【数学】2021届一轮复习人教版（理）第3章第3节　利用导数解决函数的极值、最值学案

【数学】2021届一轮复习人教版（理）第3章第3节　利用导数解决函数的极值、最值学案

第三节　利用导数解决函数的极值、最值 ‎［最新考纲］　1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.‎ ‎1.函数的极值 函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值.‎ 函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值.‎ 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.‎ ‎2.函数的最值 ‎（1）在闭区间［a，b］上连续的函数f（x）在［a，b］上必有最大值与最小值.‎ ‎（2）若函数f（x）在［a，b］上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在［a，b］上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值.‎ ‎1.若函数在开区间（a，b）内的极值点只有一个，则相应极值点为函数的最值点.‎ ‎2.若函数在闭区间［a，b］的最值点不是端点，则最值点亦为极值点.‎ 一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）‎ ‎（1）函数的极大值不一定比极小值大.（　　）‎ ‎（2）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件.（　　）‎ ‎（3）函数的极大值一定是函数的最大值.（　　）‎ ‎（4）开区间上的单调连续函数无最值.（　　）‎ ‎［答案］　（1）√　（2）×　（3）×　（4）√‎ 二、教材改编 ‎1.‎ 函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　）‎ A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 C　［设f′（x）的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.‎ 当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，‎ 当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.］‎ ‎2.设函数f（x）＝＋ln x，则（　　）‎ A.x＝为f（x）的极大值点 B.x＝为f（x）的极小值点 C.x＝2为f（x）的极大值点 D.x＝2为f（x）的极小值点 D　［f′（x）＝－＋＝（x＞0），‎ 当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，‎ 所以x＝2为f（x）的极小值点.］‎ ‎3.函数y＝xex的最小值是　　　　.‎ ‎－　［因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝（1＋x）ex.当x＞－1时，y′＞0；当x＜－1时，y′＜0，所以当x＝－1时函数取得最小值，且ymin＝－.］‎ ‎4.函数f（x）＝x－aln x（a＞0）的极小值为　　　　.‎ a－aln a　［因为f（x）＝x－aln x（a＞0），所以f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－（a＞0），‎ 由f′（x）＝0，解得x＝a.‎ 当x∈（0，a）时，f′（x）＜0；‎ 当x∈（a，＋∞）时，f′（x）＞0，‎ 所以函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－aln a.］‎ 考点1　利用导数解决函数的极值问题 ‎　利用导数研究函数极值问题的一般流程 ‎　根据函数图象判断函数极值的情况 ‎　设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）‎ B.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1）‎ C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2）‎ D.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2）‎ D　［由题图可知，当x＜－2时，f′（x）＞0；当－2＜x＜1时，f′（x ‎）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0.由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.］‎ ‎　可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.‎ ‎　求已知函数的极值 ‎　已知函数f（x）＝（x－2）（ex－ax），当a＞0时，讨论f（x）的极值情况.‎ ‎［解］　∵f′（x）＝（ex－ax）＋（x－2）（ex－a）‎ ‎＝（x－1）（ex－‎2a），‎ ‎∵a＞0，‎ 由f′（x）＝0得x＝1或x＝ln ‎2a.‎ ‎①当a＝时，f′（x）＝（x－1）（ex－e）≥0，‎ ‎∴f（x）在R上单调递增，故f（x）无极值.‎ ‎②当0＜a＜时，ln ‎2a＜1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（－∞，ln ‎2a）‎ ln ‎‎2a ‎（ln ‎2a,1）‎ ‎1‎ ‎（1，＋∞）‎ f′（x）‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f（x）‎  极大值  极小值  故f（x）有极大值f（ln ‎2a）＝－a（ln ‎2a－2）2，极小值f（1）＝a－e.‎ ‎③当a＞时，ln ‎2a＞1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（－∞，1）‎ ‎1‎ ‎（1，ln ‎2a）‎ ln ‎‎2a ‎（ln ‎2a，＋∞）‎ f′（x）‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f（x）‎  极大值  极小值  故f（x）有极大值f（1）＝a－e，‎ 极小值f（ln ‎2a）＝－a（ln ‎2a－2）2.‎ 综上，当0＜a＜时，f（x）有极大值－a（ln ‎2a－2）2，极小值a－e；‎ 当a＝时，f（x）无极值；‎ 当a＞时，f（x）有极大值a－e，极小值－a（ln ‎2a－2）2.‎ ‎　求函数极值的一般步骤 ‎（1）先求函数f（x）的定义域，再求函数f（x）的导函数.‎ ‎（2）求f′（x）＝0的根.‎ ‎（3）判断在f′（x）＝0的根的左、右两侧f′（x）的符号，确定极值点.‎ ‎（4）求出具体极值.‎ ‎［教师备选例题］‎ 设函数f（x）＝ln（x＋1）＋a（x2－x），其中a∈R.讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由.‎ ‎［解］　f′（x）＝＋a（2x－1）＝（x＞－1）.‎ 令g（x）＝2ax2＋ax－a＋1，x∈（－1，＋∞）.‎ ‎①当a＝0时，g（x）＝1，‎ 此时f′（x）＞0，函数f（x）在（－1，＋∞）上单调递增，无极值点.‎ ‎②当a＞0时，Δ＝a2－‎8a（1－a）＝a（‎9a－8）.‎ a.当0＜a≤时，Δ≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0.‎ 函数f（x）在（－1，＋∞）上单调递增，无极值点.‎ b.当a＞时，Δ＞0，‎ 设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），‎ 因为x1＋x2＝－，所以x1＜－，x2＞－.‎ 由g（－1）＝1＞0，可得－1＜x1＜－.‎ 所以当x∈（－1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；‎ 当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；‎ 当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增.‎ 因此函数有两个极值点.‎ ‎③当a＜0时，Δ＞0，由g（－1）＝1＞0，‎ 可得x1＜－1＜x2.‎ 当x∈（－1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；‎ 当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减.‎ 所以函数有一个极值点.‎ 综上所述，当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；‎ 当0≤a≤时，函数f（x）无极值点；‎ 当a＞时，函数f（x）有两个极值点.‎ ‎　已知函数极值求参数的值或范围 ‎　（1）已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝　　　　.‎ ‎（2）若函数f（x）＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是　　　　.‎ ‎（1）－7　（2）　［（1）由题意得f′（x）＝3x2＋6ax＋b，则 解得或 经检验当a＝1，b＝3时，函数f（x）在x＝－1处无法取得极值，‎ 而a＝2，b＝9满足题意，‎ 故a－b＝－7.‎ ‎（2）函数f（x）在区间上有极值点等价于f′（x）＝0有2个不相等的实根且在内有根，由f′（x）＝0有2个不相等的实根，得a＜－2或a＞2.‎ 由f′（x）＝0在内有根，得a＝x＋在内有解，又x＋∈［2，），所以2≤a＜，‎ 综上，a的取值范围是.］‎ ‎　已知函数极值点或极值求参数的2个要领 ‎（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，‎ 利用待定系数法求解.‎ ‎（2）验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.‎ ‎［教师备选例题］‎ 若函数f（x）＝ex－aln x＋2ax－1在（0，＋∞）上恰有两个极值点，则a的取值范围为（　　）‎ A.（－e2，－e） B. C. D.（－∞，－e）‎ D　［∵f′（x）＝ex－＋‎2a，（x＞0）‎ ‎∴由f′（x）＝0得a＝.‎ 令g（x）＝（x＞0）.‎ 由题意可知g（x）＝a在（0，＋∞）上恰有两个零点.‎ 又g′（x）＝－（x＞0），‎ 由g′（x）＞0得0＜x＜1，且x≠.‎ 由g′（x）＜0得x＞1.‎ ‎∴函数g（x）在，上递增，在（1，＋∞）上递减.‎ 又g（0）＝0，g（1）＝－e，‎ 结合图形（图略）可知a∈（－∞，－e），故选D.］‎ ‎　1.若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则f（x）的极小值为（　　）‎ A.－1 B.－2e－3‎ C.5e－3 D.1‎ A　［因为f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，所以f′（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1＝［x2＋（a＋2）x＋a－1］ex－1.因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，‎ f′（x）＝（x2＋x－2）ex－1＝（x＋2）（x－1）ex－1.令f′（x）＞0，解得x＜－2或x＞1，令f′（x）＜0，解得－2＜x＜1，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，f（x）取得极小值，且f（x）极小值＝f（1）＝－1.］‎ ‎2.已知函数f（x）＝x（x－c）2在x＝2处有极小值，则实数c的值为（　　）‎ A.6 B.2‎ C.2或6 D.0‎ B　［由f′（2）＝0可得c＝2或6.当c＝2时，结合图象（图略）可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c＝6时，结合图象（图略）可知，函数在x＝2处取得极大值.故选B.］‎ ‎3.（2019·长春市质量监测）若函数f（x）＝（x2＋ax＋3）ex在（0，＋∞）内有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A.（－∞，－2］ B.（－∞，－2）‎ C.（－∞，－3］ D.（－∞，－3）‎ C　［f′（x）＝（2x＋a）ex＋（x2＋ax＋3）ex＝［x2＋（a＋2）x＋a＋3］ex，令g（x）＝x2＋（a＋2）x＋a＋3.由题意知，g（x）在（0，＋∞）内先减后增或先增后减，结合函数g（x）的图象特征知，或解得a≤－3.故选C.］‎ 考点2　用导数求函数的最值 ‎　求函数f（x）在［a，b］上的最大值、最小值的步骤 ‎（1）求函数在（a，b）内的极值.‎ ‎（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）.‎ ‎（3）将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.‎ ‎　（2019·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝2x3－ax2＋b.‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间［0,1］的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.‎ ‎［解］　（1）f′（x）＝6x2－2ax＝2x（3x－a）.‎ 令f′（x）＝0，得x＝0或x＝.‎ 若a＞0，则当x∈（－∞，0）∪时，f′（x）＞0；当x∈时，f′（x）＜0.故f（x）在（－∞，0），单调递增，在单调递减.‎ 若a＝0，f（x）在（－∞，＋∞）单调递增.‎ 若a＜0，则当x∈∪（0，＋∞）时，f′（x）＞0；当x∈时，f′（x）＜0.故f（x）在，（0，＋∞）单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）满足题设条件的a，b存在.‎ ‎（ⅰ）当a≤0时，由（1）知，f（x）在［0,1］单调递增，所以f（x）在区间［0,1］的最小值为f（0）＝b，最大值为f（1）＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.‎ ‎（ⅱ）当a≥3时，由（1）知，f（x）在［0,1］单调递减，所以f（x）在区间［0,1］的最大值为f（0）＝b，最小值为f（1）＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.‎ ‎（ⅲ）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在［0,1］的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.‎ 若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾.‎ 若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾.‎ 综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f（x）在［0,1］的最小值为－1，最大值为1.‎ ‎　（1）讨论函数的单调性时，一要注意函数的定义域；二要注意分类的标准，做到不重不漏.‎ ‎（2）对于探索性问题，求出参数值后要注意检验.‎ ‎［教师备选例题］‎ 已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）.‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当a＞0时，求函数f（x）在［1,2］上的最小值.‎ ‎［解］　（1）f′（x）＝－a（x＞0），‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＝－a＞0，即函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.‎ ‎②当a＞0时，令f′（x）＝－a＝0，可得x＝，‎ 当0＜x＜时，f′（x）＝＞0；‎ 当x＞时，f′（x）＝＜0，‎ 故函数f（x）的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为.‎ 综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；‎ 当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为.‎ ‎（2）①当0＜≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间［1,2］上是减函数，所以f（x）的最小值是f（2）＝ln 2－‎2a.‎ ‎②当≥2，即0＜a≤时，函数f（x）在区间［1,2］上是增函数，所以f（x）的最小值是f（1）＝－a.‎ ‎③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f（x）在上是增函数，在上是减函数.‎ 又f（2）－f（1）＝ln 2－a，‎ 所以当＜a＜ln 2时，最小值是f（1）＝－a；‎ 当ln 2≤a＜1时，最小值为f（2）＝ln 2－‎2a.‎ 综上可知，‎ 当0＜a＜ln 2时，函数f（x）的最小值是f（1）＝－a；‎ 当a≥ln 2时，函数f（x）的最小值是f（2）＝ln 2－‎2a.‎ ‎　（2019·郑州模拟）已知函数f（x）＝＋kln x，k＜，求函数f（x）在上的最大值和最小值.‎ ‎［解］　f′（x）＝＋＝.‎ ‎①若k＝0，则f′（x）＝－在上恒有f′（x）＜0，‎ 所以f（x）在上单调递减.‎ ‎②若k≠0，则f′（x）＝＝.‎ ‎（ⅰ）若k＜0，则在上恒有＜0.‎ 所以f（x）在上单调递减，‎ ‎（ⅱ）若k＞0，由k＜，‎ 得＞e，则x－＜0在上恒成立，‎ 所以＜0，‎ 所以f（x）在，e上单调递减.‎ 综上，当k＜时，f（x）在上单调递减，‎ 所以f（x）min＝f（e）＝＋k－1，f（x）max＝f＝e－k－1.‎ 考点3　利用导数研究生活中的优化问题 ‎　利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 ‎（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）.‎ ‎（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0.‎ ‎（3）比较函数在区间端点和f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.‎ ‎（4）回归实际问题，结合实际问题作答.‎ ‎　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎［解］　（1）因为当x＝5时，y＝11，‎ 所以＋10＝11，解得a＝2.‎ ‎（2）由（1）可知，该商品每日的销售量为 y＝＋10（x－6）2.‎ 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f（x）＝（x－3） ‎＝2＋10（x－3）（x－6）2,3＜x＜6.‎ 则f′（x）＝10［（x－6）2＋2（x－3）（x－6）］‎ ‎＝30（x－4）（x－6）.‎ 于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（3,4）‎ ‎4‎ ‎（4,6）‎ f′（x）‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f（x）‎  极大值42‎  由上表可得，当x＝4时，函数f（x）取得极大值，也是最大值.‎ 所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值且最大值等于42.‎ 即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎　（1）利用导数研究生活中的优化问题的关键：理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.‎ ‎（2）注意：函数的定义域由实际问题确定，最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.‎ ‎　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）.‎ ‎（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域.‎ ‎（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.‎ ‎［解］　（1）因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为（200πrh＋160πr2）元.又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝（300－4r2），从而V（r）＝πr2h＝（300r－4r3）.由h＞0，且r＞0可得0＜r＜5，故函数V（r）的定义域为（0,5）.‎ ‎（2）因为V（r）＝（300r－4r3），所以V′（r）＝（300－12r2）.令V′（r）＝0，解得r1＝5，r2＝－5（因为r2＝－5不在定义域内，舍去）.‎ 当r∈（0,5）时，V′（r）＞0，‎ 故V（r）在（0,5）上为增函数；‎ 当r∈（5,5）时，V′（r）＜0，故V（r）在（5,5）上为减函数.‎ 由此可知，V（r）在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.‎