四川省泸县第四中学2020届高三下学期第四次学月考试数学（文）试题

四川省泸县第四中学2020届高三下学期第四次学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省泸县第四中学高三第四学月考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，.则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知数列是等比数列，表示其前项和.若，，则的值为 A．-2 B．2 C．4 D．2或4‎ ‎5．函数的图象大致为 A．B．C．‎ D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，当输出的值为时，则输入的值是 ‎ A． B．或 C．或 D．或 ‎7．在学校举行的一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：‎ 李明预测：甲队第一，乙队第三．张华预测：甲队第三，丙队第一．王强预测：丙队第二，乙队第三．‎ 如果三人的预测都对了一半、则名次为第一、第二、第三的依次是 A．丙、甲、乙 B．甲、丙、乙 C．丙、乙、甲 D．乙、丙、甲 ‎8．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估 计军旗的面积大约是 A． B． C． D．‎ ‎9．过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线右支上的一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎12．已知函数，，给出下列四个命题：‎ ‎①函数的最小正周期为；②函数的最大值为1；③函数在上单调递增；‎ ‎④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．‎ 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．命题“，”的否定是_______.‎ ‎14．若满足不等式组, 则的最大值为___________．‎ ‎15．已知过点 的直线与抛物线 交于 、 两点，线段 的垂直平分线经过点 ，为抛物线的焦点，则 __________．‎ ‎16．已知四面体的四个顶点在同一个球的球面上，且，，球心恰好在棱上，该球的表面积为，则四面体的体积为_________.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．(12分)某部门在上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50‎ 名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，单位：分钟）将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图如图所示：‎ ‎ ‎ ‎（I）求a的值；‎ ‎（II）记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”试估计A的概率；‎ ‎（III）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为，求的值，并直接写出与的大小关系.‎ ‎18．(12分)如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆分别交，两点．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若，，求的值．‎ ‎19．(12分)已知三棱柱，底面为等边三角形，侧棱平面，为中点，，和交于点.‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）若，求点到平面的距离.‎ ‎20．(12分)已知椭圆的离心率为，短轴长为2.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，‎ 求证：点在定圆上.‎ ‎21．(12分)已知函数（，=2.718………），‎ ‎（I） 当时，求函数的单调区间；‎ ‎（II）当时，不等式对任意恒成立，‎ 求实数的最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，，，满足．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求证：．‎ ‎2020年春四川省泸县第四中学高三第四学月考试 文科数学参考答案 ‎1-5DAADA 6-10:BACCB 11-12:CB ‎13．， 14．6 15． 16．‎ ‎17．（1）因为，‎ 所以.‎ ‎（2）由题意知，该乘客在甲站等待时间少于20分钟的频率为，故的估计值为0.5.‎ ‎（3）.‎ 由直方图知.（因为乙图中较高的小长方形位于等待时间较长的范围）‎ ‎18．（1）由，，‎ 得，，，，‎ 则．‎ ‎（2）由已知得，．‎ ‎∵，，∴，∵，∴，‎ 则 ‎，∴．‎ ‎19．（1）证明：取中点，连结、，‎ 在四边形中，为中点，为中点，所以为中位线，‎ 故：且，因为为中点，‎ 所以且，‎ 所以且，所以四边形为平行四边形，‎ 所以，且平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为为等边三角形，为中点，，，‎ 所以，所以：，又因为，‎ 所以：，.‎ 点到平面的距离为，设点到平面的距离为，‎ 由得，解得.‎ ‎20：（1）设焦距为，由已知，，∴，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为. ‎ ‎（2）设，联立得，‎ 依题意，，化简得，①‎ ‎，‎ ‎， ‎ 若，则， 即，∴，‎ ‎∴， ‎ 即，化简得，②‎ 由①②得.∴点在定圆上.（没有求范围不扣分）‎ ‎21．（1） ‎ 由可知， ‎ 令得 或令得 ‎ 即 此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ ‎（2）当时，不等式 即 ‎ ‎ 令，对任意恒成立 又 ‎ ‎ 当时，，所以在上递增，且最小值为 ‎（i）当，即时，对任意恒成立 ‎ 在上递增， 当时，满题意； （ii）当，即时，‎ 由上可得存在唯一的实数，使得，可得当时，‎ ‎，在上递减，此时不符合题意； 综上得，当时，满足题意，即符合题意的实数的最大值为. ‎ ‎22．（1）的参数方程，消参得普通方程为，‎ 的极坐标方程化为即；‎ ‎（2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，）‎ 代入曲线得，由，‎ 得 ‎ 设，对应的参数为，，由题意得即或，‎ 当时，，解得 ，‎ 当时，解得，综上：或.‎ ‎23．（1）左边 由柯西不等式得：（取等号的条件是），即所以，原不等式得证。‎ ‎（2）由于，，，，设，，，则，‎ 所以，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ 由柯西不等式可得：，（当且仅当时等号成立）‎ 所以，故（当且仅当时等号成立），则原不等式得证