数学理卷·2018届江苏省泰安市长城中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届江苏省泰安市长城中学高二下学期期中考试（2017-04）

泰安长城中学2016—2017学年第二学期期中考试 高二数学理科试卷 说明：1.本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题，考试时间为120‎ ‎ 分钟，满分为150分。‎ ‎2．将卷Ⅰ答案用2B铅涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。‎ 卷Ⅰ(选择题 共60分)‎ 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．设为虚数单位，复数，，则复数在复平面上对应的点在( ).‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。‎ ‎(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；‎ ‎ (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。‎ ‎3.已知随机变量服从正态分布，则（ ）‎ A．0.4 B．0.2 C．0.1 D．0.8. ‎ ‎4．用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（ ）‎ A．1 B．1+2 C．1+2+22 D．1+2+22+23‎ ‎5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则 ( )‎ A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45‎ ‎7．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213），若，且互不相同，则三位数中“凹数”有 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 ‎8．若，则 A． B．1 C． D．‎ ‎9.若在上可导，，则( )‎ A．16 B．54 C．﹣24 D．﹣18‎ ‎10．由组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎11 函数在其定义域内可导，其图象如右图所示， ‎ 则导函数的图象可能为（ ）‎ ‎12. .已知的定义域为，的导函数，且满足，则不等式的解集是 （ ）‎ A． B． C．（1，2） D．‎ 卷Ⅱ(非选择题 共90分)‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.复数的值是 ‎ ‎14. .记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，两位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有__________‎ ‎15．如图给出了一个“直角三角形数阵”：满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij（i≥j，i，j∈N*），则a88=___________．‎ ‎16.直线分别与曲线交于，则的最小值为 ____________‎ 三． 解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17.（10分）已知复数 （1） 求复数 ‎ （2） 若求实数的值 ‎18.（12分）‎ ‎ 设的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求展开式中所有的有理项.‎ ‎19.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．‎ ‎(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎20．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？‎ ‎21.(12分)在各项为正的数列中，数列的前项和满足.‎ ‎ (1)求,,；‎ ‎ (2)由(1)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎22．（12分）已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若在上存在一点，使得＜成立，求的取值范围．‎ 泰安长城中学2016—2017学年第二学期期中考试 高二数学理科试卷（参考答案）‎ 一.选择题(每小题5分，共60分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A B C C B A C C D B C D 二.填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. -1 14. 960 15. 16. ‎ 三.解答题(共70分)‎ ‎17.解：（1）== ‎ ‎ （2）把代入已知方程，得 ‎ 整理，得，‎ ‎ ‎ ‎18. 解：（1）令 、‎ ‎ 二项系数之和为 所以 得 ‎ ‎（2）所以 ‎ 当r=0时 ‎ 当r=2时 ‎ 当r=4时 ‎ 所以展开式有理项为，， ‎ ‎19. 解: (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.‎ 所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.‎ P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．‎ 所以，随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎20. 解：设该厂生产x件这种产品利润为L(x)‎ 则L(x)＝500x－2 500－C(x)＝500x－2 500－＝300x－x3－2 500(x∈N)‎ 令L′(x)＝300－x2＝0，得x＝60(件)‎ 又当0≤x<60时，L′(x)>0，x>60时，L′(x)<0‎ 所以x＝60是L(x)的极大值点，也是最大值点．‎ 所以当x＝60时，L(x)＝9 500元．‎ 答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．‎ ‎21.解：(1) ，得， ∵，∴.‎ ‎ ，得，∴.‎ ‎ ，得，∴.‎ ‎ (2)猜想．‎ ‎ 证明如下：① 当时，命题成立；‎ ‎ ②假设时，成立，‎ ‎ 则时，‎ ‎ ，即 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ ∴. ∴.即时，命题成立.‎ ‎ 由①②知，对任意都成立.‎ ‎22. 解： （Ⅰ）的定义域为，‎ 当时，， ，‎ ‎，,切点，斜率 ‎∴曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎ ‎ ‎①当时，即时，在上，在上，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎②当，即时，在上，所以，函数在上单调递增．‎ ‎（Ⅲ）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零．‎ 由（Ⅱ）可知：①当，即时， 在上单调递减，‎ 所以的最小值为，由可得，‎ 因为，所以； ‎ ‎②当，即时， 在上单调递增，‎ 所以最小值为，由可得；‎ ‎③当，即时，可得最小值为， ‎ 因为，所以，‎ 故 此时不存在使成立．‎ 综上可得所求的范围是：或．‎