2017-2018学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省福州市八县（市）协作校高二上学期期末联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　　)‎ A． 任意一个有理数,它的平方是有理数 B． 任意一个无理数,它的平方不是有理数 C． 存在一个有理数,它的平方是有理数 D． 存在一个无理数,它的平方不是有理数 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎2．已知集合A＝，B＝，则A∩B等于(　　)‎ A． [1,3] B． [1,5] C． [3,5] D． [1，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出中不等式的解集确定出，求出中的范围确定出，找出与的交集即可 ‎【详解】‎ 由中不等式变形可得：，解得 由中得到，即 则 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是集合的交集及其运算，属于基础题。‎ ‎3．如图，边长为 的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得圆的半径为1，故圆的面积为。‎ 根据几何概型概率公式可得该点落在圆内的概率为。选A。‎ ‎4．“”是“方程表示椭圆”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】设， 表示圆，不一定为椭圆.反之，若方程表示椭圆，则.故为必要不充分条件.‎ ‎5．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． （-，0） B． （-4，0） C． （0，-） D． （0，-2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准方程，求出的值，判断开口方向及焦点所在的坐标轴，即可得到焦点坐标 ‎【详解】‎ 将抛物线化为标准形焦点坐标为式 ‎，焦点在轴上，开口向下 其焦点坐标为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，属于基础题 ‎6．设向量，若，则实数的值为（ ）‎ A． 0 B． 4 C． 5 D． 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件求出的坐标点，然后再根据得到，代入即可求得结果 ‎【详解】‎ ‎，‎ 即，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的数量积的运算及平面向量的点坐标，属于基础题 ‎7．已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数，对数函数的单调性求解，找出中间转换量 ‎【详解】‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是对数值大小的比较，在解答此类题目时可以将其化为同底数或者找个中间代换量来比较大小，属于基础题。‎ ‎8．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）‎ A．10π B．11π C．12π D．13π ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可．‎ 解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面半径为1．‎ 所以球的表面积为4π×12=4π．圆柱的侧面积为2π×3=6π，圆柱的两个底面积为2π×12=2π，‎ 所以该几何体的表面积为4π+2π+6π=12π．‎ 故选C．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎9．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 4 D． 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立适当的空间直角坐标系，利用坐标计算即可得到结果 ‎【详解】‎ 则 的不同值得个数为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段。‎ ‎10．已知双曲线C:的左焦点为，圆M的圆心在Y轴正半轴，半径为，若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线M与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出圆心的坐标，利用直线与圆相切，建立条件关系，求出的关系即可得到结果 ‎【详解】‎ 设圆心，双曲线的渐近线方程为，‎ 直线与双曲线的一条渐近线垂直，‎ 则，即 则圆心的坐标 圆与双曲线的两渐近线均相切，‎ 圆到直线的距离 整理可得：‎ 则 即 则 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是离心率的求解，直线和圆的位置关系的应用，根据条件求出圆心的坐标以及的关系是解决此题的关键。‎ ‎11．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900，点D1和F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，连接，，将平移到，则就是异面直线与所成角，在中利用余弦定理求出此角即可 ‎【详解】‎ 取的中点，连接，，‎ 就是异面直线与所成角，‎ 设 则，，‎ 在中，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直角所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，难度不大，关键是能够通过找点作出平行线，找出异面直线所成的角。‎ ‎12．抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A． 2 B． C． 1 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，连接，，由抛物线定理可得，由余弦定理可得 ‎，然后根据基本不等式，求得的取值范围，即可得到答案 ‎【详解】‎ 设，，连接，‎ 由抛物线定义可得，‎ 在梯形中，‎ 余弦定理可得：‎ 配方可得：‎ 又 即的最大值为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质，结合抛物线定义运用余弦定理找出各长度之间的关系，再运用不等式进行求解，本题较为综合，有一定难度。‎ 二、填空题 ‎13．若实数x, y满足，则的最小值为______．‎ ‎【答案】-15‎ ‎【解析】‎ ‎ 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，‎ ‎ 当经过可行域的点时，目标函数取得最小值，‎ ‎ 由 ，解得，‎ 则的最小值是.‎ ‎14．已知命题：是真命题，则实数的取值范围为__________‎ ‎【答案】（-2，2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为命题：是真命题，可得即可求得答案 ‎【详解】‎ 命题：是真命题 ‎，解得 则实数的取值范围为 故答案为 ‎【点睛】‎ 这是一道关于命题的真假判断与应用的题目，关键是根据已知命题为真命题，构造关于的不等式是解题的关键 ‎15．若的两个顶点坐标、，的周长为，则顶点C轨迹方程为 _____________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的周长为定值，，得到点到两个定点的距离之和等于定值，即点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点 ‎【详解】‎ 的两个顶点坐标、，周长为 ‎，点到两个定点的距离之和等于定值，‎ 点的轨迹是以、为焦点的椭圆 椭圆的标准方程是 ‎ 故答案为 ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法。‎ ‎16．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列给出四个命题：‎ ‎(1)四边形ABC1D1的面积为 (2)的夹角为60°；(3)；‎ 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)‎ ‎【答案】(1) (3) (4)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合正方体图形，分别对四个命题进行判断 ‎【详解】‎ ‎⑴由面，故，所以四边形的面积为正确 ‎⑵是等比三角形，，又因为，异面直线与所成的夹角为，但是向量的夹角为，故错误 ‎⑶由向量的加法可以得到，，则 ‎，故正确 ‎⑷，由面，故，可得，故正确 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系以及夹角和面积，用到向量的加减法，夹角及向量的数量积，熟练掌握正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识方法是做好本题的关键。‎ 三、解答题 ‎17．设命题实数满足，；‎ 命题实数满足 ‎ ‎（1）若，为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴当时，为真命题，，为真命题，，根据为真命题，即可求得结果 ‎⑵得是的充分不必要条件，小范围推出大范围，求出结果 ‎【详解】‎ 解：由题意得，当为真命题时：当时，；‎ 当为真命题时：． ‎ ‎（I）若，有，‎ 则当为真命题，有，得． ‎ ‎（II）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，‎ 则， 得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是复合命题的应用和充分不必要条件的应用，属于基础题，解题时要认真审题，仔细解答。‎ ‎18．在中，角A，B，C的对边分别为 ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将角的关系化为边的关系：．再根据余弦定理求的值；（2）由三角同角关系求出值，再根据三角形面积公式求面积 试题解析： ⑴因为，所以． ‎ 所以． ‎ 所以 ‎⑵因为，所以． ‎ 又因为，所以． ‎ 所以 ‎19．已知双曲线的的离心率为，则 ‎（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程。‎ ‎（Ⅱ）当时，已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由，，由此可以求出双曲线的渐近线方程 ‎⑵由得（判别式），求出中点坐标，再根据线段的中点在圆上，代入即可求得结果 ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由题意，得，‎ ‎ ∴，即 ‎∴所求双曲线的渐进线方程 ‎ ‎（Ⅱ） 由（1）得当时, 双曲线的方程为. ‎ 设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，‎ ‎ 由得（判别式）,‎ ‎ ∴, ‎ ‎∵点在圆上,∴，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，考查了函数与方程思想，化归与转化思想。‎ ‎20．已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使的的最大值．‎ ‎【答案】（1）．（2）13．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的前三项和为6，且成等比数列列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和后，解不等式即可得结果.‎ 试题解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意有，‎ 即，‎ 由，解得，所以．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以．‎ 解，得，‎ 所以的最大值为13．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列的综合运用以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②‎ ‎；③；‎ ‎④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎21．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．‎ ‎（1）求证：AB1⊥平面A1BD；‎ ‎（2）求锐二面角A－A1D－B的余弦值；‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 法一：⑴先证明直线垂直平面内的两条相交直线，，即可证平面 法二：⑴取中点，连接，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，即可证平面 ‎⑵求出平面的法向量为，为平面的法向量，然后求二者的数量积，即可求得结果 ‎【详解】‎ 法一：(1)取中点，连结．‎ 为正三角形，．‎ 正三棱柱中，平面平面，‎ 平面．BD ‎ 连结，在正方形中，分别为的中点，‎ ‎，则BD⊥面AOB1 ‎ ‎．在正方形中，， ‎ 平面． ‎ 法二：解：(1)取BC中点O，连结AO．‎ ‎∵△ABC为正三角 形，∴AO⊥BC．‎ ‎∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面 BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1． ‎ 取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，‎ A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)， ‎ ‎∴． ‎ ‎∴‎ ‎∴，∴AB1平面A1BD． ‎ ‎(2)设平面A1AD的法向量为．‎ ‎＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ 令z＝1得n＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量．‎ 由(1)知AB1⊥平面A1BD，为平面A1BD的法向量．. ‎ ‎．‎ ‎∴锐二面角A－A1D－B的大小的余弦值为．.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查了空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，属于中档题目。‎ ‎22．已知O为坐标原点，椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A,上顶点为B,若|OB|,|OF2|,|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设T为直线x=-3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P,Q，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴利用已知条件，算出，，再根据，求出，写出椭圆方程 ‎⑵可得，设，直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，消去，根据韦达定理，求出的表达式，利用基本不等式求出最小值 ‎【详解】‎ 解：（1）易知，，‎ 而又，得，‎ 故椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）由（1）知，∵，故，设，‎ ‎∴，直线的斜率为，‎ 当时，直线的斜率为，直线的方程为；‎ 当时，直线的方程为，也符合方程． ‎ 设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得 消去，得：，，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆相交的问题，一元二次方程根与系数的关键，用基本不等式求最小值时，要注意等号成立的条件，本题考查了推理能力，有一定的计算量，属于难题。‎