【数学】2018届一轮复习人教A版 三角函数的图象与性质 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 三角函数的图象与性质 学案

第一讲 三角函数的图象与性质 ‎ 考情分析]‎ 三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角变换交汇命题，难度为中档偏下.‎ 年份 卷别 考查角度及命题位置 ‎2017‎ Ⅱ卷 三角函数的周期求法·T3‎ 三角函数的最值问题·T13‎ Ⅲ卷 三角函数的最值问题·T6‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 三角函数的图象变换与性质·T6‎ Ⅱ卷 已知三角函数图象求解析式·T3‎ 三角函数的最值问题·T11‎ Ⅲ卷 三角函数图象变换·T14‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 三角函数的图象与性质·T8‎ ‎ 真题自检]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期为(　　)‎ A．4π B．2π C．π D. 解析：依题意得，函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期T＝＝π，选C.‎ 答案：C ‎2．(2016·高考全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即 个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.‎ 答案：D ‎3．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．‎ 解析：依题意，得f(x)＝sin(x＋θ)(其中sin θ＝，cos θ＝)．因此函数f(x)的最大值是.‎ 答案： 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换 ‎ 方法结论]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)图象变换：‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2017·呼和浩特调研)如图是函数f(x)＝sin 2x和函数g(x)的部分图象，则g(x)的图象可能是由f(x)的图象(　　)‎ A．向右平移个单位得到的 B．向右平移个单位得到的 C．向右平移个单位得到的 D．向右平移个单位得到的 解析：由题意可得，在函数f(x)＝sin 2x的图象上，(，y)关于对称轴x＝对称的点为(，y ‎)，而－＝，故g(x)的图象可能是由f(x)的图象向右平移个单位得到的．‎ 答案：B ‎2．(2017·河西五市联考)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，将其图象向左平移m个单位后，得到的图象对应的函数解析式为 y＝2sin(x＋m＋)，由题意得，m＋＝＋kπ，k∈Z，则m＝＋kπ，k∈Z，故取k＝0时，mmin＝，‎ 故选B.‎ 答案：B ‎3．(2017·合肥模拟)要想得到函数y＝sin 2x＋1的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象(　　)‎ A．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：先将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度，即得y＝sin 2x＋1的图象，故选B.‎ 答案：B ‎ 误区警示]‎ 作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sin ωx(ω＞0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，而非|φ|个单位．‎ 由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎ 方法结论]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的确定 利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点确定φ.‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2017·贵阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f()的值为(　　)‎ A．2 B. C．－ D．－ 解析：依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象可知，T＝＝4(－)＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.因为0＜φ＜π，＜＋φ＜，且f′()＝cos(＋φ)＝－1，所以＋φ＝π，φ＝ ，f(x)＝sin(2x＋)，f()＝sin(π＋)＝－×＝－，故选D.‎ 答案：D ‎2．(2017·沈阳模拟)某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝－cos 解析：通解：不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，由图知A＝1，＝－＝，于是＝，即ω＝，是函数的图象递减时经过的零点，于是×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ可以是，选C.‎ 优解：由图象知过点，代入选项可排除A、D.又过点，代入B，C知C正确．‎ 答案：C ‎ 误区警示]‎ 用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.‎ 三角函数的性质 ‎ 方法结论]‎ ‎1．三角函数的单调区间 y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；‎ y＝cos x的单调递增区间是 2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是 2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ y＝tan x的递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．三角函数奇偶性判断 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ ‎(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ ‎3．三角函数周期性的求法 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝.‎ ‎4．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)．‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．‎ ‎ 典例](2017·绵阳模拟)已知函数f(x)＝cos xsin(x＋)－cos2x＋，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(3)求f(x)在 －，]上的最大值和最小值．‎ 解析：由已知有f(x)＝cos xsin(x＋)－cos2x＋ ‎＝sin xcos x－cos2x＋ ‎＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝sin(2x－)．‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)因为y＝sin x的单调递增区间为 2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，‎ 所以2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故f(x)的单调递增区间为 kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(3)因为x∈ －，]，所以2x－∈ －π，]，‎ 所以sin(2x－)∈ －1，]，所以f(x)＝sin(2x－)∈ －，]．‎ 故f(x)在 －，]上的最大值为，最小值为－.‎ ‎ 类题通法]‎ ‎1．整体思想在三角函数性质中的应用 在求解y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将ωx＋φ看作整体，利用y＝Asin x的图象与性质进行求解．‎ ‎2．研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎1．(2017·石家庄模拟)若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于( ‎，0)对称，则函数f(x)在 －，]上的最小值是(　　)‎ A．－1　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)，则由题意，知f()＝2sin(π＋θ＋)＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，f(x)在 －，]上是减函数，所以函数f(x)在 －，]上的最小值为f()＝－2sin ＝－，故选B.‎ 答案：B ‎2．(2017·长春质检)函数y＝sin与y＝cos的图象关于直线x＝a对称，则a可能是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意，函数y＝sin的图象关于直线x＝a对称的图象对应的函数为y＝sin，利用诱导公式将其化为余弦表达式为y＝cos＝cos，则y＝cos＝cos，得a＝.故选A.‎ 答案：A ‎3．(2017·上海普陀区调研)已知函数f(x)＝2sin2 x＋bsin xcos x满足f＝2.‎ ‎(1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)记g(x)＝f(x＋t)，若函数g(x)是偶函数，求实数t的值．‎ 解析：(1)由f＝2，得2×＋b××＝2，‎ 解得b＝2.‎ 则f(x)＝2sin2 x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)得f(x＋t)＝2sin＋1，‎ 所以g(x)＝2sin＋1，‎ 又函数g(x)是偶函数，‎ 则对于任意的实数x，均有g(－x)＝g(x)成立．‎ 所以sin＝sin，‎ 整理得cossin 2x＝0.‎ 则cos＝0，解得2t－＝kπ＋，k∈Z，‎ 所以t＝＋，k∈Z.‎ 三角函数与其他知识的交汇问题 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年 ，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原 三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、向量、方程等知识的交汇．‎ ‎ 典例]　函数y＝2sin ＋1的部分图象如图所示，则(＋2)·＝(　　)‎ A．－10 B．－5‎ C．5 D．10‎ 解析：令y＝1，可得sinx＝0，由五点作图法知x＝π，解得x＝2，故A(2,1)．令y＝2sin x＋1＝－1，得sin x＝－1，由五点作图法得x＝3，故B(3，－1)．所以(＋2)·＝(8，－1)·(1，－2)＝8＋2＝10，故选D.‎ 答案：D ‎ 类题通法]‎ 解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质，如本例充分利用了数形结合思想．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎1．已知定义在区间 0，]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝cos x，如果关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为(　　)‎ A.π B.π C.π D．3π 解析：依题意作出函数f(x)在区间 0，]上的简图，当直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有交点时，‎ 方程f(x)＝a有解，所以－1≤a≤0.①当－＜a≤0时，f(x)＝a有2个解，此时S＝.②当a＝－时，f(x)＝a有3个解，此时S＝＋＝.③当－1＜a＜－时，f(x)＝a有4个解，此时S＝2×＝3π.④当a＝－1时，f(x)＝a有2个解，此时S＝.故选A.‎ 答案：A ‎2．设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋ f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)‎ C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 解析：由正弦型函数的图象可知：f(x)的极值点x0满足f(x0)＝±，则＝＋kπ(k∈Z)，从而得x0＝m(k∈Z)．所以不等式x＋ f(x0)]2＜m2即为‎2m2‎＋3＜m2，变形得m2＞3，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2＞3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2＞1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2＞3，解得m＜－2或m＞2.‎ 答案：C