2019-2020学年四川省棠湖中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 word版

2019-2020学年四川省棠湖中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 word版

‎2019-2020学年秋四川省棠湖中学高二第一学月考试 理科数学试题 第I卷(选择题，共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1.已知，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎2.不等式的解集为 A. B. C. D. 或 ‎3.若变量满足约束条件则的最小值等于 ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎4.过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为 ‎ A. 2x＋y－1＝0 B. x－2y＋7＝0‎ C. x－2y－5＝0 D. 2x＋y－5＝0‎ ‎5.已知、、，若A、B、C三点共线，则 A. B. 3 C. D. 4‎ ‎6.下列说法正确的是 ‎ A. 若两个平面和第三个平面都垂直，则这两个平面平行 B. 若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 C. 若一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，则这两个平面平行 D. 若两条平行直线中的一条和一个平面平行，则另一条也和这个平面平行 ‎7.已知直线的倾斜角为，则 A. B. C. D. ‎ ‎8.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6‎ ‎9.函数，图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎10.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎12.在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球体积的最小值为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.直线的倾斜角为_________．‎ ‎14.直线恒过定点_____．‎ ‎15.对于任意实数x，不等式ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，则实数a的取值范围是    ．‎ ‎16.已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是____________.‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17.（本大题满分10分）‎ 已知三角形的三个顶点，，，‎ Ⅰ求AC边所在直线方程；‎ Ⅱ求线段BC的中垂线所在直线方程．‎ ‎18.（本大题满分12分）‎ 已知圆C：内有一点，直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为．‎ Ⅰ当时，求弦AB的长；‎ Ⅱ当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．‎ ‎19.（本大题满分12分）‎ 已知函数． Ⅰ判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； Ⅱ若在时恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎20.（本大题满分12分）‎ 关于的不等式的解集为.‎ Ⅰ求的值；‎ Ⅱ若关于的不等式解集是集合，不等式的解集是集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎21.（本大题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是 ，D是AC的中点． Ⅰ求证：B1C∥平面A1BD； Ⅱ求二面角A1﹣BD﹣A的大小； Ⅲ求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．‎ ‎22.（本大题满分12分）‎ 已知圆O：，直线l：．‎ Ⅰ若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当为锐角时，求k的取值范围；‎ Ⅱ若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线CD是否过定点？若是，求出定点，并说明理由．‎ Ⅲ若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形EGFH的面积的最大值．‎ ‎2019-2020学年秋四川省棠湖中学高二第一学月考试 理科数学试题答案 一．选择题 ‎1.D 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.A 8.A 9.C 10.A 11.C 12.D ‎12.设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.‎ 如图所示，设，由的面积为2，得，‎ 因为，外接圆的半径，‎ 因为平面，且，‎ 所以到平面的距离为，‎ 设球的半径为R，则，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.‎ 二．填空题 ‎13. 14. 15.（﹣4，0] 16.‎ ‎16.由题意可知圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2，结合点到直线距离公式有，据此整理计算可得，结合二次函数的性质确定其最大值即可.‎ 圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2，‎ 由直线被圆截取的弦长为,可得圆心到直线的距离，‎ ‎，‎ 则时,取得最大值.‎ 三．解答题 ‎17.⑴由、知直线AC所在直线方程为，即；‎ ‎⑵由、可知BC中点为，‎ 又因为，所以线段BC的中垂线斜率为，‎ 所以线段BC的中垂线所在直线方程为，即。‎ ‎18.：，‎ 圆心到距离为，所以弦长为，‎ ‎（2）圆心到距离为,设：‎ 所以 ‎19.在递减， 证明如下： 设， 则， 故在递增； 在上恒成立， 即在上恒成立， 整理得：， 根据基本不等式，得， 不等式上恒成立， 即，解之得或． 综上所述，得a的取值范围为，．‎ ‎20.（1）根据题意关于的不等式的解集为，又由题意可知不等式对应方程的两个实数根为和，‎ ‎，解得.‎ ‎（2），原等式可转化为，‎ 即，‎ 对应方程的根为 ‎①当时， 不等式的解集是.‎ ‎∅‎ ‎②当时， .‎ ‎.‎ ‎③当时， ∅，满足.‎ 综合上述， .‎ ‎21.（1）解：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，‎ ‎∵D为AC中点，∴PD∥B1C．‎ 又∵PD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD ‎∴B1C∥平面A1BD．‎ ‎ （2）解：∵正三棱住ABC﹣A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥底面ABC．‎ 又∵BD⊥AC ‎∴A1D⊥BD ‎∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角．‎ ‎∵AA1= ，AD= AC=1‎ ‎∴tan∠A1DA= ‎ ‎∴∠A1DA= ，即二面角A1﹣BD﹣A的大小是．‎ ‎ （3）解：由（2）作AM⊥A1D，M为垂足．‎ ‎∵BD⊥AC，平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC ‎∴BD⊥平面A1ACC1，‎ ‎∵AM⊂平面A1ACC1，‎ ‎∴BD⊥AM ‎∵A1D∩BD=D ‎∴AM⊥平面A1DB，连接MP，则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角．‎ ‎∵AA1= ，AD=1，∴在Rt△AA1D中，∠A1DA= ，‎ ‎∴AM=1×sin60°= ，AP=AB1= ．‎ ‎∴sin∠APM= ‎ ‎∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为 ．‎ ‎22.(1)根据题意，设，，‎ 将代入，整理得到：，‎ 则有，解可得：，‎ 而，‎ 为锐角，‎ 又由，‎ 解可得：，‎ 又由，则，‎ 解可得：或；‎ ‎(2)时，直线l的方程为：，‎ 设，则以为直径的圆的方程为，‎ 即，将其和圆O：联立，消去平方项得：，即为直线的方程，‎ 将其化为知该直线恒过定点，‎ 故直线CD恒过定点；‎ ‎(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为、，‎ 则，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 当且仅当即 时，取“”，‎ 所以四边形EGFH的面积的最大值为。‎