【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第14讲导数的应用第3课时学案
第3课时 导数与不等式
例1 [思路点拨 (1)对函数f(x)求导,根据切线方程及导数得出参数a,b;(2)构建函数F(x)=f(x)-g(x),只需证明F(x)≤0,对F(x)求导,分析求单调性与最大值.
解:(1)∵f'(x)= +3(1-a)x2+b,
∴f'(e)= +3(1-a)e2+b,且f(e)=1+(1-a)e3+be,
又曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=x,
∴切点坐标为(e,1+e),
∴
解得a=b=1.
(2)证明:由(1)可知f(x)=ln x+x,g(x)=xex-1,且f(x)的定义域为(0,+∞),
令F(x)=f(x)-g(x)=ln x+x-xex+1,
则F'(x)= +1-ex-xex=-(x+1)ex=(x+1) -ex.
令G(x)= -ex,可知G(x)在(0,+∞)上为减函数,且G=2->0,G(1)=1-e<0,
∴存在x0∈,1,使得G(x0)=0,即-=0.
当x∈(0,x0)时,G(x)>0,∴F'(x)>0,F(x)为增函数;
当x∈(x0,+∞)时,G(x)<0,∴F'(x)<0,F(x)为减函数.
∴F(x)≤F(x0)=ln x0+x0-x0+1,
又∵-=0,∴=,即ln x0=-x0,
∴F(x0)=0,即F(x)≤0,
∴f(x)≤g(x).
变式题 解:(1)依题意得f'(x)=ln x+1-ex,又f(1)=1-e,f'(1)=1-e,
故所求切线方程为y-1+e=(1-e)(x-1),即y=(1-e)x.
(2)证明:依题意,要证f(x)
0,xln x≤0,
故xln x1时,令g(x)=ex+sin x-1-xln x,故g'(x)=ex+cos x-ln x-1.
令h(x)=g'(x)=ex+cos x-ln x-1,则h'(x)=ex--sin x,
当x>1时,ex->e-1>1,所以h'(x)=ex--sin x>0,故h(x)在(1,+∞)上单调递增.
故h(x)>h(1)=e+cos 1-1>0,即g'(x)>0,所以g(x)>g(1)=e+sin 1-1>0,
即xln x1时,令h'(x)>0,得x>ln a;令h'(x)<0,得x1不合题意.
综上,a的取值范围为(-∞,1 .
例3 [思路点拨 问题转化为f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,构建函数g(x)=f'(x),让其最大值小于或等于0即可.
解:由已知得,f'(x)=ln x+-2(x-a)=ln x--2x+1+2a≤0恒成立.
令g(x)=ln x--2x+1+2a,则g'(x)= +-2==(x>0).
∴当00,g(x)在(0,1)上单调递增,
当x>1时,g'(x)<0,g(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴g(x)max=g(1)=2a-2.
∴由f'(x)≤0恒成立可得a≤1.
即当f(x)在(0,+∞)上单调递减时,a的取值范围是(-∞,1 .
变式题 解:∵函数y=ax2的图像恒在函数y=(x>1)图像的上方,
∴ax2->0在(1,+∞)上恒成立,
∴a>.
设f(x)=,x>1,
则f'(x)=<0在(1,+∞)上恒成立,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴f(x)1时,f(x)>0;
(2)若t≥1,且f(x)>1在区间,e上恒成立,求t的取值范围.
解:(1)证明:当t=1时,f(x)=x--2ln x,
∴f'(x)=1+-==>0,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)>f(1)=1-1-0=0,
∴当x>1时,f(x)>0.
(2)依题意知,在区间,e上f(x)min>1.
f'(x)=t+-==,
令f'(x)=0,解得x=1或x=≤1.
若t≥e,当10,函数f(x)单调递增,
当≤x<1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,
∴f(x)min=f(1)=t-1>1,满足条件.
若10,函数f(x)单调递增,
当2.
2 [配合例2使用 [2017·广元三诊 已知函数f(x)=exsin x-cos x,g(x)=xcos x-ex,其中e是自然对数的底数.
(1)判断函数y=f(x)在0, 内零点的个数,并说明理由;
(2)若对任意的x1∈0, ,总存在x2∈0, ,使得不等式f(x1)+g(x2)≥m成立,试求实数m的取值范围.
解:(1)函数y=f(x)在0, 内的零点的个数为1.
理由如下:因为f(x)=exsin x-cos x,
所以f'(x)=exsin x+excos x+sin x.
因为00,
所以函数f(x)在0, 上单调递增.
因为f(0)=-1<0,f=>0,
所以根据函数零点存在性定理得函数y=f(x)在0, 内的零点的个数为1.
(2)因为不等式f(x1)+g(x2)≥m等价于f(x1)≥m-g(x2),
所以对任意的x1∈0, ,总存在x2∈0, ,使得不等式f(x1)+g(x2)≥m成立等价于f(x1)min≥[m-g(x2) min=m-g(x2)max.
当x∈0, 时,f'(x)=exsin x+excos x+sin x>0,
故f(x)在区间上单调递增,
所以当x=0时,f(x)取得最小值-1.
又g'(x)=cos x-xsin x-ex,
由于在0, 上,0≤cos x≤1,xsin x≥0,ex≥,
所以g'(x)<0,故g(x)在区间0, 上单调递减.
因此,当x=0时,g(x)取得最大值-.
所以-1≥m-(-),即m≤--1,
所以实数m的取值范围是(-∞,-1- .