2018-2019学年内蒙古赤峰市高二下学期期末联考数学（理)试题 解析版

2018-2019学年内蒙古赤峰市高二下学期期末联考数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古赤峰市2018-2019学年高二下学期期末联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算可得，再利用复数的除法与减法法则可求出复数.‎ ‎【详解】‎ ‎，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的四则运算，考查复数的求解，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，‎ 则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，‎ ‎∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．‎ ‎3．某校1000名学生中, 型血有400人, 型血有250人, 型血有250人, 型血有100人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为60人的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则型血、型血、型血、型血的人要分别抽的人数为（ ）‎ A．24,15,15,6 B．21,15,15,9 C．20,18,18,4 D．20,12,12,6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数.‎ ‎【详解】‎ 根据分层抽样的特点可知，型血的人要抽取的人数为，‎ 型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，‎ 型血的人要抽取的人数为，故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用球体的体积公式得，得出的表达式，再将的近似值代入可得出的最精确的表达式.‎ ‎【详解】‎ 由球体的体积公式得，，，‎ ‎，，，与最为接近，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题。‎ ‎5．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量 (单位:千瓦·时)与气温 (单位: )之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表：‎ ‎（单位：）‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎-1‎ ‎（单位：千瓦时）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据得线性回归方程: ,则由此估计:当某天气温为12时,当天用电量约为（ ）‎ A．56千瓦时 B．36千瓦时 C．34千瓦时 D．38千瓦时 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出和的值，将点的坐标代入回归直线方程，得出的值，再将代入可得出的值，即为所求结果。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，‎ 由于回归直线过样本的中心点，则，得，‎ 回归直线方程为，当时，（千瓦时），故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程的应用，解题的关键在于利用回归直线过样本中心点这一结论，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎6．甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.4,则本次比赛甲获胜的概率是（ ）‎ A．0.216 B．0.36 C．0.352 D．0.648‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先列举出甲获胜的情况，再利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率。‎ ‎【详解】‎ 记事件甲获胜，则事件包含：①比赛两局，这两局甲赢；②比赛三局，前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢。由独立事件的概率乘法公式得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立事件的概率乘法公式的应用，解题前先要弄清事件所包含的基本情况，并逐一列举出来，并结合概率的乘法公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎7．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）‎ A．8 B．4 C．6 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点、，由，可计算出点的横坐标的值，再利用抛物线的定义可求出.‎ ‎【详解】‎ 设点、，易知点，，，，‎ 解得，因此，，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎8．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定事件，利用古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概型的概率公式可计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 事件为“名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，‎ 则，，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题。‎ ‎9．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻,则不同坐法的总数为（ ）‎ A．12 B．36 C．84 D．96‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，利用捆绑法计算出事件、事件、事件的排法种数、、，利用容斥原理可得出所求的坐法种数为，于此可计算出所求坐法种数。‎ ‎【详解】‎ 记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，‎ 对于事件，将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他四个元素进行排序，‎ 则，同理可得，‎ 对于事件，将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素进行排序，则，由容斥原理可知，所求的坐法种数为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题。‎ ‎10．已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，将问题转化为恒成立，构造函数，将问题转化为来求解，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，，令，则.‎ ‎，其中，且函数单调递增.‎ ‎①当时，对任意的,，此时函数在上单调递增，‎ 则，合乎题意；‎ ‎②当时，令，得，.‎ 当时，；当时，.‎ 此时，函数在处取得最小值，则，不合乎题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的在区间上的单调性求参数的取值范围，解题时根据函数的单调性转化为导数的符号来处理，然后利用参变量分离法或分类讨论思想转化函数的最值求解，属于常考题，属于中等题。‎ ‎11．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线,交双曲线于,是另一焦点,若,则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性知是以点为直角顶点，且，可得，利用双曲线的定义得出，再利用锐角三角函数的定义可求出双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线的对称性可知，是以点为直角顶点，且，则，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 在中，，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求解，要充分研究双曲线的几何性质，在遇到焦点时，善于利用双曲线的定义来求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中等题。‎ ‎12．已知函数，则方程的根的个数为（ ）‎ A．7 B．5 C．3 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.‎ ‎【详解】‎ 令，先解方程.‎ ‎（1）当时，则，得；‎ ‎（2）当时，则，即，解得，.‎ 如下图所示：‎ 直线，，与函数的交点个数为、、，‎ 所以，方程的根的个数为，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．随机变量服从二项分布，且，，则等于__________．‎ ‎【答案】900‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项分布的期望和方差，列出关于和的方程组，可解出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布的数学期望和方差的计算，解题的关键就是这两个公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．超速行驶已成为马路上最大杀手之一,已知某路段属于限速路段,规定通过该路段的汽车时速不超过60,否则视为违规.某天,有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图,则违规的汽车大约为___________．‎ ‎【答案】800‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过频率分布直方图，得出速度大于对应矩形的面积和，再乘以可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，速度大于的汽车的频率为，‎ 因此，违规的汽车数为，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，计算频率时要找出符合条件的矩形的面积之和，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15．设为曲线上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由切线的倾斜角范围为，得知切线斜率的取值范围是，然后对曲线对应的函数求导得，解不等式可得出点的横坐标的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是，则切线斜率的取值范围是，‎ 对函数求导得，令，即，‎ 解不等式，得或；‎ 解不等式，即，解得.‎ 所以，不等式组的解集为.‎ 因此，点的横坐标的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查切线的斜率与点的横坐标之间的关系，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎16．已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:‎ ‎①平面，且的长度为定值；‎ ‎②三棱锥的最大体积为；‎ ‎③在翻折过程中，存在某个位置，使得.‎ 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥 的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ 对于命题①，取的中点，连接、，则，，‎ ‎，由勾股定理得，‎ 易知，且，、分别为、的中点，所以，‎ ‎，‎ 四边形为平行四边形，，，‎ 平面，平面，平面，命题①正确；‎ 对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，‎ 取的中点，则，且，‎ 平面平面，平面平面，，‎ 平面，平面，‎ 的面积为，‎ 所以，三棱锥的体积的最大值为，‎ 则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；‎ 对于命题③，，为的中点，所以，，‎ 若，且，平面，‎ 由于平面，，事实上，易得，，‎ ‎，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误.‎ 故答案为：①②.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设命题：对任意，不等式恒成立，命题存在，使得不等式成立.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）考虑命题为真命题时，转化为对任意的成立，解出不等式可得出实数的取值范围；‎ ‎（2）考虑命题为真命题时，则可转化为对任意的成立，可解出实数的取值范围，然后由题中条件得出命题、一真一假，分真假和假真两种情况讨论，于此可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 对于成立，而，有，‎ ‎∴，∴‎ 存在，使得不等式成立，只需 而，∴，∴；‎ ‎（1）若为真，则；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，则一真一假.‎ 若为假命题，为真命题，则，所以；‎ 若为假命题，为真命题，则，所以.‎ 综上，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假与参数的取值范围，考查不等式在区间上成立，一般转化为最值来求解，另外在判断复合命题的真假性时，需要判断简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题。‎ ‎18．某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,‎ 抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.‎ 方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠；若摸到2个红球,则打6折；若摸到1个红球,则打7折；若没摸到红球,则不打折.‎ 方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.‎ ‎(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受6折优惠的概率；‎ ‎(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算.‎ ‎【答案】（1）（2）该顾客选择第一种抽奖方案更合算，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率值；‎ ‎（2）选择方案一，计算出付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算出付款金额数学期望值，比较大小可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）选择方案一：若享受到6折优惠，则需要摸出2个红球，‎ 设顾客享受到6折优惠为事件A，则，‎ 所以两位顾客均享受到6折优惠的概率为；‎ ‎（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0,600,700,1000‎ ‎，，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎1000‎ 所以（元）；‎ 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则，‎ 由已知可得，故，，‎ 所以（元），‎ 因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立事件的概率乘法公式，考查随机变量分布列与数学期望，在列随机变量的分布列时，要弄清变量所满足的分布列类型，结合相关概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）在线段上,存在一点,使得二面角的大小为，且与平面所成角正弦值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于此得出；‎ ‎（2）设，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐标，则即为与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，，∴，∴‎ ‎∵平面，∴，∴平面，平面，∴；‎ ‎（2）以为原点，以过平行于的直线为轴，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，则，即 则，又平面的法向量为，‎ ‎∴‎ 解得：或（舍），，‎ 平面的法向量为，设与平面所成角为，则 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的动点问题以及直线与平面所成角的计算，解题时要建立合适的坐标系，利用空间向量法来计算，另外就是对于动点的处理，要引入合适的参数表示动向量的坐标，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，短轴长为，过右焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)当直线的斜率为时,求的面积；‎ ‎(3)在轴上是否存在点,满足？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）在轴上存在点，满足，且的取值范围为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中条件列有关、、的方程组，解出这三个数，可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）先写出直线的方程，并设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用弦长公式求出，计算出原点到直线的距离，可得出的面积为；‎ ‎（3）①当直线的斜率为零时，得出；‎ ‎②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，并列出韦达定理，求出线段的中点的坐标，由题中条件得出，利用斜率关系可得出与之间的关系式，利用函数思想得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得，解得：，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设直线，设点、，‎ 由，得，，‎ 点到直线的距离为，则；‎ ‎（3）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率为0时，，‎ 当直线的斜率不为0时，设直线，设 由，得 ‎∴，，‎ 的中点，若，则，‎ ‎，，‎ 综上，在轴上存在点，满足，且的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中三角形面积的计算以及直线与椭圆位置关系的综合问题，这种类型问题常用韦达定理法求解，解题时要将题中一些问题等价转化，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎21．设函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间及极值；‎ ‎（2）若函数在上有唯一零点，证明：.‎ ‎【答案】（1）的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域以及导数，利用导数求出函数的单调区间，并由单调性得出函数的极值；‎ ‎（2）利用参变量分离法得出关于的方程在上有唯一解，构造函数，得出，构造函数，求出该函数的导数，判断导数的符号，得出函数的单调性，求出函数 的最小值转化即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，∵，‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数，‎ ‎∴有极小值，无极大值，‎ 故的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；‎ ‎（2）函数在上有唯一零点，即当时，方程有唯一解，‎ ‎∴有唯一解，令，则 令，则，‎ 当时，，故函数为增函数，‎ 又，，‎ ‎∴在上存在唯一零点，则，且，‎ 当时，，‎ 当时，，∴在上有最小值.ly，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、以及利用导数研究函数的零点问题，构造新函数是难点，也是解题的关键，考查转化与化归数学思想，属于难题.‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为.‎ ‎（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若，圆与直线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）直线，圆（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，在圆的极坐标方程两边同时乘以，由可得出圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设对应参数分别为，将直线的参数方程与圆的普通方程联立，列出韦达定理，由的几何意义得出，代入韦达定理可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线，圆；‎ ‎（2）设对应参数分别为，将直线的参数方程 代入圆的方程，整理得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义的应用，解题时充分利用韦达定理法进行求解，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎23．设函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，利用分类讨论法来解不等式；‎ ‎（2）问题转化为解不等式，得出不等式组，从而得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 由，得，由，得，由，得.‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎（2）不等式的解集包含，∴，即,‎ 由，得，∴,‎ ‎∴，问题∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式中的参数问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，通过构造不等关系来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题。‎