高中数学选修2-2课时练习第一章 1_1

高中数学选修2-2课时练习第一章 1_1

§1 归纳与类比 1．1 归纳推理 [学习目标] 1．通过具体实例理解归纳推理的意义． 2．会用归纳推理分析具体问题． [知识链接] 什么情况下可以进行归纳推理？ 答 若干个特殊的对象具有相同的形式和结论，可以进行归纳，进而推广到一般 情形． [预习导引] 1．归纳推理的含义 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性， 将这种推理方式称为归纳推理． 2．归纳推理的特征 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理． 3．归纳推理结论真假 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的． 4．思维过程流程图 实验、观察 → 概括、推广 → 猜想一般性结论 要点一 数列中的归纳推理 例 1 观察如图所示的“三角数阵” 1…………第 1 行 2 2…………第 2 行 3 4 3…………第 3 行 4 7 7 4…………第 4 行 5 11 14 11 5…………第 5 行 ………… 记第 n 行的第 2 个数为 an(n≥2，n∈N＋)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征， 完成下列各题： (1)第 6 行的 6 个数依次为________、________、________、________、________、 ________； (2)依次写出 a2、a3、a4、a5； (3)归纳出 an＋1 与 an 的关系式． 解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数 之和，且每一行的首末两数都等于行数． (1)6,16,25,25,16,6； (2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11； (3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4. 由此归纳：an＋1＝an＋n. 规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、 下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解． 跟踪演练 1 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝ 1 2－an ； (3)对一切的 n∈N＋，an>0，且 2 Sn＝an＋1. 解 (1)由已知可得 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想 an＝2n＋1－1，n∈N＋. (2)由已知可得 a1＝a， a2＝ 1 2－a1 ＝ 1 2－a ，a3＝ 1 2－a2 ＝ 2－a 3－2a ， a4＝ 1 2－a3 ＝3－2a 4－3a . 猜想 an＝n－1－n－2a n－n－1a (n∈N*)． (3)∵2 Sn＝an＋1，∴2 S1＝a1＋1，即 2 a1＝a1＋1， ∴a1＝1.又 2 S2＝a2＋1， ∴2 a1＋a2＝a2＋1，∴a22－2a2－3＝0. ∵对一切的 n∈N*，an>0，∴a2＝3. 同理可求得 a3＝5，a4＝7，猜想出 an＝2n－1(n∈N*)． 要点二 几何中的归纳推理 例 2 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)、图(3)是由这样的小正方体 木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中 小正方体木块数应是( ) A．25 B．66 C．91 D．120 答案 C 解析 图(1)是 1 个小正方体木块， 图(2)是(2＋1×4)个小正方体木块， 图(3)是[3＋(1＋2)×4]个小正方体木块， 按照前三个图所反映出来的规律，归纳推理可知，第七个叠放的图形中小正方体 木块数应是 7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91.故选 C. 规律方法 由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，也是高考的热 点问题．这类问题颇有智力趣题的味道，可以激励学生仔细观察，从不同的角度 探索规律．解决这类问题常常可从两个方面入手：(1)图形的数量规律；(2)图形 的结构变化规律． 跟踪演练 2 从大、小正方形的数量关系上，观察下图所示的几何图形，试归纳 得出结论． 解 从大、小正方形的数量关系上容易发现： 1＝12， 1＋3＝2×2＝22， 1＋3＋5＝3×3＝32， 1＋3＋5＋7＝4×4＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52， 1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62， 猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. 要点三 不等式中的归纳推理 例 3 对任意正整数 n，试归纳猜想 2n 与 n2 的大小关系． 解 当 n＝1 时，21＞12； 当 n＝2 时，22＝22； 当 n＝3 时，23＜32； 当 n＝4 时，24＝42； 当 n＝5 时，25＞52； 当 n＝6 时，26＞62. … 归纳猜想，当 n＝3 时，2n＜n2； 当 n∈N＋，且 n≠3 时，2n≥n2. 规律方法 对于与正整数 n 有关的指数式与整式的大小比较，在不能用作差、作 商法比较时，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对 n 的取值的个数要适当， 太少易产生错误猜想，太多增大计算量． 跟踪演练 3 观察下列式子： 1＋ 1 22 ＜3 2 ，1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＜5 3 ，1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＜7 4 ，…， 猜想第 n 个不等式为________． 答案 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n＋12 ＜2n＋1 n＋1 解析 观察式子的结构可知：如果不等式的左边是 n 项的和(n≥2)，则不等式左 端就为 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2 ，而右端分母正好是 n，分子是 2n－1，因此可以猜想， n≥2 时，满足的不等式为 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2 ＜2n－1 n . ∴第 n 个不等式为： 1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n＋12 ＜2n＋1 n＋1 . 1．数列 5,9,17,33，x，…中的 x 等于( ) A．47 B．65 C．63 D．128 答案 B 解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65. 2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子 应是什么颜色( ) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 答案 A 解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7 余 1.∴第 36 颗珠子的颜 色为白色． 3．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …………………… 按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 答案 n2－n＋6 2 解析 前 n－1 行共有正整数 1＋2＋…＋(n－1)个， 即n2－n 2 个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第n2－n 2 ＋3 个，即为n2－n＋6 2 . 4．观察下列各式 9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…. 这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n 表示正整数，用关于 n 的等式表示为 ________． 答案 (n＋2)2－n2＝4n＋4 解析 由已知四个式子可分析规律： (n＋2)2－n2＝4n＋4. 1．归纳推理的特点 (1)归纳是依据特殊现象推出一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所 包含的范围；(2)归纳是依据若干已知的，没有穷尽的现象推断尚属未知的现象， 因而，由归纳所得的结论具有猜测的性质；(3)归纳的前提是特殊的情况，所以 归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的． 说明：一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命 题就越可靠． 2．归纳推理的一般步骤 一、基础达标 1．把 1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是 ( ) A．27 B．28 C．29 D．30 答案 B 解析 第一个三角形数是 1， 第二个三角形数是 1＋2＝3， 第三个三角形数是 1＋2＋3＝6， 第四个三角形数是 1＋2＋3＋4＝10. 因此，归纳推理得第 n 个三角形点数是 1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋nn 2 . 由此可以得出第七个三角形数是 28. 2．根据给出的数塔，猜测 123 456×9＋7 等于( ) 1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝11 111； 12 345×9＋6＝111 111. A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 答案 B 3．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则 72 011 的末两位数字为( ) A．01 B．43 C．07 D．49 答案 B 解析 因为 71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以 这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期 T＝4.又因为 2 011＝4×502＋3，所 以 72 011 的末两位数字与 73 的末两位数字相同，故选 B. 4．n 个连续自然数按规律排成下表： 0 3→4 7→8 11… ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1→2 5→6 9→10 根据规律，从 2 012 到 2 014，箭头的方向依次为( ) A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 答案 A 解析 由前几项可归纳出 4n－4 4n－1→ ↓ ↑ 4n－3→4n－2 则 n≥1，n∈N*， 2 012＝4n，n＝503， ∴2 012 ↓ 2 013→2014 5．经计算发现下列不等式： 2＋ 18<2 10， 4.5＋ 15.5<2 10， 3＋ 2＋ 17－ 2<2 10，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a、b 都成立的 条件不等式：________. 答案 当 a＋b＝20 时，有 a＋ b＜2 10，a、b∈R＋ 解析 各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于 20. 6．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此规律，第五个等式应为________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 解析 由于 1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋ 10＝49＝72，所以第五个等式为 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 7．已知：1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42，… 根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论． 解 注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为 1＝2×1－1；3＝ 2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1，… 又等号右边相应结果分别为：12；22；32；42；… 由此总结出一般结论：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. 二、能力提升 8．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有 n(n≥2，n∈(N*)个圆 点，第 n 个图案中圆点的总数是 Sn. 按此规律推断出 Sn 与 n 的关系式为( ) A．Sn＝2n B．Sn＝4n C．Sn＝2n D．Sn＝4n－4 答案 D 解析 由 n＝2，n＝3，n＝4 的图案，推断第 n 个图案是这样构成的：各个圆点 排成正方形的四条边，每条边上有 n 个圆点，则圆点的个数为 Sn＝4n－4. 9．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________. 答案 962 解析 各式第一项系数依次为 2,23,25,27，m，依规律可得 m＝29＝512；各式中 cos2α 的系数依次为 2×12，－2×22,2×32，－2×42，p，由规律推出 p＝2×52＝50； 由各式系数和为 1 可推出 n＝－400，则 m－n＋p＝962. 10．设函数 f(x)＝ x x＋2(x＞0)，观察： f1(x)＝f(x)＝ x x＋2 ， f2(x)＝f(f1(x))＝ x 3x＋4 ， f3(x)＝f(f2(x))＝ x 7x＋8 ， f4(x)＝f(f3(x))＝ x 15x＋16 ， …… 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 n∈N*且 n≥2 时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 答案 x 2n－1x＋2n 解析 依题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由 1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为 an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项 依次为 2,4,8,16，…，故其通项公式为 bn＝2n. 所以当 n≥2 时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝ x 2n－1x＋2n. 11．观察下列等式，并从中归纳出一般结论：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝3 2 ，sin25° ＋sin265°＋sin2125°＝3 2 ，…. 解 观察可得两个等式的左边都是平方项的和，角度依次相差 60°，等式的右边 都是常数3 2 ，由此可得出一般结论：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝3 2. 12．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝－2 3 且 Sn＋ 1 Sn ＋2＝an(n≥2)，计算 S1， S2，S3，S4，并猜想 Sn 的表达式． 解 先化简递推关系：n≥2 时，an＝Sn－Sn－1， ∴Sn＋ 1 Sn ＋2＝Sn－Sn－1， ∴ 1 Sn ＋Sn－1＋2＝0. 当 n＝1 时，S1＝a1＝－2 3. 当 n＝2 时， 1 S2 ＝－2－S1＝－4 3 ， ∴S2＝－3 4. 当 n＝3 时， 1 S3 ＝－2－S2＝－5 4 ，∴S3＝－4 5. 当 n＝4 时， 1 S4 ＝－2－S3＝－6 5 ，∴S4＝－5 6. 猜想：Sn＝－n＋1 n＋2 ，n∈N＋. 三、探究与创新 13．设{an}是集合{2t＋2s|0≤s＜t，且 s，t∈Z}中所有的数从小到大排列的数列， 即 a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，….将数列{an}各项按照上小 下大，左小右大的原则写成如图所示的三角形数表： (1)写出这个三角形数表中的第 4 行、第 5 行各数； (2)求 a100. 解 (1)将前三行各数分别写成 2t＋2s 的形式： 第 1 行：3＝21＋20； 第 2 行：5＝22＋20,6＝22＋21； 第 3 行：9＝23＋20,10＝23＋21,12＝23＋22； 由此归纳猜想： 第 4 行：24＋20,24＋21,24＋22,24＋23； 第 5 行：25＋20,25＋21,25＋22,25＋23,25＋24. 经计算可得第 4 行各数依次是：17,18,20,24；第 5 行各数依次是：33,34,36,40,48. (2)由每行数的个数与所在行数相同，即第 1 行 1 个数，第 2 行 2 个数，第 3 行 3 个数，…故前 13 行共有 1＋2＋3＋…＋13＝91(个)数． 因此，a100 应当是第 14 行中的第 9 个数． 所以 a100＝214＋28＝16 640.