2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

‎2010~2014年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1．（2014江西，5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)‎ A. π B. π C．(6－2)π D. π 解析：选A　法一：设A(a,0)，B(0，b)，圆C的圆心坐标为，2r＝，由题知圆心到直线2x＋y－4＝0的距离d＝＝r，即|‎2a＋b－8|＝2r，‎2a＋b＝8±2r，由(‎2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2r≤2r⇒r≥，即圆C的面积S＝π r2≥π.‎ 法二：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小．又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离，此时2r＝，得r＝，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝π.‎ 答案：A ‎2．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．‎ 解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．‎ 答案：[－1,1]‎ ‎3．（2014江苏，5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．‎ 解析：因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y ‎－3＝0被圆截得的弦长为2＝.‎ 答案： ‎3．（2014重庆，5分）已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.‎ 解析：依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－‎8a＋1＝0，解得a＝4±.‎ 答案：4± ‎4．（2014湖北，5分）直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.‎ 解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝⇒a2＝1，同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.‎ 答案：2‎ ‎5．（2014江苏，16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆．且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于‎80 m．经测量，点A位于点O正北方向‎60 m处，点C位于点O正东方向‎170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.‎ ‎(1)求新桥BC的长；‎ ‎(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？‎ 解：法一：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0,60)，C(170,0)，‎ 直线BC的斜率kBC＝‎ ‎－tan∠BCO＝－.‎ 又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝.‎ 设点B的坐标为(a，b)，‎ 则kBC＝＝－，kAB＝＝.‎ 解得a＝80，b＝120.‎ 所以BC＝＝150.‎ 因此新桥BC的长是‎150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)．‎ 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，‎ 即4x＋3y－680＝0.‎ 由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，‎ 即r＝＝.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于‎80 m，‎ 所以即 解得10≤d≤35.‎ 故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．‎ 所以当OM＝‎10 m时，圆形保护区的面积最大．‎ 法二：(1)如图，延长OA，CB交于点F.‎ 因为tan∠FCO＝，‎ 所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝.‎ 因为OA＝60，OC＝170，‎ 所以OF＝OCtan∠FCO＝，‎ CF＝＝.‎ 从而AF＝OF－OA＝.‎ 因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝.‎ 又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，‎ 从而BC＝CF－BF＝150.‎ 因此新桥BC的长是‎150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．‎ 因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.‎ 故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于‎80 m，‎ 所以即 解得10≤d≤35.‎ 故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．‎ 所以当OM＝‎10 m时，圆形保护区的面积最大．‎ ‎6．（2013江西，5分）过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　　　 B．－ C．± D．－ 解析：本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，意在考查考生的数形结合的数学思想及运算能力．由y＝ 得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S△AOB＝|OA|·|OB|·sin ∠AOB＝sin ∠AOB.所以当sin ∠AOB＝1，即OA⊥OB时，S△AOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d＝|OA|·sin 45°＝.设此时直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，则有＝，解得k＝±，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k＝－.‎ 答案：B ‎7．（2013山东，4分）过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．‎ 解析：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力．最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦长为2＝2＝2.‎ 答案：2 ‎8．（2013重庆，5分）已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5－4　　　　　　　　　　　 B.－1‎ C．6－2 D. 解析：本题考查与圆有关的最值问题，意在考查考生数形结合的能力．两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|CC2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.‎ 答案：A ‎9．（2013江苏，14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ ‎(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．‎ 解：本题考查直线与圆的方程，两直线交点和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，意在考查学生用待定系数法处理问题的能力和用代数法处理几何性质的能力．‎ ‎(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，‎ 由题意，＝1，解得k＝0或－，‎ 故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.‎ ‎(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.‎ 设点M(x，y)，因为MA＝2MO，‎ 所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．‎ 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.‎ 由‎5a2－‎12a＋8≥0，得a∈R；‎ 由‎5a2－‎12a≤0，得0≤a≤.‎ 所以点C的横坐标a的取值范围为0，.‎ ‎10．（2012天津，5分）设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．[1－，1＋ ]‎ B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞)‎ C．[2－2，2＋2 ]‎ D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞)‎ 解析：由题意可得＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2‎ 或m＋n≥2＋2.‎ 答案：D ‎11．（2012陕西，5分）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)‎ A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 解析：把点(3,0)代入圆的方程的左侧得32＋0－4×3＝－3<0，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆C相交．‎ 答案：A ‎12．（2011江西，5分）若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－，) B．(－，0)∪(0，)‎ C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ 解析：整理曲线C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，知直线l与x轴相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝

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