高中数学选修第2章2_4_2同步练习

高中数学选修第2章2_4_2同步练习

高中数学人教A版选2-1 同步练习 顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)‎ A．x2＝16y　　　　　　　　 B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 解析：选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.‎ 过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)‎ A．8 B．16‎ C．32 D．64‎ 解析：选B.由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.‎ 抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|＝4，则焦点到弦AB的距离为__________．‎ 解析：不妨设A(x，2)，则(2)2＝4x，∴x＝3，∴AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1，0)，∴焦点到弦AB的距离为2.‎ 答案：2‎ 过点(2，4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则这样的直线有__________条．‎ 解析：可知点(2，4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．‎ 答案：2‎ ‎[A级　基础达标]‎ (2012·奉节调研)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)‎ A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0‎ C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0‎ 解析：选D.设切线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋‎4m＝0，m＝－1，‎ 即切线方程为2x－y－1＝0.‎ 设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)‎ A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)‎ C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)‎ 解析：选D.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，‎ ‎∴＝3，即p＝6.‎ 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，‎ ‎∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．‎ 抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　)‎ A. B．2 C. D．15‎ 解析：选A.令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得4x2－8x＋1＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝2，x1x2＝，‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝＝.‎ 抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．‎ 解析：设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋1＝5，∴x0＝4，‎ ‎∴y＝16，∴y0＝±4.‎ 答案：(4，±4)‎ 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为__________．‎ 解析：设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点坐标为A(0，0)，B(a，a)，而点P(2，2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线C的方程为y2＝4x.‎ 答案：y2＝4x 若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求P点横坐标及抛物线方程．‎ 解：设P(x，y)，则∴或∴P点横坐标为9或1，‎ ‎∴抛物线方程为y2＝4x或y2＝36x.‎ ‎[B级　能力提升]‎ 以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为(　　)‎ A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 解析：选C.|PF|＝xP＋，∴＝＋，即为PF的中点到y轴的距离．故该圆与y轴相切．‎ 等腰Rt△AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)．O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)‎ A．8p2 B．4p2‎ C．2p2 D．p2‎ 解析：选B.∵抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB是等腰直角三角形，∴由反射线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或 ‎∴A、B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p)，‎ ‎∴|AB|＝4p，S△AOB＝×4p×2p＝4p2.‎ 已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________．‎ 解析：由，得ax2－x＋1＝0，‎ 由Δ＝1－‎4a＝0，得a＝.‎ 答案： 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．‎ 解：由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．‎ 故可设抛物线方程为：y2＝ax(a≠0)．‎ 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，‎ 所以点A与B关于x轴对称，‎ ‎∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，‎ ‎∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4得x2＋3＝4，‎ ‎∴x＝±1，‎ ‎∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得：‎ ‎()2＝±a，∴a＝±3.‎ ‎∴所求抛物线方程是：y2＝3x或y2＝－3x.‎ (创新题)某隧道横断面由抛物线拱顶与矩形三边组成，尺寸如图．某卡车在空车时能过此隧道，现载一集装箱，箱宽‎3米，车与箱共高‎4.5米，此车能否通过此隧道，说明理由．‎ 解：如图建立直角坐标系．设抛物线标准方程为x2＝－2py(p>0)，则点(3，－3)在抛物线上，求得p＝，上拱抛物线方程为x2＝－3y，箱宽3(米)，故当x＝1.5(米)时，y＝－0.75(米)，即B(1.5，－0.75)，那么B点到底的距离为5－0.75＝4.25(米)，而车与箱的高为4.5(米)，故不能通过．‎