2018届二轮复习导数的几何意义学案（全国通用）

2018届二轮复习导数的几何意义学案（全国通用）

专题2 导数的几何意义 导数的几何意义 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ 求切线方程问题的两种类型及方法 ‎(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程(高考常考类型)，则点P (x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)( x－x0)．‎ ‎(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．‎ ‎“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．　‎ ‎[例]　已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2，f (2))处的切线方程；‎ ‎(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．‎ ‎[解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，‎ ‎∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，‎ ‎∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，‎ 即x－y－4＝0.‎ ‎1.设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．‎ ‎[解析]　y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，设P(m，n)，则曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．‎ ‎[答案]　(1,1)‎ ‎2.直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则‎2a＋b的值等于(　　)‎ A．2 B．－‎1 ‎‎ C．1 D．－2‎ ‎[解析]　依题意知，y′＝3x2＋a，则由此解得所以‎2a＋b＝1，选C.‎ ‎[答案]　C ‎3.曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则实数a＝(　　)‎ A．1 B．－‎1 C．7 D．－7‎ 解析：选C　f′(x)＝＝，∵f′(1)＝tan＝－1，即＝－1，∴a＝7.‎ ‎1.已知f(x)＝2exsin x，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)‎ A．y＝0 B．y＝2x C．y＝x D．y＝－2x 解析：选B　∵f(x)＝2exsin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x+1上，且在第二象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________．‎ 解析：由y′＝3x2－1＝2，得x＝±1，又点M在第二象限内，故x＝－1，此时y＝1，故点M的坐标为(－1,1)．‎ 答案：(－1,1)‎ ‎3. (2017·衡阳八中模拟)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a>0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．‎ 解析：因为f(x)＝axln x，所以f′(x)＝ln a·axln x＋.又f′(1)＝3，所以a＝3.‎ 答案：3‎ ‎4.若曲线y＝xln x上点P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ 解析：由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．‎ 答案：(e，e)‎ ‎5.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x) 是g(x)的导函数，则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为________．‎ ‎_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎