山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年第二学期高一数学期中模拟检测 ‎（时间：120分钟满分：150分）‎ 一、单选题 ‎1.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 复数满足，∴，则复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通分,再利用正弦的二倍角公式,进而利用正弦的差角公式化简即可.‎ ‎【详解】‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查正弦的二倍角公式和差角公式的应用.‎ ‎3.若函数在上的值域为，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．‎ ‎【详解】，‎ 时，，由于，‎ ‎∴，，的最小值是．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查两角差的正弦公式，掌握正弦函数性质是解题关键．‎ ‎4.已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先，然后化简求虚部.‎ ‎【详解】 ，虚部.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型.‎ ‎5.若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为（ ）‎ A. 8 B. ‎15 ‎C. 16 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：样本数据，，，的标准差为，所以方差为64，由可得数据，，，的方差为，所以标准差为 考点：方差与标准差 ‎6.已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以.‎ 因为，，所以，‎ 所以 ，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.‎ ‎7.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．‎ ‎【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示 则A（0，2），B（2，0），C（0，0），‎ 由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，‎ 设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；‎ 则=（cosθ，sinθ），‎ 又+=（2，2）；‎ ‎∴•（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），‎ 当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，‎ 当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，‎ ‎∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎8.王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如下表所示：‎ 小区绿化率（%）‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎32‎ 小区个数 ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ 则关于这10个小区绿化率情况，下列说法错误的是( )‎ A. 方差是13% B. 众数是25% C. 中位数是25% D. 平均数是26.2%‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出众数、中位数、平均数、方差，逐项验证.‎ ‎【详解】根据表格数据，众数为25%，选项正确；‎ 中位数为25% ，选项正确；‎ 平均数为，选项正确；‎ 方差；‎ 选项错误.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查方差、众数、中位数、平均数的计算，意在考查数学计算能力，属于基础题.‎ 二、多选题 ‎9.已知复数满足，，则实数的值可能是（ ）‎ A. 1 B. C. 0 D. 5‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a的范围，即可得答案.‎ ‎【详解】设，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴实数的值可能是.‎ 故选：ABC.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎10.已知单位向量、，则下面正确的式子是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据单位向量的概念和性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为向量、为两个单位向量，‎ 所以，当与的夹角不为时，不能得到，，故选项A、C错误；‎ 因为向量、为两个单位向量，所以，所以，都成立，故选项B、D正确.‎ 故选：BD ‎【点睛】本题考查单位向量的概念和性质，向量的数量积运算，属于简单题.‎ ‎11.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1‎ 个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）‎ A. 最大值为，图象关于直线对称 B. 图象关于y轴对称 C. 最小正周期为 D. 图象关于点对称 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，‎ 得到的图象；‎ 再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，对于函数，它的最大值为，由于当时，，不是最值，故的图象不关于直线对称，故A错误；‎ 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；‎ 它的最小正周期为，故C正确；‎ 当时，，故函数的图象关于点对称，故D正确.‎ 故选：BCD ‎【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．‎ ‎12.下列说法正确的有（　　）‎ A. 在中，‎ B. 在中，若，则 C. 在中，若，则，若，则都成立 D. 在中，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的外接圆半径为，利用正弦定理可判断A、D选项的正误；利用正弦定理与大边对大角定理可判断C选项的正误；利用正弦定理与余弦定理可判断B选项的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理得.‎ 对于A选项，，A选项正确；‎ 对于D选项，，D选项正确；‎ 对于B选项，由二倍角公式得，‎ 则，即，‎ 整理得，即，‎ 则或，所以或，B选项错误；‎ 对于C选项，（大边对大角），C选项正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的应用，解题时充分利用边角互化的思想求解较为简单，考查推理能力，属于基础题.‎ 三、填空题 ‎13.设复数，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数化为的形式，利用复数的模的定义即可求出．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，所以．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题．‎ ‎14.已知菱形的棱长为3，E为棱上一点且满足，若，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用E为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为之间的关系即可解决．‎ ‎【详解】解：如图，‎ ‎， ， 由得， 得， 得， 得，即，即 ， ， ‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．‎ ‎15.已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为_______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的垂直关系，推出，然后求解在方向上的投影。‎ ‎【详解】向量，满足，，且，可得，‎ 即，可得，则在方向上的投影为： ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积以及向量数量积的几何意义，要熟记向量数量积的几何意义，属于基础题。‎ ‎16.若方程在的解为，，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知可得，得到，则，结合已知得答案．‎ ‎【详解】解：由方程在的解为，， 得， ‎ ‎，而当， ， ，， 又， ∴， 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题．‎ 四、解答题 ‎17.从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图. 利用频率分布直方图求：‎ ‎ ‎ ‎（1）这50名学生成绩的众数与中位数；‎ ‎（2）这50名学生的平均成绩.（答案精确到0.1）‎ ‎【答案】（1）众数为75分，中位数为分；（2）76.2分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由众数的概念及频率分布直方图可求得众数，根据中位数的概念可求得中位数；‎ ‎.‎ ‎（2）由平均数的概念和频率直方图可求得平均数.‎ ‎【详解】（1）由众数的概念及频率分布直方图可知，这50名学生成绩的众数为75分.‎ 因为数学竞赛成绩在频率为，数学竞赛成绩在的频率为.‎ 所以中位数为.‎ ‎（2）这50名学生的平均成绩为 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查根据频率直方图求得数字特征，关键在于理解各数字特征的含义，属于基础题.‎ ‎18.已知向量（cosx，cosx），（cosx，sinx）．‎ ‎（1）若∥，，求x的值；‎ ‎（2）若f（x）•，，求f（x）的最大值及相应x的值．‎ ‎【答案】（1）或（2）的最大值为，此时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解；‎ ‎（2）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．‎ ‎【详解】解：（1）∵，，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴cosx＝0或，‎ 即cosx＝0或tanx，‎ ‎∵，‎ ‎∴或；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故f（x）的最大值为，此时．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查了向量共线与数量积的坐标运算，考查转化能力与计算能力.‎ ‎19.已知角、、是的内角，，，分别是其对边长，向量，，．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两向量垂直时数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则化简，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，提取2后，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由的范围求出此角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；‎ ‎（2）由的范围及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，然后由，及的值，利用正弦定理求出的值即可．‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，；‎ ‎（2）在中，，，，‎ ‎，‎ 由正弦定理知：， ‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积的运算法则，三角函数的恒等变换及正弦定理．要求学生掌握平面向量垂直时满足的关系及正弦函数的值域，牢记特殊角的三角函数值．‎ ‎20.为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:),并将样本数据分组为,,,,,, ,其频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)若样本中月均用电量在的居民有户,求样本容量;‎ ‎(2)求月均用电量的中位数;‎ ‎(3)在月均用电量为,,,的四组居民中,用分层随机抽样法抽取户居民,则月均用电量在的居民应抽取多少户?‎ ‎【答案】(1)200 (2)224 (3)4户 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为 ‎,所以月均用电量在的频率为,即可求得答案;‎ ‎(2)因为,设中位数为,,即可求得答案;‎ ‎(3)月均用电量为,,,的频率分别为, 即可求得答案.‎ ‎【详解】(1),‎ 得.‎ ‎ 月均用电量在的频率为.‎ 设样本容量为N,则,‎ ‎ .‎ ‎(2),‎ ‎ 月均用电量的中位数在内.‎ 设中位数为,‎ ‎,‎ ‎ 解得,即中位数为.‎ ‎(3)月均用电量为,,,的频率分别为 ‎ 应从月均用电量在的用户中抽取(户)‎ ‎【点睛】本题考查了用样本估计总体的相关计算,解题关键是掌握分层抽样的计算方法和样本容量, 中位数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间.‎ ‎（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的最小值和最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）增区间是：减区间是：；（Ⅱ）-2，1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（Ⅱ）若把向右平移个单位得到函数的解析式，求得的范围，结合正弦函数的单调性可得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 由 得，‎ 增区间是：，‎ 由 得 减区间是：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 把向右平移个单位得到函数，‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故所在区间上最大值为1，‎ 最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用以及正弦函数的单调性、值域，属于中档题.形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.‎ ‎22.的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.‎ ‎【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．‎ ‎，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.‎ ‎(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，‎ 故，解得.‎ 又应用正弦定理，，‎ 由三角形面积公式有：‎ ‎.‎ 又因,故，‎ 故.‎ 故的取值范围是 ‎【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.‎