人教A版理科数学课时试题及解析（63）离散型随机变量的均值与方差、正态分布

人教A版理科数学课时试题及解析（63）离散型随机变量的均值与方差、正态分布

课时作业(六十三)　[第63讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布]‎ ‎[时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．下面说法正确的是(　　)‎ A．离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值 B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值 ‎2．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于(　　)‎ A. B. C．3 D. ‎3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的数学期望是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．某种摸奖活动的规则是：在一个袋子中装有大小、质地完全相同、编号分别为1,2,3,4的小球各一个，先从袋子中摸出一个小球，记下编号后放回袋子中，再从中取出一个小球，记下编号，若两次编号之和大于6，则中奖．某人参加4次这种抽奖活动，记中奖的次数为X，则X的数学期望是(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)等于(　　)‎ A．5 B．10‎ C．15 D．20‎ ‎6． 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)‎ A．100 ‎ B．200 ‎ C．300 ‎ D．400‎ ‎7．已知离散型随机变量X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ P ‎0.5‎ m ‎0.2‎ 则其方差D(X)等于(　　)‎ A．1 B．0.6‎ C．2.44 D．2.4‎ ‎8． 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝(　　)‎ A．0.1588 ‎ B．0.1587‎ C．0.1586 ‎ D．0.1585‎ ‎9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是(　　)‎ A．7.8 B．8‎ C．16 D．15.6‎ ‎10．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)＝________.‎ ‎11．体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮．某位同学每次投篮的命中的概率为，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)＝________.‎ ‎12．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.‎ ‎13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．‎ ‎14．(10分) 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.‎ ‎(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；‎ ‎(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．‎ ‎15．(13分) 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为X.‎ ‎(1)求随机变量X的分布列；‎ ‎(2)求随机变量X的期望E(X)．‎ ‎16．(12分) 低碳生活成为人们未来生活的主流，某市为此制作了两则公益广告：‎ ‎(1)80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放……‎ ‎(2)人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气……‎ 活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机从10～60岁的人群中抽查了n人，统计结果如图K63－1表示抽查的n人中，各年龄段的人数的频率分布直方图，‎ 下表表示抽查的n人中回答正确情况的统计表．‎ 图K63－1‎ 广告一 广告二 回答正确 的人数 占本组人 数的频率 回答正确 的人数 占本组人数 的频率 ‎[10,20)‎ ‎90‎ ‎0.5‎ ‎45‎ a ‎[20,30)‎ ‎225‎ ‎0.75‎ ‎240‎ ‎0.5‎ ‎[30,40)‎ ‎378‎ ‎0.9‎ ‎252‎ ‎0.6‎ ‎[40,50)‎ ‎160‎ b ‎120‎ ‎0.5‎ ‎[50,60)‎ ‎15‎ ‎0.25‎ ‎6‎ ‎0.1‎ ‎(1)分别写出n，a，b的值；‎ ‎(2)若上表中的频率近似值看作各年龄组正确回答广告内容的频率，规定正确回答广告一的内容得20元，正确回答广告二的内容得30元，组织者随机请一家庭的两成员(大人45岁，孩子17岁)回答两广告内容，求该家庭获得资金的期望(各人之间，两广告之间相互独立)．‎ 课时作业(六十三)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．C　[解析] 离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平，它的方差反映X取值的离散程度．‎ ‎2．D　[解析] 因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.‎ ‎3．D　[解析] X＝0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝.‎ ‎4．D　[解析] 根据乘法原理，基本事件的总数是4×4＝16，其中随机事件“两次编号之和大于‎6”‎含有的基本事件是(3,4)，(4,3)，(4,4)，故一次摸奖中奖的概率为.4次摸奖中奖的次数X～B，根据二项分布的数学期望公式，则E(X)＝4×＝.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] 因为X～B，所以E(X)＝，又E(X)＝15，则n＝30.‎ 所以Y～B，故E(Y)＝30×＝10.‎ ‎6．B　[解析] X的数学期望概率符合(n，p)分布；n＝1 000，p＝0.1，∴E(X)＝2×1 000×0.1＝200.‎ ‎7．C　[解析] 因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，‎ D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.‎ ‎8．B　[解析] 通过正态分布对称性及已知条件得P(X＞4)＝＝＝0.1587，故选B.‎ ‎9．A　[解析] X的取值为6,9,12，相应的概率 P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.‎ ‎10．1.4　[解析] X＝0,1,2.P(X＝0)＝0.2×0.4＝0.08，P(X＝1)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44，P(X＝2)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝1.4.‎ ‎11.　[解析] 试验次数X的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝，‎ P(X＝2)＝×＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎12．2　[解析] 每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，‎ 红球出现的次数X～B，故D(X)＝8××＝2.‎ ‎13．(1 000,20 000)　[解析] X表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布为 X ‎100‎ ‎100－a P ‎0.995‎ ‎0.005‎ E(X)＝0.995×100＋(100－a)×0.005＝100－.若保险公司获益，则期望大于0，解得a<20 000，所以a∈(1 000,20 000)．‎ ‎14．[解答] (1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P(A)＝＝.‎ ‎(2)X可取1,2,3,4.‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝·＝，‎ P(X＝3)＝··＝，‎ P(X＝4)＝···＝；‎ 故X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ 答：X的数学期望为.‎ ‎15．[解答] (1)由题意知随机变量X的取值为2,3,4,5,6.‎ P(X＝2)＝×＝，‎ P(X＝3)＝×＋×＝，‎ P(X＝4)＝×＋×＋×＝，‎ P(X＝5)＝×＋×＝，‎ P(X＝6)＝×＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)随机变量X的期望为E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)根据频率分布表，可知年龄在[10,20)岁的人数为＝180.‎ 根据频率分布直方图可得＝0.015×10，得n＝1200，‎ ‎∴a＝＝，＝1200×0.02×10，b＝.‎ ‎∴n＝1200，a＝，b＝.‎ ‎(2)依题意：孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别是P1＝，P2＝.‎ 大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P3＝，P4＝.‎ 设随机变量X表示该家庭获得的资金数，则X的可能取值是：0,20,30,40,50,60,70,80,100.‎ 其分布列为 X ‎0‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎100‎ P ‎∴E(X)＝0×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＋70×＋80×＋100×＝45.‎