北京市中央民族大学附属中学2018-2019学年高一3月月考数学试题

北京市中央民族大学附属中学2018-2019学年高一3月月考数学试题

中央民族大学附中2018-2019学年高一第二学期3月试卷 数学 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.若，且是第二象限角，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，由是第二象限角知，所以 ‎2.在中，，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据三角形内角和求得，进而利用正弦定理以及，和求得．‎ ‎【详解】解：‎ 由正弦定理可知，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎3.空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选A.由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的直观图的选项是选项A，由三视图可知，该几何体下部分是一个四棱柱.选项都正确.故选A.‎ 点睛：空间几何体的三视图与直观图的联系 ‎(1)三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸).‎ ‎(2)直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.‎ ‎4.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，故选B.‎ 点评：本题较简单，二倍角公式的考查 ‎5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；‎ ‎【详解】解：函数，‎ 要得到函数的图象，‎ 只需将函数的图象向左平移个单位．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．‎ ‎6.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ）‎ A 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.‎ ‎【详解】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ 角A，B，C为△ABC的内角 故答案选C ‎【点睛】本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.如图所示，是正方体对角线与的交点，为棱的中点，则空间四边形在正方体各面上的正投影不可能是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 空间四边形在正方体左右面上的正投影是选项的图形，空间四边形在正方体上下面上的正投影是选项的图形，空间四边形在正方体前后面上的正投影是选项的图形，得到结论．‎ ‎【详解】解：空间四边形在正方体左右面上的正投影是选项的图形，‎ 空间四边形在正方体上下面上的正投影是选项的图形，‎ 空间四边形在正方体前后面上的正投影是选项的图形，‎ 只有选项不可能是投影，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查平行投影及平行投影作图法，考查在同一图形在不同投影面上的投影不同，属于基础题．‎ ‎8.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥的体积的最大值为36，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，求出的值，再代入球的表面积公式，即可得答案.‎ ‎【详解】如图所示，‎ 当平面时，三棱锥的体积最大，‎ 设球的半径为，此时，‎ 故，则球的表面积.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查球的表面积和锥体的体积计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．‎ ‎9.已知角的终边过点，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以有，即角在第四象限，又 ‎，所以.‎ 考点：三角函数与坐标的关系.‎ ‎10.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为______ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件和余弦定理，即可求出角A的大小.‎ ‎【详解】，‎ 由余弦定理得，‎ A为的内角，‎ ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查给出三角形的边角关系求角的问题，着重考查余弦定理，属于基础题.‎ ‎11.已知，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用同角三角函数的基本关系求出，再根据两角差的余弦公式计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，且，则，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.‎ ‎12.用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的底面周长等于半圆形纸片的弧长建立等式,再根据半圆形纸片的半径为圆锥的母线长求解即可.‎ ‎【详解】由题得, 半圆形纸片弧长为,设圆锥的底面半径为,则,‎ 故圆锥的高为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆锥展开图中的运算,重点是根据圆锥底面的周长等于展开后扇形的弧长,属于基础题.‎ ‎13.（1+tan17°）（1+tan28°）=______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，再由tan（17°+28°）==tan45°=1，可得tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，代入原式可得结果．‎ 解：原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，又tan（17°+28°）=‎ ‎=tan45°=1，‎ ‎∴tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，‎ 故 （1+tan17°）（1+tan28°）=2，‎ 故答案为 2．‎ ‎14.已知函数．‎ ‎（1）那么方程在区间上的根的个数是___________．‎ ‎（2）对于下列命题：‎ ‎①函数是周期函数；‎ ‎②函数既有最大值又有最小值；‎ ‎③函数的定义域是，且其图象有对称轴；‎ ‎④在开区间上，单调递减．‎ 其中真命题的序号为______________（填写真命题的序号）．‎ ‎【答案】 (1). 4039； (2). ②③；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）方程在区间上的根，即为在区间上的根．‎ ‎（2）根据函数的周期性的定义、最值、对称性以及单调性判断可得；‎ ‎【详解】解：（1），即，即，，解得，，‎ 由于，‎ 方程在区间上的根的个数是4039个，‎ ‎（2）①函数是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，‎ 所以函数图象无限靠近于轴，故不是周期函数，故①错误；‎ ‎③，，则 恒成立；故函数的定义域为，在函数图象上任取点，则点关于直线的对称点是 而．‎ 直线是函数图象的对称轴；故③正确，‎ ‎②因为有最值，在上单调递增，在上单调递减，所以，从而（当且仅当取等号），所以既有最大值又有最小值；故②正确；‎ ‎④因为函数在与时，，故在开区间上，不可能单调递减．故④错误；‎ 故正确的有②③．‎ 故答案为：（1）、4039；（2）、②③；‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数思想，转化思想，还考查函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题，以及函数奇偶性的判定方法等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15.某几何体的三视图如图所示：‎ ‎（1）求该几何体的表面积；‎ ‎（2）求该几何体的体积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三视图知几何体的上部为半球，下部为正四棱柱，且半球的半径为2，直四棱柱的高为3，底面正方形的边长为2，根据几何体的表面积，把数据代入表面积公式计算可得答案．‎ ‎（2）体积为正四棱柱的体积与半球的体积之和，把数据代入体积公式计算；‎ ‎【详解】解：（1）由三视图知几何体的上部为半球，下部为正四棱柱，且半球的半径为2，‎ 直四棱柱的高为3，底面正方形的边长为2．几何体的表面积 ‎．‎ ‎（2）几何体的体积；‎ ‎【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积与表面积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量，属于基础题．‎ ‎16.（1）已知，，，求．‎ ‎（2）已知为第二象限角，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的余弦值和、角的范围求出的正弦值，由的正弦值和范围，求出的余弦值，要求的结论的正弦值，把变化为的正弦值求解即可．‎ ‎（2）由同角三角函数的基本关系求出，再利用两角和的正弦公式及二倍角公式将式子化简，再代入求值即可；‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 又，．‎ ‎．‎ ‎（2）因为，得，又因为为第二象限角，所以，‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值，角的变换是解题的关键，属于中档题．‎ ‎17.已知：，求：‎ ‎（1）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）若，求的值域．‎ ‎【答案】（1）函数的最小正周期为；函数的单调递增区间为，；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两角和的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出 的最小正周期，由正弦函数的增区间求出的单调递增区间；‎ ‎（2）由的范围求出的范围，由正弦函数的性质求出函数的值域．‎ ‎【详解】解：（1）‎ 即，‎ ‎，故函数的最小正周期为；‎ 令，，‎ 解得，，‎ 即函数的单调递增区间为，；‎ ‎（2）因为，所以 则 所以，即函数的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，三角函数周期公式，以及两角和的正弦公式，考查化简、变形能力，属于中档题．‎ ‎18.设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.‎ ‎（1）当时，求a值；‎ ‎（2）当的面积为3时，求a+c的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出，利用正弦定理求出a即可．‎ ‎（2）通过三角形的面积求出ac的值，然后利用余弦定理即可求出a+c的值．‎ 试题解析:‎ 解：（1）. ‎ 由正弦定理得. ‎ ‎. ‎ ‎（2）的面积，‎ ‎ ‎ 由余弦定理， ‎ 得4=即. ‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）函数的最大值为，最小值为；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数用二倍角公式化简得到，再代入求值即可；‎ ‎（2）令，则，根据二次函数的单调性，求出函数的最值；‎ ‎【详解】解：‎ ‎，即 ‎（1）当时，‎ ‎（2）令，则，，对称轴为 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，，，‎ 则 故函数的最大值为，最小值为；‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式的应用，余弦函数、二次函数的性质的应用，属于中档题.‎ ‎20.已知f(x)＝－2asin＋‎2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)值域为{y|－3≤y≤－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】a，b存在，且a＝－1，b＝1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设存在a、b满足条件，根据x的范围求出的范围进而得到的范围，然后对a＞0和a＜0两种情况进行讨论可得到答案.‎ ‎【详解】解：‎ ‎ ∵≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－1≤≤.‎ 假设存在这样的有理数a，b，则 当a＞0时，，解得(不合题意，舍去)；‎ 当a＜0时，，解得，‎ 故a，b存在，且a＝－1，b＝1.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，在解决此类问题时一定要重视自变量x的取值范围，才能防止出错.‎ ‎ ‎