【倒计时13天】2019高考湖北名校联盟终极猜押（三）理科数学试题

【倒计时13天】2019高考湖北名校联盟终极猜押（三）理科数学试题

倒倒计计时时1133天天 ··22001199高高考考终终极极猜猜押押之之三三((理理)) 命题角度 1 ———解析几何 一、选择、填空 押题1 已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动 点,PA 是圆C:x2 +y2 -2y=0 的一条切线,A 是切点,若 线段PA 长度的最小值为 2,则k的值为 ( ) A.3 B. 21 2 C.2 2 D.2 押题2 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两 点,交C的准线于D,E 两点.已知 |AB|=4 2,|DE|= 2 5,则C的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8押题3 设直线l过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条 对称轴垂直,l与C 交于A,B 两点,|AB| 为C的实轴长的 2 倍,则C的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.2 D.3 押题4 在平面直角坐标系xOy中,P 是椭圆y2 4+ x2 3=1 上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则 |PA|+|PB| 的 最大值为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 押题5 一个圆经过椭圆x2 16+ y2 4=1 的三个顶点,且圆心 在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 . 押题6 已知双曲线x2 - y2 3=1 上存在两点 M,N 关于直 线y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛物线y2 =18x上,则 实数m 的值为 . 二、解答 押题1 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 3 2, 右顶点A 是抛物线y2 =8x的焦点,直线l:y=k(x-1)与 椭圆C相交于P,Q 两点. (1)求椭圆C的方程. (2)如果AM→ =AP→ +AQ→ ,点 M 关于直线l的对称点N 在 y 轴上,求k的值. 押题2 对于椭圆x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0),有如下性质:若 点(x0,y0)是椭圆上的点,则椭圆在该点处的切线方程为 x0x a2 + y0y b2 =1.利用此结论解答下列问题.点Q 1,3 2 ( ) 是 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)上的点,并且椭圆在点Q 处 的切线斜率为 -1 2 . (1)求椭圆C的标准方程. (2)若动点P 在直线x+y=3 上,经过点P 的直线m,n与 椭圆C相切,切点分别为点 M,N.求证:直线 MN 必经过 一定点. 押题3 如图,椭圆E: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的左焦点为 F1,右焦点为F2,离心率e=1 2,过F1 的直线交椭圆于A,B 两点,且 △ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆E 的方程. (2)设动直线l,y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点P, 且与直线x=4 相交于点Q.试探究在坐标平面内是否存 在定点 M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M? 若存在,求 出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 押题4 已知直线l:y=kx+m 与椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b >0)相交于A,P 两点,与x 轴,y 轴分别交于点N 和点 M,且PM=MN,点Q 是点P 关于x 轴的对称点,QM 的 延长线交椭圆于点B,过点A,B 分别作x 轴的垂线,垂足 分别为A1,B1.若椭圆C的左、右焦点与其短轴的一个端点 是正三角形的三个顶点,点D 1,3 2 ( )在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程. (2)过右焦点F2 作斜率为k的直线l与椭圆C 交于M,N 两点,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PM,PN 为邻 边的平行四边形是菱形? 如果存在,求出m 的取值范围; 如果不存在,请说明理由. 命题角度 2 ———函数与导数 一、选择、填空 押题1 如图,y=f(x)是可导函数, 直线l:y=kx+2 是曲线y=f(x)在 x=3 处的切线,令g(x)=xf(x),g' (x)是g(x)的导函数,则g'(3)= ( ) A.-1 B.0 C.2 D.4 押题2 函数f(x)=2 x +1 2 x -1·cosx的图象大致是 ( ) 押题3 已知函数f x( ) =e x -a 2x+1 ( ) 在 0,+∞ ( ) 上 有两个零点,则实数a的取值范围是 ( ) A. e 2,+∞ æ è ç ö ø ÷ B. e 2,1 æ è ç ö ø ÷ C. e 2,1[ ] D.(1,+∞) 押题4 方程 log1 3 (a-3 x )=2+x有解,则a的最小值为 . 押题5 已知函数g(x)为奇函数,f(x)-g(x)=4,若f(x) 的最大值为 M,最小值为m,则 M+m 等于 . 押题6 已知函数f x( ) =kx-xlnx.若f x( ) 2 恒成立,则整数k的最大值为 . 1 二、解答 押题1 设函数f(x)=xe a-x +bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值. (2)求f(x)的单调区间. 押题2 已知函数f(x)=e x -ax(a∈R,e 为自然对数的 底数). (1)讨论函数f(x)的单调性. (2)若a=1,函数g(x)=(x-m)f(x)-e x +x2 +x在(2, +∞)上为增函数,求实数m 的取值范围. 押题3 已知f'(x)为函数f(x)的导函数,f(x)=e 2x +2f (0)e x -f'(0)x. (1)求f(x)的单调区间. (2)当x>0 时,af(x)0),圆的 方程为x2 +y2 =r2 (r>0), 因为 |AB|=4 2,|DE|=2 5,抛物线的准线方程为x= - p 2, 所以不妨设A 4p,2 2( ),D - p 2,5( ), 因为点A 4p,2 2( ),D - p 2,5( )在圆x2 +y2 =r2 上, 所以16p2+8= p2 4+5,解得p=4(负值舍去), 故C的焦点到准线的距离为 4. 押题3.【解析】选 B. 设双曲线C 的方程为x2 a2 - y2 b2 =1,焦点 F(-c,0),将x=-c代入x2 a2 - y2 b2 =1 可得y2 = b4 a2 ,所以 |AB|=2× b2 a=2×2a,所以b2 =2a2 ,c2 =a2 +b2 =3a2 ,所 以e= c a = 3. 押题4.【解析】选 A. 因为椭圆方程为x2 3+ y2 4=1,所以焦点为 B(0,-1)和B'(0,1),连接PB',AB',根据椭圆的定义,得 |PB|+|PB'|=2a=4,可得 |PB|=4-|PB'|,因此 |PA| +|PB|=|PA|+(4-|PB'|)=4+(|PA|-|PB'|).因 为 |PA|-|PB'|≤|AB'|,所以 |PA|+|PB|≤4+|AB'| =4+1=5,当且仅当P 在AB'延长线上时,等号成立.故 | PA|+|PB| 的最大值为 5. 押题5.【解析】方法一:由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB 的垂直平分线的 方程为 2x-y-3=0.令y=0,得x=3 2,所以圆心坐标为 3 2,0( ),则半径r=4- 3 2 = 5 2 .故该圆的标准方程为 x-3 2 ( )2 +y2 =25 4 . 方法二:如图,设圆心 M(a,0), 则r2 =2 2 +a2 =(4-a)2 ,所以a=3 2,所以r=4-3 2=5 2, 所以圆的方程为 x-3 2 ( )2 +y2 =25 4 . 答案:x-3 2 ( )2 +y2 =25 4押题6.【解析】设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点P(x0, y0), 则 x2 1- y2 1 3=1, ① x2 2- y2 2 3=1, ② x1+x2=2x0, ③ y1+y2=2y0, ④ ì î í ï ï ïï ï ï ï 由 ②-① 得(x2-x1)(x2+x1)=1 3(y2-y1)(y2+y1),显 然x1≠x2 . 所以y2-y1 x2-x1 · y2+y1 x2+x1=3,即kMN · y0 x0=3. 因为 M,N 关于直线y=x+m 对称, 所以kMN =-1,所以y0=-3x0 .又因为y0=x0+m, 所以P - m 4,3m 4 ( ),代入抛物线方程,得 9 16 m2 =18· - m 4 ( ). 解得m=0 或 -8,经检验都符合. 答案: 0 或 -8二、解答 押题1.【解析】(1)由抛物线y2 =8x,可得其焦点坐标为(2, 0), 即点A(2,0),所以a=2. 又因为e= c a = 3 2,所以c= 3,所以b2 =a2 -c2 =1, 所以椭圆C的方程为x2 4+y2 =1. (2)设点P(x1,y1),点Q(x2,y2),又因为点A(2,0), 可得AP→ =(x1-2,y1),AQ→ =(x2-2,y2), 所以AM→ =AP→ +AQ→ =(x1+x2-4,y1+y2), 所以点 M(x1+x2-2,y1+y2). 由 x2 4+y2 =1, y=k(x-1), { 得(4k2 +1)x2 -8k2x+4k2 -4=0(判别 式Δ>0), 则x1+x2-2= 8k2 4k2 +1-2= -2 4k2 +1 ,y1+y2=k(x1+x2- 2 2)= -2k 4k2 +1 , 即点 M -2 4k2 +1 ,-2k 4k2 +1 ( ). 设点N(0,y3),则线段MN的中点坐标为 -1 4k2 +1 ,-k 4k2 +1+ y3 2 æ è ç ö ø ÷ . 因为点 M,N 关于直线l对称,所以线段 MN 的中点在直 线l上, 所以 -k 4k2 +1+ y3 2=k -1 4k2 +1-1( ), 解得y3=-2k,即点N(0,-2k). 由于点 M,N 关于直线l对称,所以点 M,N 所在直线与直 线l垂直, 所以 -2k 4k2 +1-(-2k) -2 4k2 +1-0 ·k=-1,解得k=± 2 2 . 押题2.【解析】(1)因为椭圆C 在点Q 处的切线方程为x a2 + 3y 2b2=1, 其斜率为 -2b2 3a2=-1 2,所以 3a2 =4b2. 又因为点Q 在椭圆上, 所以1a2 + 9 4b2=1. 解得a2 =4,b2 =3. 所以椭圆C的方程为x2 4+ y2 3=1. (2)设点P(x0,y0),点 M(x1,y1),点N(x2,y2), 则切线m: x1 x 4 + y1y 3 =1,切线n: x2 x 4 + y2y 3 =1. 因为m,n都经过点P, 所以x1 x0 4 + y1y0 3 =1, x2 x0 4 + y2y0 3 =1. 即直线 MN 的方程为x0 x 4 + y0y 3 =1, 又因为x0+y0=3, 所以x0 x 4 + (3-x0)y 3 =1, 即(3x-4y)x0+12y-12=0. 令 3x-4y=0, 12y-12=0, { 得 x=4 3, y=1, { 所以直线 MN 必经过一定点 4 3,1( ). 押题3.【解析】(1)因为 |AB|+|AF2|+|BF2|=8. 即 |AF1|+|F1 B|+|AF2|+|BF2|=8, 又 |AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a, 所以 4a=8,a=2. 又因为e=1 2,即c a =1 2,所以c=1,所以b= a2 -c2 = 3, 所以椭圆E 的方程为x2 4+ y2 3=1. (2)由 y=kx+m x2 4+ y2 3=1 { ⇒(3+4k2 )x2 +8mkx+4m2 -12=0, Δ=64m2k2 -16(m2 -3)(3+4k2 )=0⇒m2 =3+4k2. x1=-4mk 3+4k2 y1= 3m 3+4k2 ì î í ïï ïï ⇒P -4mk 3+4k2,3m 3+4k2( ),设 Q 4,4k+m( ) 由对 称性知,若点 M 存在,则必在x轴上,不妨设为 t,0 ( ) ,MP→ = -4mk 3+4k2-t,3m 3+4k2( ),MQ→ =(4-t,4k+m), 又 3+4k2 =m2 ,所以MP→ = -4k m -t,3m( ),MQ→ =(4-t,4k +m), MP→ ·MQ→ = -4k m -t( )(4-t)+3m(4k+m) = 4k m +t( )(t-4)+3m(4k+m) =4kt m -16k m +t2 -4t+12k m +3 =4kt m -4k m +t2 -4t+3 =4t-1 ( )k m + t2 -4t+3 ( ) =0 ⇒ t-1=0 t2 -4t+3=0 { ⇒t=1 故存在 M 1,0 ( ) 满足题意. 押题4.【解析】(1)由题意得 b= 3c, 1a2 + 9 4b2=1, a2 =b2 +c2 , ì î í ï ï ïï 所以 b2 =3, a2 =4, { 所以椭圆C的方程为x2 4+ y2 3=1. (2)由(1)知F2(1,0),l:y=k(x-1),联立 y=k(x-1), x2 4+ y2 3=1,{ 化简得(3+4k2 )x2 -8k2x+4k2 -12=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x1 +x2 = 8k2 3+4k2,y1 +y2 = k(x1+x2-2), PM→ +PN→ =(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1 +y2), 由于菱形对角线互相垂直,则(PM→ +PN→ )·MN→ =0, 因为直线 MN 的方向向量是(1,k), 故k(y1+y2)+x1+x2-2m=0,则k2 (x1+x2-2)+x1+ x2-2m=0, 即k2 8k2 3+4k2-2( )+ 8k2 3+4k2-2m=0. 由已知条件知k≠0 且k∈R, 所以m= k2 3+4k2= 1 3k2 +4 ,所以 00,所以 排除 D. 押 题 3.【解 析 】选 B. 函 数 f x( ) =e x -a 2x+1 ( ) 在 0,+∞ ( ) 上有两个零点,即方程a= e x 2x+1 有两个正根. 令g x( ) = e x 2x+1,g' x( ) =e x 2x-1 ( ) 2x+1 ( )2 , 当 01 2 时,g' x( ) >0, 所以g x( ) 在 0,1 2 ( ) 上是减函数,在 1 2,+∞( ) 上是增函 数. g x( ) min=g 1 2 ( )= e 2,又g 0 ( ) =1, 所以a的取值范围是 e 2,1 æ è ç ö ø ÷ . 押题4.【解析】若方程 log1 3 (a-3 x )=2+x 有解,则 1 3 ( )2+x =a-3 x 有解,即1 9 1 3 ( )x +3 x =a有解,因为1 9 1 3 ( )x +3 x ≥2 3,故a的最小值为2 3 . 答案:2 3押题5.【解析】f(x)=g(x)+4,因为g(x)为奇函数,最大值与 最小值互为相反数,因此M+m=8. 答案: 8 押题6.【解析】由已知得k< x+xlnx x-2 在 2,+∞ ( ) 上恒成立, 令g x( ) = x+xlnx x-2 x>2 ( ) ,则g' x( ) =-2lnx+x-4x-2 ( )2 , 令h x( ) =-2lnx+x-4x>2 ( ) ,则h' x( ) = x-2x >0. 所以h x( ) 在 2,+∞ ( ) 上是增函数. 又h 8 ( ) =4-2ln8<0,h 9 ( ) =5-2ln9>0, 所以存在x0∈ 8,9 ( ) ,使h x0 ( ) =0, 当 2x0 时,h x( ) >0,g' x( ) >0. 所以g x( ) 在 2,x0 ( ) 上是减函数,在 x0,+∞ ( ) 上是增函 数. 又h x0 ( ) =-2lnx0+x0-4=0,所以g x( ) min=g x0 ( ) = x0+x0lnx0 x0-2 =1 2 x0∈ 4,9 2 ( ), 所以k≤4,即整数k的最大值为 4. 答案: 4二、解答 押题1.【解析】(1)因为f(x)=xe a-x +bx,所以f'(x)=(1- x)e a-x +b. 依题设,得 f(2)=2e+2, f'(2)=e-1, { 即 2e a-2 +2b=2e+2, -e a-2 +b=e-1, { 解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=xe 2-x +ex. 由f'(x)=e 2-x (1-x+e x-1 )及 e 2-x >0 知, f'(x)与 1-x+e x-1同号. 令g(x)=1-x+e x-1 ,则g'(x)=-1+e x-1. 所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1) 上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间 (1,+∞)上单调递增. 故g(1)=1 是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值, 从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞). 综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞), 故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 押题2.【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=e x -a. 当a≤0 时,f'(x)>0,所以f(x)在R上为增函数; 当a>0 时,由f'(x)=0 得x=lna, 则当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞,lna)上为减函数, 当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数f(x)在(lna,+∞)上为增函数. (2)当a=1 时,g(x)=(x-m)(e x -x)-e x +x2 +x. 因为g(x)在(2,+∞)上为增函数, 所以g'(x)=xe x -me x +m+1≥0 在(2,+∞)上恒成立, 即m≤ xe x +1 e x -1 在(2,+∞)上恒成立. 令h(x)= xe x +1 e x -1 ,x∈(2,+∞), 则h'(x)=(e x )2 -xe x -2e x (e x -1)2 =e x (e x -x-2) (e x -1)2 . 令L(x)=e x -x-2,L'(x)=e x -1>0 在(2,+∞)上恒成 立, 即L(x)=e x -x-2 在(2,+∞)上为增函数, 即L(x)>L(2)=e 2 -4>0, 所以h'(x)>0 在(2,+∞)上成立, 即h(x)= xe x +1 e x -1 在(2,+∞)上为增函数, 所以h(x)>h(2)=2e 2 +1 e 2 -1 ,所以m≤2e 2 +1 e 2 -1 . 所以实数m 的取值范围是 -∞,2e 2 +1 e 2 -1 ( ]. 押题3.【解析】(1)由f(0)=1+2f(0),得f(0)=-1. 因为f'(x)=2e 2x -2e x -f'(0), 所以f'(0)=2-2-f'(0),解得f'(0)=0. 所以f(x)=e 2x -2e x ,f'(x)=2e 2x -2e x =2e x (e x -1), 当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,则函数f(x)在(-∞,0)上 单调递减; 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上 单调递增. (2)令g(x)=af(x)-e x +x=ae 2x -(2a+1)e x +x, 根据题意,当x∈(0,+∞)时,g(x)<0 恒成立. g'(x)=2ae 2x -(2a+1)e x +1=(2ae x -1)(e x -1). ① 当 00 恒成立, 所以g(x)在(-ln2a,+∞)上是增函数, 且g(x)∈(g(-ln2a),+∞),所以不符合题意; ② 当a≥1 2,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0 恒成立, 所以g(x)在(0,+∞)上是增函数, 且g(x)∈(g(0),+∞),所以不符合题意; ③ 当a≤0 时,因为x∈(0,+∞),所以恒有g'(x)<0, 故g(x)在(0,+∞)上是减函数,于是“g(x)<0 对任意x ∈(0,+∞)都成立”的充要条件是g(0)≤0, 4 即a-(2a+1)≤0,解得a≥-1,故 -1≤a≤0. 综上,a的取值范围是[-1,0]. 押题4.【解析】(1)f'(x)=2x- a x =2x2 -a x (x>0). 当a≤0 时,f'(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞),此时f(x)无单调递减 区间. 当a>0 时,由f'(x)>0,得x> 2a 2 ,由f'(x)<0,得 0< x< 2a 2 , 所以函数f(x)的单调递增区间为 2a 2 ,+∞ æ è ç ö ø ÷ ,单调递减 区间为 0, 2a 2 æ è ç ö ø ÷ . (2)F'(x)=2x- (a-2)- a x =2x2 -(a-2)x-a x = (2x-a)(x+1)x (x>0). 因为函数F(x)有两个零点,所以a>0,此时函数F(x)在 a 2,+∞( )上单调递增,在 0, a 2 ( )上单调递减. 所以F(x)的最小值F a 2 ( )<0,即 -a2 +4a-4aln a 2<0. 因为a>0,所以a+4ln a 2-4>0. 令h(a)=a+4ln a 2-4,显然h(a)在(0,+∞)上为增函 数,且h(2)=-2<0,h(3)=4ln3 2-1=ln81 16-1>0,所以 存在a0∈(2,3),h(a0)=0. 当a>a0 时,h(a)>0;当 00,F(1)=0,所以a=3时,f(x)有两个零点. 综上所述,满足条件的最小正整数a的值为 3. 5