2019-2020学年吉林省实验中学高一上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年吉林省实验中学高一上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年吉林省实验中学高一上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．化简所得的结果是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量加法的三角形法则，，代入要求的式子化简．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个向量加法的三角形法则、几何意义，及其应用，属于基础题．‎ ‎2． 的值等于( )‎ A．0 B． C． D．－‎ ‎【答案】B ‎【解析】把化为后再逆用两角和的余弦公式可求三角函数式的值．‎ ‎【详解】‎ 原式．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的余弦公式的逆用，注意根据两角和余弦公式的结构特点去寻找变形化简的方向，本题属于基础题．‎ ‎3．要得到函数的图像，只要把函数图像( )‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】把化成后可得平移的方向及长度．‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 故把函数图像向右平移个单位后可得的图像．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图像平移变换，注意平移变换（左右平移）是自变量发生变化，如函数的图像，它可以由向左平移个单位，而不是，本题为易错题．‎ ‎4．函数的最大值与最小值之和为 ‎ (A)　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故选8‎ ‎5．已知点是内一点，且，则是的（ ）‎ A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 ‎【答案】B ‎【解析】利用向量加法的平行四边形法则得出所在直线经过的中点，从而得出、所在直线分别过、的中点，再利用重心的定义可判断出为的重心.‎ ‎【详解】‎ 是以、为邻边所作平行四边形的一条对角线，‎ 由平行四边形的性质，得所在直线必过线段的中点，‎ 因为，即．‎ 所以与方向相反，所以所在直线也过线段的中点，‎ 同理可得，、所在直线分别过边、的中点，‎ 因此，为三边中线的交点，即是的重心．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用向量的加法法则来判断三角形的四心问题，解题时可充分利用向量加法的平行四边形法则，并熟悉三角形四心的定义，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎6．已知都是锐角，且，，则（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．‎ ‎【详解】‎ 因为都是锐角，且，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 又 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．‎ ‎7．如图，在矩形中，和分别是边和的点，满足，若，其中，则是( )‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为基底向量表示，利用平面向量基本定理可求的值，从而得到的值.‎ ‎【详解】‎ 由矩形可得，‎ 又，，‎ 所以 ‎，‎ 因为不共线，故 ，从而，所以.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理的应用，注意与向量系数有关的计算，应根据题设条件选择一组合适的基底向量，再用基底向量表示目标向量，从而得到系数满足的条件，本题为中档题.‎ ‎8．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于两点，且，则=( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据可得的周期为，求出的值后可得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，故的周期为2，所以即.‎ 所以，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正切型函数的图像和性质，注意正切型函数的图像有无数条渐近线，相邻两条渐近线的距离是相邻两支曲线上纵坐标相同的两个点之间的距离，也是函数的最小正周期，本题为基础题.‎ ‎9．的值为（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三角恒等变形、辅助角公式及两角差的正弦化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了辅助角公式及两角差的正弦，属中档题.‎ ‎10．已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于（ ）‎ A．25 B．24 C．-25 D．-24‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查三角形的性质，向量加法的平行四边形法则或三角形法则，向量的数量积的运算.‎ 因为所以所以三角形为直角三角形，且则 故选C ‎11．已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由，求得，由是奇函数，求得，再利用求得，然后再在上没有最小值，利用函数图像求得结果即可.‎ ‎【详解】‎ 由，可得 ‎ 因为是奇函数 所以是奇函数，即 ‎ 又因为，即 ‎ 所以是奇数，取k=1，此时 所以函数 ‎ 因为在上没有最小值，此时 ‎ 所以此时 ‎ 解得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的综合问题，利用条件求得函数的解析式是解题的关键，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎12． 的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先把题设中的三角函数式化为，分子分母同乘以后利用二倍角的正弦公式和诱导公式可求三角函数式的值.‎ ‎【详解】‎ 原式 ‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数式的化简与求值，解题中注意根据角的两倍关系来选取合适的三角变换公式化简，本题属于中档题.‎ ‎13．在三角形中，点是线段的中点，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据可以判断出为直角三角形且为斜边且长度为，从而可求斜边上的中线的长.‎ ‎【详解】‎ 因为，故，‎ 化简得到，故为直角三角形且为斜边.‎ 又，故，因为为斜边上的中线，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，．特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.‎ ‎14．已知向量，则向量在向量的方向上的投影为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可得所求为，代入已知数据，计算即可得到答案 ‎【详解】‎ ‎，‎ 由题意可得在方向上的投影为：‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查的是向量的投影问题和数量积的运算，本题解题的关键是正确利用投影公式，写出投影的大小，主要分清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属于基础题．‎ ‎15．已知，则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两角和、差的正弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以，故，‎ 所以.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和、差的正弦，注意根据公式的结构特点把对数的计算归结为的值，这是三角变换中的整体思想，本题为中档题.‎ ‎16．已知，，则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对给定的两个三角函数关系式两边平方后再相加，则可得的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，，两式相加后可得 ‎，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的余弦，注意根据公式的结构特点把三角函数的求值问题转化为的差，从而采取两边平方的变形策略以便产生前者，本题为中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量，，在轴上有一点，使有最小值，求点坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，求出、的坐标后利用数量积的坐标形式可得的表达式，利用二次函数的性质可求取最小值时的值，从而得到相应的点坐标.‎ ‎【详解】‎ 设，则，，‎ ‎，‎ ‎∴当时有最小值，∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积的坐标运算以及二次函数的性质，本题属于基础题.‎ ‎18．已知，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用和两角差的正切公式可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵， ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角．‎ ‎19．如图，已知平行四边形，是与的交点，设．‎ ‎（Ⅰ）用表示和；‎ ‎（Ⅱ）若，，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）． （Ⅱ）‎ ‎【解析】【详解】‎ 解：（Ⅰ）依题意可知，是的中点， ‎ ‎, ‎ ‎（Ⅱ）,，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减运算，向量的数量积，属于基础题.‎ ‎20．已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求使函数取得最大值时自变量的集合.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式、降幂公式和辅助角公式可得，再根据周期公式可求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）令后解出可得取得最大值时自变量的集合.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）周期.‎ ‎（Ⅱ）当时，解得，，所以最大值是，‎ 此时使函数取得最大值时自变量的集合.‎ ‎【点睛】‎ 形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的最值、单调区间、对称轴方程和对称中心等．‎ ‎21．已知：，求证：，并利用该公式解决如下问题：若，求的值.‎ ‎【答案】证明见解析，‎ ‎【解析】利用切化弦和二倍角的正弦公式和余弦公式可证，再由求出，求出后利用两角差的正切公式可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数的化简、求值、证明等问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．‎ ‎22．向量， .‎ ‎（Ⅰ）若函数的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的一个点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为，求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用数量积的坐标形式和两角和的正弦公式可得，再根据图象特征得到函数的周期，最后利用周期公式可求的值从而得到所求的解析式.‎ ‎（Ⅱ）利用可得的值，再利用二倍角的正弦公式和弦切互化法可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）= ‎ 由题意，得.‎ 将点代入，得，‎ 所以，又因为，‎ 即函数的解析式为.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的图像和性质以及三角函数的化简求值，注意正弦型函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为个最小正周期，相邻两个对称中心的距离也是个最小正周期，相邻的对称中心与对称轴之间的水平距离为个最小正周期，另外，我们可用的正切表示的三角函数.‎