若，求函数的单调递减区间；‎ ‎（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）和；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据偶函数的定义，结合题意，得到，进而可求出结果；‎ ‎（2）先由题意得到，根据二次函数的性质，即可得出单调减区间；‎ ‎（3）先由题意得到在上恒成立，令，根据二次函数单调性，得出函数的最小值，只需即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）因为函数为偶函数，‎ 所以，即，即，因此；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 因为函数的对称轴为，开口向上；‎ 所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；‎ 又函数的对称轴为，开口向上；‎ 所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；‎ 因此，函数的单调递减区间为：和；‎ ‎（3）由题意，不等式可化为，‎ 即在上恒成立，‎ 令，则只需即可；‎ 因为，所以，‎ 因此，‎ 当时，函数开口向上，对称轴为：，‎ 所以函数在上单调递减；‎ 当时，函数开口向上，对称轴为；‎ 所以函数在上单调递增；‎ 因此，‎ 由得，解得或，‎ 因为，所以.‎ 即实数取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求分段函数的单调区间以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记函数奇偶性的概念，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎