河南省实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

河南省实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 河南省实验中学2019——2020学年高一数学上期期中试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A＝{﹣2，0，1，3}，B＝{x|﹣＜x＜}，则集合A∩B的子集个数为（　　）‎ A. 4 B. 8 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由交集的运算法则，得到集合；根据集合元素个数为n，则其子集的个数为，求出集合的子集个数.‎ ‎【详解】因为集合，所以；又因为集合有3个元素，所以它的子集有个，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及集合的子集个数，确定集合的元素个数是解决本题的关键.‎ ‎2.下列函数中，是同一函数的是( )‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 考虑各选项中函数的定义域和对应法则是否相同后可得正确的选项.‎ ‎【详解】A中的函数 ，故两个函数的对应法则不同，故A中的两个函数不是相同的函数；‎ B中函数的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；‎ C中的函数的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；‎ D中的函数定义域相同，对应法则相同，故两个函数为同一函数，‎ 综上，选D.‎ ‎【点睛】本题考查两个函数相同的判断方法，应先考虑函数的定义域，再考虑函数的对应法则，这两个相同时才是同一函数.‎ ‎3.设函数，则 （ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求即可.‎ ‎【详解】，.‎ 故本题正确答案为A.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的计算，考查学生的运算求解能力，属基础题.‎ ‎4.已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.‎ ‎【详解】因为为奇函数，所以 因为，所以 因此选B.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.‎ ‎5.若的定义域为[1，2]，则的定义域为（ 　 ）‎ A. [0，1] B. [－2，－1] C. [2，3] D. 无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ f（x﹣1）的定义域为[1，2]，即x∈[1，2]，再求x﹣1的范围，再由f（x）的定义域求f（x+2）的定义域，只要x+2在f（x）的定义域之内即可．‎ ‎【详解】f（x﹣1）的定义域为[1，2]，即x∈[1，2]，‎ 所以x﹣1∈[0，1]，即f（x）的定义域为[0，1]，‎ 令x+2∈[0，1]，解得x∈[﹣2，﹣1]，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抽象复合函数求定义域问题，复合函数的定义域关键是搞清自变量，易出错．‎ ‎6.在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（ ）‎ A. （1.8，2） B. （1.5，2） C. （1，1.5） D. （1，1.2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求得，结合零点的存在定理，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，令，则，，，，所以，根据零点的存在定理，可得方程的根所在区间为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中熟练应用函数的零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎ ，，，再比较的大小.‎ ‎【详解】，，，，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.‎ ‎8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除选项；当时，可知，排除选项，从而得到结果.‎ ‎【详解】当时，，可排除选项；‎ 当时，， 时，，可排除选项 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数值的符号来排除错误选项.‎ ‎9.已知函数，若，则此函数的单调减区间是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的定义域为，根据二次函数的性质，求得在单调递增，在单调递减，再由，得到，利用复合函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数满足，‎ 解得，即函数定义域为，‎ 又由函数在单调递增，在单调递减，‎ 因为，即，所以，‎ 根据复合函数的单调性可得，函数的单调递减区间为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 要求函数的最大值，可先分别探究函数与 的单调性，从而得到的最大值．‎ ‎【详解】易知在上单调递增，上单调递增.‎ 因为，，所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.‎ ‎11.已知函数,如果，其中，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的解析式，化简得，进而根据，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 则，即，‎ 又由，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中根据函数的解析式判断函数的性质，利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12.定义函数为不大于的最大整数，对于函数，有以下四个结论：①；②在每一个区间,上,都是增函数；③；④的定义域是,值域是.其中正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】对于①中，，所以是正确的；‎ 对于②中，结合图象，可得在每一个区间,上,都是增函数是正确的；‎ 对于③中，由 ，所以是错误的；‎ 对于④中，结合图象，可得函数的定义域是,值域是，所以是正确的.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数新定义问题，以及函数的性质的应用，其中解答中正确把握函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13.含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ‎____．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，可得，‎ 根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得，‎ 此时集合 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合相等和运算的互异性的应用，其中解答中熟记集合相等的条件，合理应用元素的互异性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知是定义在上的奇函数，当时，,则时, = __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时,,因为时，，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，故答案为.‎ ‎15.已知函数若，使得成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 故答案为.‎ ‎16.已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，‎ 又由方程有4个不同的实数根， ‎ 即函数的图象与有四个不同的交点，‎ 可得，且，‎ 则=，‎ 因为，则，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.计算 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；‎ ‎（2）根据对数的运算的性质，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由.‎ ‎（2）由.‎ ‎【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知集合，.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数函数的单调性求解指数不等式得集合A，利用交集定义求解即可 ‎（2）分和，根据包含关系列不等式求解即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（2）当时，，即，符合题意；‎ 当时，或，‎ 解得或.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，解第二问时容易忽略空集，属于易错题型.‎ ‎19.2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且 ‎.由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. ‎ ‎（1）求出2019年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；‎ ‎（2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.‎ ‎【答案】（1）；（2）2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5800万元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，当时，，进而得到函数的解析式；‎ ‎（2）由（1）中函数的解析式，结合函数的性质求得最大值，即可求解，得到结论.‎ ‎【详解】（1）当时，；‎ 当时，．‎ 所以利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式为：‎ ‎ .‎ ‎（2）当时，，‎ 所以当时，； ‎ 当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减；‎ 所以时，． ‎ 所以当，即生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5800万元．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中认真审题，根据题意求得利润（万元）关于年产量（百辆）的函数解析式，在结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎20.定义在上的函数，满足，，当时，.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）在上为减函数；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，求得，取，得到，再利用函数的单调性的定义，即可得到函数的单调性；‎ ‎（2）由，化简得到 ，结合（1）中函数的单调性，得出不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】（1）令，则有，可得，‎ 取，则，解得， ‎ 任取，则，‎ 因为，在，则，即.‎ 因此，函数在定义域上为减函数； ‎ ‎（2）因为，由（1）知，,‎ 由,可得，即，‎ 又由函数在定义域上为减函数，则，解得.‎ 即不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抽象函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合理赋值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎21.已知定义域为R的函数是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据解得，根据解得 ‎（Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为，求二次函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）定义域为的函数是奇函数 则 ‎，，‎ 根据，解得 ，经检验，满足函数为奇函数 ‎（Ⅱ） ‎ 易知为增函数，故为减函数 即 即 ‎ 所以 恒成立，即 ‎ 当时，有最小值 ‎ 故的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数的定义域为,且满足如下两个条件：①在内是单调递增函数；②存在，使得在上的值域为,那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的定义域为，即恒成立，结合指数函数的性质，即可求解；‎ ‎（2）根据题设得到函数在上的值域为 ‎，且函数是单调递增函数，由对数函数的性质，得到，转化为是的两个根，结合二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数的定义域为，即恒成立，‎ 所以恒成立，因为，所以，所以的取值范围. ‎ ‎（2）因为函数是“希望函数”，‎ 所以在上的值域为，且函数是单调递增函数，‎ 所以，即，所以是的两个根，‎ 设，‎ 因为，所以有2个不等的正实数根， ‎ 所以且两根之积等于，解得 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，合理利用新定义和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎ ‎