江西省南昌市进贤县第一中学2020届高三下学期一调考试数学（文）试卷

江西省南昌市进贤县第一中学2020届高三下学期一调考试数学（文）试卷

‎ 江西省南昌市进贤县第一中学2020届 高三下学期一调考试数学(文)试卷 ‎ 第I卷 （选择题 共60分）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）‎ ‎1．已知复数z＝（其中a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为﹣，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（　　）‎ A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|﹣2≤x≤﹣1} D．{x|﹣1≤x≤2}‎ ‎3．已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎4．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n的结果为（　　）A．53 B．54 C．158 D．263‎ ‎ ‎ ‎5．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹槽的体积为4300cm3，斗的密度是0.70g/cm3．那么这个斗的质量是（　　）注：台体体积公式是．‎ A．3990g B．3010g C．7000g D．6300g ‎6．在△ABC中，，则△ABC的形状是（　　）‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形 ‎7．已知双曲线的左、右顶点分别为， 为双曲线左支上一点， 为等腰三角形且外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知a＞1，设函数f（x）＝ax+x﹣2的零点为m，g（x）＝logax+x﹣2的零点为n，则的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B． C．（4，+∞） D．‎ ‎9．已知函数f（x）＝x3+x+1+sinx，若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在△ABC中，AD⊥AB，＝3，||＝1，则•的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝1，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）‎ A．6π B．7π C．8π D．9π ‎12．已知关于x的方程[f（x）]2﹣kf（x）+1＝0恰有四个不同的实数根，则当函数f（x）＝x2ex时，实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（） ‎ C．（） D．（2，）‎ 二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13．f（x）是定义域为R的偶函数，对∀x∈R，都有f（x+4）＝f（﹣x），当0≤x≤2时，，则＝　 　．‎ ‎14．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是　 ‎ ‎（1）ab有最大值 （2）+有最小值 ‎ ‎（3）+有最小值4 （4）a2+b2有最小值 ‎15．在△ABC中，D是AB的中点，∠ACD与∠CBD互为余角，AD＝2，AC＝3，则sinA的值为　 　．‎ ‎16．如图，曲线y2＝x（y≥0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an，n∈N*（记Q0为O），Qn（Sn，0）．数列{an}的通项公式an＝　 　．‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ （一） 必考题 ‎17．（本小题满分12分）‎ 设{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn．‎ ‎（1）设a1＝40，a6＝38，求Sn的最大值；‎ ‎（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，且对任意的n∈N*，都有 Tn≤20，求d的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥平面A1BD；‎ ‎（2）求三棱锥B1﹣ABE的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关，现收集了一只该品种昆虫的产卵数y（个）和温度x（°C）的7组观测数据，其散点图如图所示：‎ 根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程y＝ebx+a来拟合，令z＝lny，结合样本数据可知：z与温度x可用线性回归方程来拟合．‎ 根据收集到的数据，计算得到如下值：‎ ‎（xi﹣）2‎ ‎（zi﹣）2‎ ‎（xi﹣）（zi﹣）‎ ‎27‎ ‎74‎ ‎3.537‎ ‎182‎ ‎11.9‎ ‎46.418‎ 表中zi＝lnyi，．‎ ‎（1）求z和温度x的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；‎ ‎（2）求产卵数y关于温度x的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26°C～36°C之间（包括26°C与36°C），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围 ‎（参考数据：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈548．）‎ 附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，vn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于相异的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为﹣1；‎ ‎（Ⅱ）设直线AP，AQ分别与x轴交于M，N两点，点G（3，0），求|GM|•|GN|．‎ ‎21（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）＝（x+a﹣1）ex，g（x）＝x2+ax，其中a为常数．‎ ‎（1）若a＝2时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意x∈[0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ （二） 选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎ 22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知曲线C的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C'的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C'交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．‎ ‎23（本题满分10分）选修4-5；不等式选讲 设函数f（x）＝k|x|﹣|2x﹣1|．‎ ‎（1）当k＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；‎ ‎（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）+b＞0恒成立，求k+b的最小值．‎ 文数答案 ‎1-12 ADDAC DCACC AB ‎13 14（1）（3） 15 16 ．‎ ‎14．‎ 在△ADC中，设∠ACD＝θ，‎ 则：∠CBD＝，‎ 利用余弦定理：＝．‎ 在△ADC中，利用正弦定理：，‎ 故：，所以：，解得：cosA＝，‎ 在△ACD中，利用余弦定理：，‎ 所以：，‎ 整理得：CD4﹣9CD2+20＝0‎ 解得：．‎ ‎①当CD＝2时，cosA＝．‎ 所以：sinA＝‎ CD＝时，cosA＝，‎ 所以：sinA＝．‎ 故答案为：‎ ‎16．解：由条件可得△P1OQ1为正三角形，且边长为a1，‎ ‎∴，P1在曲线上，代入y2＝x（y≥0）中，得，‎ ‎∵a1＞0，∴a1＝，根据题意得点，‎ 代入曲线y2＝x（y≥0）并整理，得Sn＝．‎ 当n≥2，n∈N*时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝，‎ 即．‎ ‎∵an+1＞an＞0，∴an+1﹣an＝，‎ 当n＝1时，S1＝，∴或（舍）‎ ‎∴a2﹣a1＝，故an+1﹣an＝‎ ‎∴数列{an}是首项为，公差为的等差数列，∴an＝．‎ 故答案为：．‎ 三．解答题 ‎17．解：（1）a1＝40，a6＝38，可得d＝＝﹣，‎ 可得Sn＝40n﹣n（n﹣1）•＝﹣（n﹣）2+，‎ 由n为正整数，可得n＝100或101时，Sn取得最大值2020；‎ ‎（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，‎ 可得an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，‎ 若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；‎ 当d＜0时，Tn＝＜，‎ 对任意的n∈N*，都有Tn≤20，可得20≥，且d＜0，‎ 解得d≤log20.9．‎ ‎18．解：（1）证明：∵AB＝BC＝CA，D是AC的中点，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，‎ ‎∴平面AA1C1C⊥平面ABC，且平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，‎ ‎∴BD⊥平面AA1C1C，‎ ‎∵AE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AE．‎ 又∵在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点，‎ ‎∴A1D⊥AE，又A1D∩BD＝D，∴AE⊥平面A1BD．‎ ‎（2）解（割补法）：＝﹣VB﹣ACE﹣‎ ‎＝S△ABC×AA1﹣×BD ‎＝﹣＝．‎ ‎19．解：（1）由z和温度x可以用线性回归方程拟合，设，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴z关于x的线性回归方程为；‎ ‎（2）由（1）可得lny＝0.255x﹣3.348，‎ 于是产卵数y关于温度x的回归方程为y＝e0.255x﹣3.348．‎ 当x＝26时，y＝e0.255×26﹣3.348＝e3.282≈27；当x＝36时，y＝e0.255×36﹣3.348＝e5.832≈341．‎ ‎∵函数y＝e0.255x﹣3.348 单调递增， ∴在气温在26°C～36°C之间时，该品种一只昆虫的产卵数的估计范围是[27，341]内的正整数．‎ ‎20．解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得 ‎（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣8＝0，‎ ‎△＞0，可得：，，，‎ ‎＝‎ ‎＝；‎ ‎（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），‎ 由y﹣1＝k1（x﹣2），令y＝0，得x3＝2﹣，即M（2﹣，0），‎ 同理，即N（2﹣，0），‎ 设x轴上定点G（3，0），‎ 则 ‎＝═．‎ ‎ 21 解：（1）a＝2时，f（x）＝（x+1）ex，‎ ‎∴f′（x）＝（x+2）ex，‎ ‎∴f′（0）＝2，又因为切点（0，1），‎ 所以切线为2x﹣y+1＝0；‎ ‎（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x），‎ 由题得h（x）min≥0在x∈[0，+∞）恒成立，‎ h（x）＝（x+a﹣1）ex﹣x2﹣ax，所以h′（x）＝（x+a）（ex﹣1），‎ ‎①若a≥0，则x∈[0，+∞）时h′（x）≥0，‎ 所以函数h（x）在[0，+∞）上递增，‎ 所以h（x）min＝h（0）＝a﹣1，则a﹣1≥0，得a≥1，‎ ‎②若a＜0，则当x∈[0，﹣a]时，h′（x）≤0，‎ 当x∈[﹣a，+∞）时，h′（x）≥0，‎ 所以函数h（x）在[0，﹣a]上递减，在[﹣a，+∞）上递增，‎ 所以h（x）min＝h（﹣a），又因为h（﹣a）＜h（0）＝a﹣1＜0，所以不合题意．‎ 综合得：a≥1．‎ 发布22．解：（Ⅰ），（2分）‎ 将，代入C的普通方程可得x'2+y'2＝1，（4分）‎ 即C'：x2+y2＝1，所以曲线C'的极坐标方程为 C'：ρ＝1（5分）‎ ‎（Ⅱ）点直角坐标是，将l的参数方程，‎ 代入x2+y2＝1，可得，（8分）‎ ‎∴t1+t2＝，t1•t2＝，‎ 所以． （10分）‎ ‎2．解 （1）当k＝1时，不等式化为|x|﹣|2x﹣1|＞0，‎ 即，或，或；……………（3分）‎ 解得x∈∅，或＜x＜，或≤x＜1；‎ 综上，原不等式的解集为（，1）；……………（5分）‎ ‎（2）x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+b＞0恒成立，‎ 可化为k|x|+b＞|2x﹣1恒成立；‎ 画出y＝|2x﹣1|与y＝k|x|+b的图象，如图所示；‎ 由图象知当k≥2，且b≥1时，y＝k|x|+b的图象始终在y＝|2x﹣1|的上方，……………（8分）‎ ‎∴k+b≥3，即k+b的最小值为3（这时k＝2，b＝1）．……………（10分）‎ 日期：2020/1/4 11:00:25；用户：hz47；邮箱：hszx47@xyh.com；学号：8387794‎