湖南省郴州市2020届高三教学质量监测数学（文）试题

湖南省郴州市2020届高三教学质量监测数学（文）试题

郴州市2020届高三第二次教学质量监测试卷 ‎（文科）数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数的值为（ ）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎32‎ ‎37‎ A. 25 B. ‎26 C. 27 D. 28‎ ‎4. 已知角的终边在直线上，则（ ）‎ A. B. C. 7 D. -7‎ ‎5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知向量，，且，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 设，满足约束条件：，则的最小值为（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. 3‎ ‎9. 如图，函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 下列结论中正确的个数是（ ）‎ ‎①在中，“”是“”的必要不充分条件；‎ ‎②若，的最小值为2；‎ ‎③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱；‎ ‎④数列的通项公式为，则数列的前项和.‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎11. 设双曲线：的左、右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 已知定义在上的函数的导函数为，满足，且对任意 ‎，有，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 抛物线的焦准距是______.‎ ‎14. 函数，则______.‎ ‎15. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，.则的中线的长为______.‎ ‎16. 已知在三棱锥中，，，，，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，设为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离.‎ ‎19. “让几千万农村贫困人口生活好起来，是我心中的牵挂.”习近平总书记多次对精准扶贫、精准脱贫作出重要指示，某大学生村官为帮助某扶贫户脱贫，帮助其种植某品种金桔，并利用互联网进行网络销售，为了更好销售，现从金桔树上随机摘下100个果实进行测重，每个金桔质量分布在区间（单位：克），并且依据质量数据作出其频率分布直方图，如图所示：‎ ‎（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在，的金桔中随机抽取5个，再从这5个金桔中随机抽2个，求这2个金桔质量至少有一个不小于‎40克的概率；‎ ‎（Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率.根据经验，该户的金桔种植地上大约有100000个金桔待出售，某电商提出两种收购方案：‎ 方案：所有金桔均以4元/千克收购；‎ 方案：低于‎40克的金桔以2元/千克收购，其余的以5元/千克收购，请你通过计算为该户选择收益较好的方案.‎ ‎20. 已知，点，分别为椭圆：的左、右顶点，直线交于另一点，为等腰直角三角形，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于，两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.‎ ‎21. 已知函数的图象过原点，且在原点处的切线与直线垂直.（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，总有成立，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，‎ ‎ 则按所做的第一题记分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出是何种曲线；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，射线与曲线交于、两点，求面积的取值范围.‎ ‎23. [选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明：，恒成立.‎ 郴州市2020届高三第二次教学质量监测试卷 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1-5：ACCBC 6-10：AACBA 11-12：DA 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13. 2 14. 10 15. 16. ‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17. 解：（Ⅰ）由题意有，又，，‎ 即，‎ 解得或（舍去），∴，，‎ 故，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 故.‎ 于是，‎ ‎∴ ①‎ ‎∴ ②‎ ‎①-②可得，‎ 故.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）设为的中点，连接，，‎ ‎∵为的中点，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又平面，面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎∵平面平面，平面平面，，‎ ‎∴面，又面，‎ ‎∴，‎ ‎∵在中，，，‎ ‎∴，∴，‎ 在中，，，‎ ‎∴.‎ 设到平面的距离为，‎ 由得：，‎ ‎∴.‎ ‎19. 解：（1）由题得金桔质量在和的比例为，‎ ‎∴应分别在质量为和的金桔中各抽取2个和3个.‎ 记抽取质量在的金桔为，，质量在金桔为，，，‎ 故基本事件共有以下10种：‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 其中至少有一个不小于‎40克的有9种情况，故所求概率为.‎ ‎（2）方案好，理由如下：‎ 由频率分布直方图可知，金桔质量在各个区间的频率依次为 ‎0.1；0.2；0.3；0.25；0.15‎ 各区间段的金桔个数分别为：10000；20000；30000；25000；15000.‎ 若按方案销售：‎ 总收益为 或金桔平均质量克.‎ 则总收益为元.‎ 若按方案销售：‎ 低于‎40克的有个，‎ 不低于‎40克的有70000个，‎ 总收益有元.‎ ‎∵，∴选择方案好些.‎ ‎20. 解：（Ⅰ）根据题意是等腰直角三角形，‎ ‎∴，，‎ 设，由，‎ 得.‎ 代入椭圆方程得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，可设方程为.‎ 设，，‎ 由得，‎ 由直线与椭圆有两个不同的交点，则，‎ 即，‎ 得 ①‎ 又，‎ ‎∵为锐角，则，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，‎ 即，‎ ‎∴ ②‎ 由①②得或，‎ 故直线斜率可取值范围是.‎ ‎21. 解：（Ⅰ）由题意得，故，.由得，‎ ‎∴，定义域为，，‎ ‎①当时，在恒成立，∴函数在上单调递增.‎ ‎②当时，由，解得或；由，解得.‎ 函数在和上单调递增；在上单调递减.‎ ‎③当时，，解得或；由，解得.‎ 函数在和上单调递增；在上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 由，得对任意的恒成立.‎ ‎∵，∴在恒成立.‎ 设，则，‎ 令，则，‎ 由，解得.由，解得；由，解得.‎ ‎∴导函数在区间单增；在区间单减，‎ ‎∴，∴在上单调递减，‎ ‎∴，∴.故所求实数的取值范围.‎ ‎22. 解：（Ⅰ）由（为参数）化为普通方程为，‎ ‎，整理得.‎ 曲线是以为圆心，为半径的圆.‎ ‎（Ⅱ）令，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，∴，∴.‎ 面积的取值范围为.‎ ‎23. 解：（Ⅰ）∵，∴，即，‎ 当，不等式化为，，‎ 当时，不等式化为，此时无解，‎ 当时，不等式化为，∴.‎ 综上，原不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）要证，恒成立，‎ 即证，恒成立，‎ ‎∵的最小值为-2，∴只需证，‎ 即证，‎ 又，‎ ‎∴成立，∴原题得证.‎