四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三三诊模拟考试数学（文）试题

四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三三诊模拟考试数学（文）试题

2020 年春四川省叙州区第二中学高三三诊模拟考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知命题 ，则 为 A． B． C． D． 4．对于 是任意非零实数，且 ，又 ，则有 A． B． C． D． 5．已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为 A． B．45 C． D． 6．若直线 与 平行，则 与 间的距离为 A． B． C． D． { }3xA y y= = { }0,1,2,3B = A B = { }1,2,3 ( )0, ∞+ { }0,1,2 [ )0,+∞ 2 iz 2 i −= + ,a b a b> Rc∈ lg( ) 0a b− > 2 2ac bc> 1 1 a b < 1 1 3 3 a b   <       { }na 5 5a = 9S 25 50 90 1 : 6 0l x ay+ + = ( )2 : 2 3 2 0l a x y a− + + = 1l 2l 2 8 2 3 3 8 3 3 7．函数 ，的零点个数有 A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 8．．设 是不同的直线， 是不同的平面,下列四个命题中，正确的是 A．若 ,则 B．若 则 C．若 则 D．若 则 9．已知函数 ，则下列结论错误的是 A． 的一个周期为 B． 的图像关于点 对称 C． 的图像关于直线 对称 D． 在区间 的值域为 10.在正方体 中， 分别是 的中点，则 A． B． C. 平面 D． 平面 11．已知定义在 上的函数 ，若 是奇函数， 是偶函数，当 时， ，则 A． B． C．0 D． 12．过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F 作斜率为 的直线 l 与 C 及其准线分别相交于 A，B， D 三点，则 的值为 A．2 或 B．3 或 C．1 D．4 或 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知向量 ，若 ，则 ． 3 2, 0( ) , 0 xe x xf x x x x  + − >=  − ≤ m n、 / / , / /m nα α //m n , ,m nβ β⊥ ⊥ //m n , ,mα β α⊥ ⊂ m β⊥ , , / / , / / ,m n m nα α β β⊂ ⊂ / /α β 2( ) sin(2 )3f x x π= + ( )f x π− ( )f x 5( ,0)6 π− ( )f x 12x π= − ( )f x ( , )3 3 π π− 3[ ,1]2 − 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1 1,BC CD 1 1/ /MN C D 1MN BC⊥ MN ⊥ 1ACD MN ⊥ 1ACC R ( )f x ( )f x ( )1f x+ 0 1x≤ ≤ 2( )f x x= (2019)f = 1− 1 22015 4 3 | | | | AD BD   1 2 1 3 1 4 ( ) ( ) ( )4, 2 , , 1 , 3, 4a b x c= − = − = −   / /a b  ( )a b c+ ⋅ =   14．若实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为____________. 15．若 ， ，则 的值为__________． 16．四棱锥 中，底面 为矩形， ， ，且 ，当该四 棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 . （I）求角 的值； （II）若 ，且 为锐角三角形，求 的取值范围. 18．（12 分）某生物兴趣小组对冬季昼夜温差与反季节新品种大豆发芽数之间的关系进行研 究，他们分别记录了 月 日至 月 日每天的昼夜温差与实验室每天 颗种子的发 芽数，得到以下表格 日期 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 温差( ) 发芽数(颗) 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这 组数据中选取 组数据，然后用剩下的 组数据 求线性回归方程，再用被选取的 组数据进行检验. (I) 求统计数据中发芽数的平均数与方差； (II) 若选取的是 月 日与 月 日的两组数据，请根据 月 日至 月 日的数据， 求出发芽数 关于温差 的线性回归方程 ，若由线性回归方程得到的估计数据与所 选取的检验数据的误差不超过 ，则认为得到的线性回归方程是可靠的，问得到的线性回归方 x y 2 2 0 1 0 2 x y x y y + + ≥  + − ≤  ≥ − z x y= − 1 5tan tan 2 α α+ = ( , )4 2 α π π∈ 2 2 sin( 2 ) sin ( )2 cos( 2 ) 1 sin ππ α α α α − − + − + + S ABCD− ABCD 4=AD 2AB = 8SA SD+ = ABC∆ a b c A B C ( )( ) 3a b c a b c ab+ + + − = C 2c = ABC∆ +a b 11 21 11 25 100 11 21 11 22 11 23 11 24 11 25 Co 8 9 11 10 7 22 26 31 27 19 5 2 3 2 11 21 11 25 11 22 11 24 y x axby ˆˆˆ += 2 程是否可靠？ 附：线性回归方程 中斜率和截距最小二乘估法计算公式： ， 19．（12 分）如图，四棱锥 中， 平面 ， 为线段 上一点， ， 为 的中点. （I）证明： （II）求四面体 的体积. 20．（12 分）已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴 长半径的圆与直线 相切． （I）求 与 ； （II）设该椭圆的左、右焦点分别为 和 ，直线 过 且与 轴垂直，动直线 与 轴垂 直， 交 与点 ．求线段 垂直平分线与 的交点 的轨迹方程，并指明曲线类型． axby ˆˆˆ += ( ) ∑ ∑ = = − −− = n i i i n i i xx yyxx b 1 2 1 )( )( ˆ xbya ˆˆˆ −= ABCDP − ⊥PA ABCD MBCPAACADABBCAD ,4,3,// ===== AD MDAM 2= N PC ;// PABMN 平面 BCMN − ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 3 2y x= + a b 1F 2F 1l 2F x 2l y 2l 1l P 1PF 2l M 21．（12 分）已知函数 ． （I）当 时，判断函数 的单调性； （II）若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线 的极坐标方程是 ,以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系 中, 直线 经过点 ,倾斜角 ． （I）写出曲线 直角坐标方程和直线 的参数方程； （II）设 与曲线 相交于 两点, 求 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 ． （I）求不等式 的解集； （II）设 为正实数，且 ，求证： . 21( ) ln ( 1) ,( )2f x x ax a x a R= + − + ∈ 1a = ( )y f x= x 21 2f x ax=（ ） 1 2x x， a 2 1 2•x x e＞ C 16cos 2sin 0ρ θ θ ρ− + + = x xOy l ( )3,3P 3 πα = C l l C ,A B AB ( ) 2 2 1f x x x= − + + ( ) 6f x < , ,m n p ( )2m n p f+ + = 3mn np pm+ + ≤ 2020 年春四川省叙州区第二中学高三三诊模拟考试 文科数学参考答案 1．A 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B 9．D 10．D 11．A 12．D 13．30. 14．5 15． 16． 17．（1）由题意知 ，∴ ， 由余弦定理可知， ，又∵ ，∴ . （2）由正弦定理可知， ，即 ∴ ， 又∵ 为锐角三角形，∴ ，即， 则 ，所以 ，综上 的取值范围为 . 18．18.解：(I) 分 (II)由 月 日至 月 日的数据得 分 1 2 76 3 π ( )( ) 3a b c a b c ab+ + + − = 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 cos 1 2 2 a b cC ab + − == (0, )C π∈ 3C π= 2 4 3sin sin 3sin 3 a b A B π= = = 4 43sin , 3sin3 3a A b B= = 4 3(sin sin )3a b A B+ = + 4 23 sin sin3 3A A π  = + −     2 3sin 2cosA A= + 4sin 6A π = +   ABC∆ 0 2 20 3 2 A B A π π π  < <  < = − < 2 3 6 3A π π π< + < 2 3 4sin 46A π < + ≤   +a b (2 3,4] ( ) 2519273126225 1 =++++= − x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2.17251925272531252625225 1 222222 =−+−+−+−+−=s 6 11 22 11 24 ( ) 10101193 1 =++= − x ( ) 282731263 1 =++= − y 8 3102 528ˆ,2 5ˆ 1 2 1 =×−==    −    −   − = ∑ ∑ = − = −− a xx yyxx b n i i n i ii 分 当 时， ，满足 当 时， ，满足 得到的线性回归方程是可靠的. 分 19．解（1）由已知得 ，取 的中点 ，连接 ，由 为 中点 知 ，即 又 ，即 故四边形 为平行四边形，于是 因为 所以 （2）因为 平面 ， 为 的中点，所以 到平面 的距离为 取 得中点 ，连接 ，由 得 由 得 到 的距离为 ，故 ，所以四面体 的体积 为 20．解：（1） ， ， ． （2） ， 两点分别为 ， ，由题意可设 那么线段 中点为 ，设 是所求轨迹上的任意点 由于 ，即 ，所以 ．又因为 ，消参 得轨迹方程 为 .该曲线为抛物线（除掉原点）． 21．解：（1） 时， ，故 ， 32 5ˆ +=∴ xy 10 8=x 23ˆ =y 22322 <− 7=x 5.20ˆ =y 25.2019 <− ∴ 12 23 2 == ADAM RP T TNAT, N PC ,22 1,// == BCTNBCTN ,AMTN = BCAD // ,// AMTN AMNT ,// ATMN ,, PABMNPABAT 平面平面 ⊄⊂ ,// PABMN 平面 ⊥PA ABCD N PC N ABCD ,2 1 PA BC E AE 3== ACAB ,5, 22 =−=⊥ BEABAEBCAE BCAM // M BC 5 542 1 ××=∆BCMS BCMN − .3 54 23 1 =××= ∆− PASV BCMBCMN 2 2 31 3 c be a a = = − = 6 2, 23 1 1 b ba = = = + 3a = 1F 2F ( )1,0− ( )1,0 ( )( )1, 0P t t ≠ 1PF 0, 2 tN      ( ),M x y 1MN PF⊥ 1 1MN PFk k⋅ = − 2 12 ty t x − ⋅ = − y t= t ( )2 04 yx x= − < 1a = 21( ) ln 2 ( 0)2f x x x x x= + − > 2 2 1 2 1( ) 2 0x xf x xx x ′ − += + − = ≥ 在 上单调递增． （2）由题意可知 有两解，设直线 与 相切，切点坐标为 ， 则 ，解得 ， ，即 ． ∴实数 的取值范围是 ． 不妨设 ，则 ， 两式相加得： ，两式相减得： ， ，故 ， 要证 ，只需证 ，即证 ， 令 ，故只需证 在 恒成立即可．令 ， 则 ，∴ 在 上单调递增， ，即 在 恒成立． ． 22．（1）曲线 化为 ，再化为直角坐标方程为 ，化为标准方程为 ，直线 的参数方程为 ( )f x∴ ∞（0，+ ） ln ( 1)x a x= + y kx= lny x= 0 0( )x y， 0 0 0 0 0 ln 1 y kx y x k x   = =   =  0 0 1, 1,x e y k e = = = 10 1a e ∴ < + < 11 1a e − < < − a 11, 1e  − −   2 1 0x x> > 1 1 2 2ln ( 1) , ln ( 1)x a x x a x= + = + ( ) ( )1 2 1 2ln ( 1)x x a x x= + + ( )2 2 1 1 ln ( 1)x a x xx = + − ( )1 2 1 2 2 2 1 1 ln ln x x x x x x x x +∴ = − ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 ln lnx x xx x x x x += − • 2 1 2x x e> 1 2 2 2 1 1 ln 2x x x x x x + >− • ( ) 2 2 1 12 21 1 2 1 2 12ln 1 x x x xx xx x x x  − −  > =+ + 2 1 1xt x = > 2( 1)ln 1 tt t −> + 1（ ， ）+ ∞ 2( 1)( ) ln ( 1)1 tg t t tt −= − >+ 2 2 2 1 4 ( 1)( ) 0( 1) ( 1) tg t t t t t −′ = − = >+ + ( )g x 1（ ， ）+ ∞ t 1 0g g∴ =（ ）＞（ ） 2( 1)ln 1 tt t −> + 1（ ， ）+ ∞ 2 1 2x x e∴ >• C 2 6 cos 2 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ− + + = 2 2 6 2 1 0x y x y+ − + + = 2 2( 3) ( 1) 9x y− + + = l （ 为参数）． （2）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，整理得 ， ，则 ， ，所以 ． 23．（1）不等式 等价于不等式组 或 或 ， 所以不等式 的解集为 ； （2）证明：因为 ， 所以 ， 因为 为正实数，所以由基本不等式 （当且仅当 时等号成立）， 同理 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 3 cos 3{ 3 sin 3 x t y t π π = + = + t l C 2 4 3 7 0t t+ + = 2(4 3) 4 7 20 0∆ = − × = > 1 2 4 3t t+ = − 1 2 7t t = 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 2 5AB t t t t t t= − = + − = 2 2 1 6x x− + + < 1 3 3 6 x x < − − + < 1 2 5 6 x x − ≤ ≤ − + < 2 3 3 6 x x >  − < 2 2 1 6x x− + + < ( )1,3− 3m n p+ + = ( )2 2 2 2 2 2 2 9m n p m n p mn mp np+ + = + + + + + = , ,m n p 2 2 2m n mn+ ≥ m n= 2 2 2 22 , 2m p mp p n pn+ ≥ + ≥ 2 2 2m n p mn mp np+ + ≥ + + ( )2 2 2 2 2 2 2 9 3 3 3m n p m n p mn mp np mn mp np+ + = + + + + + = ≥ + + 3mn mp np+ + ≤