2016年上海市闸北区高考二模数学理

2016年上海市闸北区高考二模数学理

2016 年上海市闸北区高考二模数学理 一、填空题(60 分)本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个 空格填对得 6 分，否则一律得零分． 1.已知函数 01xxfxaaaa （ ） （ ＞ ， ），且 f(1)=3，则 f(0)+f(1)+f(2)的值是 . 解析：∵ 1221 21302227faaffaaaa （） ，（） ，（） （ ） ， ∴f(1)+f(0)+f(2)=12． 答案：12 2.已知集合 2{|}{|} 2230AxxaBxxxBA ＜ ， ＜ ，若 ，则实数 a 的取值范 围是 . 解析：由|x-2|＜a，可得 2-a＜x＜2+a(a＞0)，∴A=(2-a，2+a)(a＞0)． 由 2 2 3 0xx＜ ，解得-1＜x＜3．B=(-1，3)． ∵ 21 23 aBA a      ，则 ，解得 a≥3． 答案：a≥3． 3.如果复数 z 满足|z|=1 且 2zabi ，其中 a，b∈R，则 a+b 的最大值是 . 解析：∵|z|=1，∴ 2 1z  ， 222 1zabiab由 ，得 ， ∴ 222 22abab（ ） （ ） ， 故当 2 2ab＝ ＝ 时，a+b 的最大值是 2 ． 答案： 2 ． 4.在直角坐标系 xOy 中，已知三点 A(a，1)，B(2，b)，C(3，4)，若向量OAOB， 在向量 OC 方 向上的投影相同，则 3a-4b 的值是 . 解析：向量 在向量OC 方向上的投影相同， ∴OA OC OB OC   ， ∵A(a，1)，B(2，b)，C(3，4)， ∴3a+4=6+4b， ∴3a-4b=2， 答案：2． 5.某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以 a 为 首项，2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是以 7000 元、5600 元、4200 元，则参加此次 大赛获得奖金的期望是 . 解析：∵某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是 以 a 为首项，2 为公比的等比数列， ∴获得一、二、三等奖的概率分别为 a，2a，4a，且 a+2a+4a=1，解得 1 7a  ， ∴获得一、二、三等奖的概率分别为 1 2 4 777， ， ， ∵一、三、三等奖相应的奖金分别是以 7000 元、5600 元、4200 元， ∴参加此次大赛获得奖金的期望 1247000560042005000777EX（ ） 元． 答案：5000． 6.已知 12FF、 是椭圆 C： 22 221 0 0yx abab（ ＞ ， ＞ ）的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 12PFPF ．若 12P F F 的面积为 9，则 b= . 解析：∵ 12FF、 是椭圆 C： 22 221 0 0yx abab（ ＞ ， ＞ ）的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 ． ∴ 222 121212 1249 2PFPFa PFPFcPF PF ， ， ＝ ， ∴ 222 1212 424PFPFcPFPFa（ ） ， ∴ 2 2 236 4 4a c b  （ ） ， ∴b=3． 答案：3． 7.△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边且 2 2 2ac c b a   ，若△ABC 最大边 长是 7 且 sinC=2sinA，则△ABC 最小边的边长为 . 解析：∵ 2 2 22 2 2 1 22 a c bac c b a cosB ac       ， ， ∴ 2 73Bb ， ． ∵sinC=2sinA，∴c=2a， ∴三角形的最短边为 a． 由余弦定理得 22 2 471 24 aacosB a ＝ ，解得 a=1． 答案：1． 8.在极坐标系中，曲线ρ=sinθ+2 与ρsinθ=2 的公共点到极点的距离为 . 解析：ρ=sinθ+2 与ρsinθ=2 消去 sinθ，可得ρ(ρ-2)=2，由于ρ＞0，解得 13  ． 答案： 13 ． 9.如图，A，B 是直线 l 上的两点，且 AB=2．两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A，B 点， C 是这两个圆的公共点，则圆弧 ， 与线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是 ． 解析：如图，当⊙O1 与⊙O2 外切于点 C 时，S 最大， 此时，两圆半径为 1，S 等于矩形 ABO2O1 的面积减去两扇形面积， ∴ 2121212 42()maxS ＝ ＝ ， 随着圆半径的变化，C 可以向直线 l 靠近， 当 C 到直线 l 的距离 d→0 时，S→0， ∴ 02( 2]S ， ． 答案：(0 ]2 2 ， 10.设函数 f(x)=x2-1，对任意 24[3 142 xxfm f x f xf mm   ， ），（ ） （ ） （ ） （ ）恒成立， 则实数 m 的取值范围是 . 解析：依据题意得 2 2 2 2 2 2 31 4 1 1 1 4 1 2[x m x x m xm           （ ）（ ） （ ）在 ， ）上恒定 成立， 即 22 3312421 [2mxxmx   在 ， ）上恒成立． 当 x= 3 2 时，函数 2 3 2 1y xx    取得最小值 5 3 ， ∴ 2 51 42 3mm    ，即(3m2+1)(4m2-3)≥0， 解得 33 22mm  或 ， 答案： 33 2 [)2(]， ， ． 二、选择题(15 分)本大题共有 3 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的， 必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 11.向量 ab， 均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p： 1ab ＞ ”是命题 q： 5 6[ 2   ， ） 的( )条件( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件 解析：若 ，则平方得： 22 12221 2aa bba ba b ＞，即 ＜ ，则 1 2 abcos a b ab      ＜ ， ∴ 3 ]3] p（ ， ，即 ： （ ， ， ∵命题 q： ， ∴p 是 q 的必要不充分条件. 答案：B 12.已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA=AB=1， 2BC＝ ，则球 O 的表面积等于( ) A.4π B.3π C.2π D.π 解析：∵已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点 ∴OA=OB=OC=OS=1 又 SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA=AB=1， 2BC＝ ， ∴球 O 的直径为 2R=SC=2，R=1， ∴表面积为 4πR2=4π． 答案：A． 13.已知数列{an}中，an+1=3Sn，则下列关于{an}的说法正确的是( ) A.一定为等差数列 B.一定为等比数列 C.可能为等差数列，但不会为等比数列 D.可能为等比数列，但不会为等差数列 解析：∵an+1=3Sn， ∴Sn+1-Sn=3Sn， ∴Sn+1=4Sn， 若 S1=0，则数列{an}为等差数列； 若 S1≠0，则数列{Sn}为首项为 S1，公比为 4 的等比数列，∴Sn=S1·4n-1， 此时 an=Sn-Sn-1=3S1·4n-2(n≥2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列． 综上，数列{an}可能为等差数列，但不会为等比数列． 答案：C． 三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应 的题号)内写出必要的步骤． 14.(理)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，AD=1，AA1=1，点 E 在棱 AB 上移动． (1)探求 AE 等于何值时，直线 D1E 与平面 AA1D1D 成 45°角； (2)点 E 移动为棱 AB 中点时，求点 E 到平面 A1DC1 的距离． 解析：(1)解法一：先找到直线 D1E 与平面 AA1D1D 所成的平面角，放入直角三角形中，根据 角的大小为 45°，来求三角形中边之间的关系，即可求出 AE 长度． 解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出 1DE坐标，以及平面 AA1D1D 的 法向量的坐标，因为直线 D1E 与平面 AA1D1D 成 45°角，所以 1DE与平面 AA1D1D 的法向量 成 45°角，再用向量的数量积公式即可求出 1DE坐标，进而判断 E 点位置． (2)利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式 n D E d n  ＝ 来求，其中 n 为平面的法向 量， DE 为 E 点到平面上任意一点的向量． 答案：(1)解法一：长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，因为点 E 在棱 AB 上移动，所以 EA⊥平面 AA1D1D， 从而∠ED1A 为直线 D1E 与平面 AA1D1D 所成的平面角， Rt△ED1A 中， 11452EDAAEAD  ＝ ＝ ． 解法二：以 D 为坐标原点，射线 DA、DC、DD1 依次为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系， 则点 D1(0，0，1)，平面 AA1D1D 的法向量为 DC ＝(0，2，0)，设 E(1，y，0)，得 ＝(1， y，-1)， 由 1 1 4 D E DC sin D E DC  ＝ ，得 2y＝ ， 故 2AE＝ (2)以 D 为坐标原点，射线 DA、DC、DD1 依次为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，则点 E(1， 1，0)，A1(1，0，1)， C1(0，2，1)， 从而 11()1 0 10 2 111 0()()DADCDE＝ ，，， ＝ ，，， ＝ ，， 设平面 DA1C1 的法向量为 ＝(x，y，z)，由 1 1 0 0 200 n DA xz yzn DC      ＝ ＝ ＝＝ 令 11 2()1n ＝ ， ， ， 所以点 E 到平面 A1DC1 的距离为 =1． 15.某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 2 4 xP  (其中 0≤x≤a，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本 16 P P（ ）万元(不含 促销费用)，产品的销售价格定为 204 p（ ）元/件． (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 解析：(1)根据产品的利润=销售额-产品的成本建立函数关系； (2)利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件． 答案：(1)由题意知， 20 146ypxP pP（ ） （ ）， 将 2 4 xP  代入化简得： 324190 22yxxa x  （ ）； (2)  31616222223210222yxx xx（ ） ， 当且仅当 16 =22 xx  ，即 x=2 时，上式取等号； 当 a≥2 时，促销费用投入 2 万元时，该公司的利润最大； 2 3324 2419 2 2 22y x yx x       ， （ ） ， ∴a＜2 时，函数在[0，a]上单调递增， ∴x=a 时，函数有最大值．即促销费用投入 a 万元时，该公司的利润最大． 16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为 04 （ ，）， 将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右 平移 2  个单位长度后得到函数 g(x)的图象． (1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式； (2)求证：存在 x0∈ 64 （ ， ），使得 f(x0)，g(x0)，f(x0)·g(x0)能按照某种顺序成等差数列． 解析：(1)由周期公式可得ω，ω＞0，再由对称中心可得φ值，可得 f(x)解析式，由函数图 象变换和诱导公式化简可得； (2)当 x∈ 64 （ ， ）时 sinx＞cos2x＞sinx?cos2x，问题转化为方程 2cos2x=sinx+sinx?cos2x 在 64 （ ，）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得． 答案：(1)∵函数 f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π，ω＞0，∴ω＝2πT＝2， 又曲线 y=f(x)的一个对称中心为( ，φ∈(0，π)， ∴sin(2× 4  +φ)=0，可得φ＝ 2  ，∴f(x)=cos2x， 将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y=cosx 的图象， 再将 y=cosx 的图象向右平移 2  个单位长度后得到函数 g(x)=cos(x- 2  )的图象， 由诱导公式化简可得 g(x)=sinx； (2)当 x∈ 时， 21102222sinxcos x＜ ＜ ，＜ ＜ ， ∴sinx＞cos2x＞sinx·cos2x， 问题转化为方程 2cos2x=sinx+sinx·cos2x 在 64 （ ， ）内是否有解． 设 G(x)=sinx+sinx·cos2x-2cos2x，x∈ ， ∵ 21 006442()()GG＝ ＜ ， ＝ ＞ ，且函数 G(x)的图象连续不断， ∴函数 G(x)在( 内存在零点 x0， 即存在 x0∈ ，使得 f(x0)，g(x0)，f(x0)·g(x0)能按照某种顺序成等差数列． 17.若动点 M 到定点 A(0，1)与定直线 l：y=3 的距离之和为 4． (1)求点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图； (2)记(1)得到的轨迹为曲线 C，问曲线 C 上关于点 B(0，t)(t∈R)对称的不同点有几对？请说明 理由． 解析：(1)设 M(x，y)，由题意  22 134xyy ＝ ，分类讨论，可得点 M 的轨迹方 程，并画出方程的曲线草图； (2)当 t≤0 或 t≥4 显然不存在符合题意的对称点．当 0＜t＜4 时，注意到曲线 C 关于 y 轴对 称，至少存在一对(关于 y 轴对称的)对称点，下面研究曲线 C 上关于 B(0，t)对称但不关于 y 轴对称的对称点即可． 答案：(1)设 M(x，y)，由题意  22 134xyy ＝ ①：当 y≤3 时，有  22 1=1xyy ，化简得：x2=4y ②：当 y＞3 时，有  22 1=7-xyy ，化简得：x2=-12(y-4)(二次函数) 综上所述：点 M 的轨迹方程为   2 43 12 4 3 yy x yy  ， ＝ ， ＞ (如图) (2)当 t≤0 或 t≥4 显然不存在符合题意的对称点 当 0＜t＜4 时，注意到曲线 C 关于 y 轴对称，至少存在一对(关于 y 轴对称的)对称点 下面研究曲线 C 上关于 B(0，t)对称但不关于 y 轴对称的对称点 设 P(x0，y0)是轨迹 x2=4y(y≤3)上任意一点，则 x20＝4y0(y0≤3)，它关于 B(0，t)的对称点为 Q(-x0，2t-y0)，由于点 Q 在轨迹 x2=-12(y-4)上， 所以(-x0)2＝-12(2t-y0-4)，联立方程组   2 00 2 00 4 1224 xy xty   ＝ ＝ (*)得 4y0=-12(2t-y0-4)，化简得 0 0(0 )6 33 yty ＝ ①当 y0∈(0，3)时，t∈(2，3)，此时方程组(*)有两解，即增加有两组对称点． ②当 y0=0 时，t=2，此时方程组(*)只有一组解，即增加一组对称点．(注：对称点为 P(0，0)， Q(0，4)) ③当 y0=3 时，t=3，此时方程组(*)有两解为 23 3()2) 33(PQ，， ， ，没有增加新的对称点． 综上所述： 04 0 21 22 2 33 3 41 () () [) tt t t t t         ， ，不存在 ，， ＝ ， ，， ，， 对 对 对 对 18.已知数列{an}，Sn 为其前 n 项的和，满足  1 2n nnS  ． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列 1 na  的前n 项和为Tn，数列{Tn}的前 n项和为 Rn，求证：当 n≥2，n∈N*时 Rn-1=n(Tn-1)； (3)已知当 n∈N*，且 n≥6 时有 11 32 mm nn （ ） ＜（ ） ，其中 m=1，2，…，n，求满足 3n+4n+… +(n+2)n=(an+3)an 的所有 n 的值． 解析：(1)利用递推关系即可得出； (2)法一：直接计算化简即可证明； 法二：利用数学归纳法即可证明． (3)利用“累加求和”方法、不等式的性质、分类讨论即可得出． 答案：(1)解：当 n≥2 时，     1 11 22n n n n n n na S S n ＝ ＝ ＝ ， 又∵a1=S1=1，∴an=n． (2)证明：＜法一＞：∵ 1111 1 2n n Tann ＝ ， ＝ ， ∴          1 1111111111111 1?23122321 ) 2( 31nRnnn nn    ＝ =  111111111111122312()()() 31 nnnn Tn nnnn＝ ＝ ． ＜法二＞：数学归纳法 ①n=2 时，  112 112 1111 21211RTT aaa   ＝ ＝ ＝， ＝ ＝ ， ②假设 n=k(k≥2，k∈N*)时有 Rk-1=k(Tk-1)， 当 n=k+1 时，            1111 1 1111111 111 1kkkkkkkkk k RRTk TTkTkkTkkTkkT ak        ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴n=k+1 是原式成立 由①②可知当 n≥2，n∈N*时 Rn-1=n(Tn-1)． (3)解：∵    111 2 32 n mm mnn ＜ ， ，， ， ．                   2 3 1 2 11 32 1 12 32 13 32 411 32 3 1 32 n n n n n n n nm n nm n nm n mn n mn n                  ＝ ， ＜ ＝ ， ＜ ＝ ， ＜ 相加得 ＝ ， ＜ ＝ ， ＜ 时 时 时 时 时 ，                231213 411111 333322222 nnnn nnnn nnnn  ＜ ， ∵          231111111 =11222222 nnn  ＜ ， ∴3n+4n+…+(n+2)n＜(n+3)n， ∴n≥6 时，∴3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n 无解， 又当 n=1 时；3＜4，n=2 时，32+42=52；n=3 时，33+43+53=63n=4 时，34+44+54+64 为偶数，而 74 为奇数，不符合 n=5 时，35+45+55+65+75 为奇数，而 85 为偶数，不符合． 综上所述 n=2 或者 n=3．