西藏拉萨中学2020届高三第六次月考数学（理）试题

西藏拉萨中学2020届高三第六次月考数学（理）试题

数学理科试卷 ‎（满分：150分，考试时间：120分钟．请将答案填写在答题卡上）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，集合为整数集，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，所以，故选D.‎ 考点：集合的交集运算.‎ ‎2.已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．‎ ‎【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．‎ ‎【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．‎ ‎3.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由及即可得解.‎ ‎【详解】由，可得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.‎ ‎4.设复数满足，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：复数的运算 ‎5.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=‎0”‎是“f（x）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.‎ ‎【详解】 时，, 为偶函数；‎ 为偶函数时，对任意的恒成立，‎ ‎ ‎ ‎ ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.‎ ‎【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.‎ ‎6.命题“，使得”的否定形式是（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．‎ ‎【考点】全称命题与特称命题的否定．‎ ‎【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．‎ ‎7.在棱长为2的正方体中，点O在底面ABCD中心，在正方体内随机取一点P则点P与点O距离大于1的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本题考查几何概型，空间几何体的体积，空间想象能力.‎ 到点的距离不大于1的点在以点为球心，1为半径的半球内；其体积为 正方体体积为则在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为故选B ‎8.设为常数，动点分别与两定点，的连线的斜率之积为定值，若点的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎-2 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为定值，求得x和y的关系式，对的范围进行分类讨论，当时，方程的轨迹为双曲线，根据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得λ的值．‎ ‎【详解】依题意可知，整理得，‎ 当时，方程的轨迹为双曲线，‎ ‎ 即，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查双曲线的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎9.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由指数函数，对数函数的性质，可知，‎ ‎，即，选A 考点：指数函数，对数函数的性质 ‎10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．‎ 甲：我的成绩比乙高．‎ 乙：丙的成绩比我和甲的都高．‎ 丙：我的成绩比乙高．‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用逐一验证的方法进行求解.‎ ‎【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．‎ ‎【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．‎ ‎11.如图所示，点从点出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为△的中心，设点走过的路程为，△的面积为（当、、三点共线时，记面积为0），则函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】当 时, ，为一次递增函数,去掉B；当(BC中点) 时为一次递减函数，去掉C,D；所以选A.‎ 点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系 ‎12.函数的导函数，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求得，则函数为单调递增函数，把不等式，转化为，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，对任意，都有成立，即，‎ 令，则，‎ 所以函数为单调递增函数，‎ 又因为不等式，即，‎ 因为，所以，所以不等式的解集为，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数点运算，以及利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据选项及已知条件合理构造新函数，利用导数判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.代数式的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：原代数式变形为：，令，因为，则原式（当且仅当“即”时取“”），所以的最小值为：.‎ 考点：1.同角三角函数的基本关系；2.换元法；3.基本不等式求最值.‎ ‎14.已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列出关于、的方程组，即可解出这两个量的值.‎ ‎【详解】由题可得，，故有，‎ 又因为，即，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎15.已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，（），有如下结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④．‎ 上述结论中正确结论的序号是 ．‎ ‎【答案】（1），（4）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：点在函数（且）图象上，即 ‎∵对于函数定义域中的任意的 有 ‎∴结论（1）正确；‎ 又，‎ ‎∴结论（2）错误；‎ 又是定义域上的增函数，‎ ‎∴对任意的不妨设，则，‎ ‎∴结论（3）错误，结论；‎ 又 ‎∴结论（4）正确；‎ 综上，正确的结论是（1），（4）；‎ ‎16.已知为定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程()有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性作出函数的图象，利用换元法判断函数的根的个数，利用数形结合即可得出结论．‎ ‎【详解】作出函数的图象如图：‎ 则在和上递增，在和上递减，‎ 当时，函数取得极大值；‎ 当时，取得极小值，‎ 关于的方程()有且仅有6个不同的实数根，设，则当，方程有个根，‎ 当，方程有个根，‎ 当或，方程有2个根，‎ 当，方程有4个根，‎ 当，方程有0个根．‎ 则必有两个根、，‎ 则有两种情况符合题意：‎ ‎①，且，‎ 此时，‎ 则；‎ ‎②，，‎ 此时同理可得，‎ 综上可得a的范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程，考查函数的表示法以及一次函数和二次函数，考查数形结合思想，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. △ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ‎ ‎∴2b=a+c， ‎ 利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC， ‎ ‎∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）， ‎ ‎∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）； ‎ ‎（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ‎ ‎∴b2=ac，‎ ‎∴cosB==≥=，‎ 当且仅当a=c时等号成立， ‎ ‎∴cosB的最小值为．‎ 考点：余弦定理；正弦定理 ‎18.为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．‎ 方法甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．‎ 方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．‎ ‎（1）求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；‎ ‎（2）表示方案甲所需化验次数，表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．‎ ‎【答案】（1）（2）方案乙最佳．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设表示方案甲所需化验次数为i次，表示方案乙所需化验的次数为j次，分别求得甲乙两种方案各需化验次数的概率，即可求得两种方案所需化验次数的概率；‎ ‎（2）由题意可知的可能取值为1，2，3，4，5．的可能取值为2，3．分别求得两种化验方案的期望，即可比较.‎ ‎【详解】设表示方案甲所需化验次数为次，表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立．‎ ‎（1），，‎ ‎ ，，‎ 用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，‎ 则 ‎（2）的可能取值为1，2，3，4，5．的可能取值为2，3．‎ 由（1）知，‎ 所以，‎ ‎，.‎ 所以．‎ 因为，所以从经济角度考虑方案乙最佳．‎ ‎【点睛】本题考查了独立事件概率乘法公式的应用，离散型随机变量期望的求法及应用，属于基础题.‎ ‎19.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，四边形是矩形，平面平面，，，，为的中点，为线段上的一点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若二面角大小为，求的值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接DB，由已知可得△ABD为等边三角形，得到DE⊥AB，则DE⊥DC，再由ADNM为矩形，得DN⊥AD，由面面垂直的性质可得DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，由线面垂直的判断可得DE⊥平面DCN，进一步得到DE⊥CN；‎ ‎（2）由（1）知DN⊥平面ABCD，得到DN⊥DE，DN⊥DC，又DE⊥DC，以D为坐标原点，DE、DC、DN分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设，λ∈[0，1]，分别求出平面PDE与平面DEC的一个法向量，由二面角P﹣DE﹣C的大小为列式求得λ即可．‎ ‎【详解】（1）连接.‎ 在菱形中，，，‎ 为等边三角形.‎ 又为的中点，.‎ 又，.‎ 四边形矩形，.‎ 又平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ 平面.‎ 平面，.‎ 又 平面 平面，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知平面，‎ 平面，。‎ 两两垂直.‎ 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，‎ 设，‎ 则，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 即，‎ 令，则.‎ 由图形知，平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 即，即.‎ ‎，‎ 解得，的值为.‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了线面垂直、面面垂直的判定及性质的应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题．‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，点在上 ‎（1）求的方程 ‎（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线,,把代入得 故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.‎ ‎21.‎ 已知函数.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）的最大值为，的最小值为1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求，由，判断出，得出函数在上单调递减，从而；（2）由于，“”等价于“”，“”等价于“”，令，则，对分；；进行讨论，‎ 用导数法判断函数的单调性，从而确定当对恒成立时的最大值与的最小值.‎ ‎（1）由得，‎ 因为在区间上，所以，在区间上单调递减，‎ 从而.‎ ‎（2）当时，“”等价于“”，“”等价于“”，‎ 令，则，‎ 当时，对任意恒成立，‎ 当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减，从而对任意恒成立.‎ 当时 ，存在唯一的使得，‎ ‎、在区间上的情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为在区间上是增函数，所以，进一步“对任意恒成立”‎ ‎，当且仅当，即.‎ 综上所述，当且仅当时，对任意恒成立.当且仅当时，对任意恒成立.‎ 所以，若对恒成立，则的最大值为与的最小值1.‎ 考点：导数法求函数的单调性，恒成立、分类讨论.‎ 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），椭圆的参数方程为（为参数）‎ ‎（1）将直线的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆相交于，两点，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程化为普通方程为，‎ 代入互化公式可得直线的极坐标方程 ‎（2）椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，‎ 得，即，解得，，‎ 所以．‎ 考点：极坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可求线段的长 ‎23.设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值的性质表示成分段函数形式，然后解不等式即可；‎ ‎（2）作出的图象，结合图象可得出的取值范围.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以原不等式等价于或或，‎ 解得不等式的解集为；‎ ‎（2）图象如图所示，‎ 其中，，直线绕点旋转，‎ 由图可得不等式的解集非空时，‎ 临界直线为和过与，平行的直线，‎ 两临界直线斜率分别为，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及应用，数形结合是解决问题的关键，考查计算能力，属于高考常考题型.‎