【数学】甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【数学】甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 测试范围： 选修2-2、选修2-3第一章 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知函数在处可导，若，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎3．在利用函数计算时，可推得结论（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4.下列各组函数中，表示同一函数的是 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎ ‎5．一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（ ）‎ A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦 ‎6．函数的导函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（ ）‎ A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦 ‎8．已知函数，则不等式的解集是 A． B．‎ C． D．‎ ‎9．设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎10．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（ ）m．‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎11．函数的单调递增区间是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．曲线在点（0，1）处的切线方程为 .‎ ‎14．若展开式的二项式系数之和是64，则展开式中的常数项的值是__________.‎ ‎15．__________．‎ ‎16．古埃及数学中有一个独特现象：除了用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个分数和的形式,例如．可以这样来理解：假定有2个面包,要平均分给5个人,每人分将剩余,再将这分成5份,每人分得,这样每人分得．同理可得,,…,按此规律,则__________（）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）求下列函数的导数：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎18．（12分）已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.‎ ‎（1）求的展开式中的常数项；‎ ‎（2）在 (1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)‎ ‎19．（12分）已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若常数，求函数在区间上的最大值.‎ ‎20．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．‎ ‎（1）当时，求比值取最小值时的值；‎ ‎（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）‎ ‎21．（12分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为 ‎．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．‎ ‎（1）当时，求比值取最小值时的值；‎ ‎（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底，）‎ ‎22．（12分）已知函数，设的导函数为．‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）设的极大值点为，求证．（其中）‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C D D C C C B D C C D ‎13． 14． 15．. 16． ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.‎ ‎(2)f(x)=-2x=1--2x,则f'(x)=-2xln 2.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】所有奇数项的二项式系数之和为128，，解得.‎ ‎（1）的第项为，‎ 令，得，则常数项为；‎ ‎（2）‎ 展开式中的系数为：‎ ‎ .‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由得.，由得，‎ ‎∴，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为，从而得，∴. ‎ ‎（2）由（1）知.的取值变化情况如下：‎ ‎2‎ 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 又，所以①当时,；‎ ‎②当时,‎ 综上可知：当时,；‎ 当时,‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）当时，，∴ ‎ 列表得：‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减，在上单调递增∴在时取最小值； ‎ ‎（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增,∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，‎ 解得：,实数的取值范围为．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）当时，，∴ ‎ 列表得：‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减，在上单调递增 ∴在时取最小值； ‎ ‎（2）∵ 根据（1）知：在上单调减，在上单调增 ‎∵确保恰好3年不需要进行保护 ∴，解得：‎ 答：实数的取值范围为．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由已知的导函数为．‎ 要证，只需要证明．‎ 设，则．‎ 故在递减，在递增，‎ 故．‎ ‎（2）证明：因为，‎ 所以．‎ 令，则 可知，当时，单调递减，当，时，单调递增．‎ 又，， ，所以在有唯一零点，‎ 在，有唯一零点1．‎ 且当，，当，，，所以是的唯一的极大值 点，故，，‎ 所以 因为，显然,故．‎