数学卷·2018届江西省宜春市奉新一中高二上学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届江西省宜春市奉新一中高二上学期第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.）‎ ‎1．某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了 4个员工，则广告部门的员工人数为（　　）‎ A．30 B．40 C．50 D．60‎ ‎2．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．16‎ ‎3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（　　）‎ A．﹣2 B． C．3 D．‎ ‎4．从甲乙两个城市分别随机抽取15台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m1，m2，则（　　）‎ A．＜，m1＜m2 B．＜，m1＞m2‎ C．＞，m1＞m2 D．＞，m1＜m2‎ ‎5．已知两定点A（﹣3，5），B（2，15），动点P在直线3x﹣4y+4=0上，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）‎ A．5 B． C．15 D．5+10‎ ‎6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：‎ ‎①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；‎ ‎②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；‎ ‎③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；‎ 则肯定进入夏季的地区有（　　）‎ A．①②③ B．①③ C．②③ D．①‎ ‎7．设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）‎ ‎8．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎9．将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，则甲、乙被分到同一个班的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，则△ABO的面积的最小值为（　　）‎ A．6 B．12 C．24 D．18‎ ‎11．对任意实数λ，直线l1：x+λy﹣m﹣λn=0与圆C：x2+y2=r2总相交于两不同点，则直线l2：mx+ny=r2与圆C的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 ‎12．在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1， •=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　）‎ A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．已知x与y之间的几组数据如表：‎ x ‎ 3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ 6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+＜“m“：math xmlns：dsi='http://www．dessci．com/uri/2003/MathML'dsi：zoomscale='150'dsi：_mathzoomed='1'style='CURSOR：pointer； DISPLAY：inline﹣block'＞a^，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则　　b，　　a．（填“＞”或“＜”）‎ 附：回归直线方程=x+中： =， =﹣．‎ ‎14．已知直线x+a2y+6=0与直线（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则a的值为　　．‎ ‎15．有下列四个命题：‎ ‎①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“相似三角形的周长相等”的否命题；‎ ‎③“若b≤﹣1，则方程x2﹣2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“若A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题．‎ 其中真命题是　　．‎ ‎16．a，b，c，d四封不同的信随机放入A，B，C，D四个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a没有放入A中的概率是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．‎ ‎（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数及平均身高；‎ ‎（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；‎ ‎（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．‎ ‎18．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE所在直线方程为2x+y﹣3=0‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）求直线BC的方程．‎ ‎19．某地汽车站在6：00～6：10内任何时刻发出第1班车，在6：10～6：20任何时刻发出第2班车，某人在6：00～6：20的任何时刻到达车站是等可能的，求此人乘坐前2班车的概率．‎ ‎20．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．‎ ‎（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值；‎ ‎（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．‎ ‎21．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切 ‎（1）求圆O的方程 ‎（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．‎ ‎22．已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省宜春市奉新一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.）‎ ‎1．某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了 4个员工，则广告部门的员工人数为（　　）‎ A．30 B．40 C．50 D．60‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】先求出每个个体被抽到的概率等于，设广告部门的员工人数为n，由=，解得 n的值．‎ ‎【解答】解：每个个体被抽到的概率等于 =，设广告部门的员工人数为n，‎ 则 =，解得 n=50，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．16‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．‎ ‎【解答】解：样本间隔为80÷5=16，‎ ‎∵42=16×2+10，‎ ‎∴该样本中产品的最小编号为10，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（　　）‎ A．﹣2 B． C．3 D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据框图的流程依次计算运行的结果，发现输出S的值是周期性变化的，且周期为4，当i=2014时，程序终止运行，此时程序运行2013次，由此可确定输出S的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行S==﹣2，i=1+1=2；‎ 第二次运行S==﹣，i=2+1=3；‎ 第三次运行S==，i=3+1=4；‎ 第四次运行S==3，i=4+1=5；‎ 第五次运行S==﹣2，i=5+1=6．‎ ‎…‎ 输出S的值是周期性变化的，且周期为4，‎ 当i=2014时，程序终止运行，此时程序运行2013次，2013=4×503+1，‎ ‎∴输出S=﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．从甲乙两个城市分别随机抽取15台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m1，m2，则（　　）‎ A．＜，m1＜m2 B．＜，m1＞m2‎ C．＞，m1＞m2 D．＞，m1＜m2‎ ‎【考点】茎叶图．‎ ‎【分析】利用茎叶图，分别求出甲乙两组数据的平均数和中位数，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解： =（5+6+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43）≈22.5，‎ m1=22，‎ ‎=（10+12+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48）≈29.3．‎ m2=31．‎ ‎∴＜，m1＜m2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知两定点A（﹣3，5），B（2，15），动点P在直线3x﹣4y+4=0上，则|PA|+|PB|的最小值为（　　）‎ A．5 B． C．15 D．5+10‎ ‎【考点】两点间的距离公式．‎ ‎【分析】设点A（﹣3，5）关于直线3x﹣4y+4=0的对称点A′（m，n）．利用轴对称的性质可得，解得A′．连接A′B与直线相交于点P，则|PA|+|PB|的最小值为|A′B|．利用两点间的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设点A（﹣3，5）关于直线3x﹣4y+4=0的对称点A′（m，n）．‎ 则，‎ 解得即A′（3，﹣3）．‎ 连接A′B与直线相交于点P，则|PA|+|PB|的最小值为|A′B|==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：‎ ‎①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；‎ ‎②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；‎ ‎③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；‎ 则肯定进入夏季的地区有（　　）‎ A．①②③ B．①③ C．②③ D．①‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．‎ ‎【解答】解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，‎ 根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．‎ 其连续5天的日平均温度均不低于22． ‎ ‎②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定．‎ ‎③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．如22，25，25，26，32 这组数据的均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对；‎ 则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）‎ ‎【考点】两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点（0，﹣2）的直线与线段AB无公共点，作出图象，由图求解即可．‎ ‎【解答】解：直线ax+y+2=0恒过点M（0，﹣2），‎ 且斜率为﹣a，‎ ‎∵kMA==﹣，‎ kMB==，‎ 由图可知：﹣a＞﹣且﹣a＜，‎ ‎∴a∈（﹣，），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】结合互斥事件和对立事件的定义，即可得出结论 ‎【解答】解：根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件．‎ 但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件．‎ 故选：A ‎　‎ ‎9．将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，则甲、乙被分到同一个班的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】先求出将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人的基本事件总数，再求出甲、乙被分到同一个班包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙被分到同一个班概率．‎ ‎【解答】解：将甲、乙、丙三位新同学分到2个不同的班级，每班至少1人，‎ 基本事件总数n=，‎ 甲、乙被分到同一个班包含的基本事件个数m=，‎ ‎∴甲、乙被分到同一个班概率p===．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，则△ABO的面积的最小值为（　　）‎ A．6 B．12 C．24 D．18‎ ‎【考点】直线的截距式方程．‎ ‎【分析】设出直线方程的截距式，代入P得坐标，然后利用基本不等式求得ab的最小值，则△ABO的面积的最小值可求．‎ ‎【解答】解：直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，‎ 设直线方程为： （a＞0，b＞0），‎ ‎∵直线l过点P（3，2），‎ 则：，‎ 由1=≥，‎ 得：ab≥24，‎ ‎∴△ABO面积S=≥12，当且仅当，即a=6，b=4时取等号．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．对任意实数λ，直线l1：x+λy﹣m﹣λn=0与圆C：x2+y2=r2总相交于两不同点，则直线l2：mx+ny=r2与圆C的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由直线l1的方程可得它经过定点（m，n），结合条件可得点（m，n）在圆C的内部，故有 m2+n2＜r2．再求得点C到直线l2的距离为d＞半径r，可得直线l2与圆C的位置关系是相离．‎ ‎【解答】解：由直线l1：x+λy﹣m﹣λn=0 即 （x﹣m）+λ（y﹣n）=0，显然直线l1：经过定点（m，n）．‎ 再根据l1与圆C：x2+y2=r2总相交于两不同点，可得点（m，n）在圆C的内部，∴m2+n2＜r2．‎ 再根据点C到直线l2的距离为d==＞=r，‎ 故直线l2：mx+ny=r2与圆C的位置关系是 相离，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1， •=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　）‎ A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．‎ ‎【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1， •=0，‎ 不妨令=（1，0），=（0，1），‎ 则=（+）=（，），‎ ‎=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），‎ 故P点的轨迹为单位圆，‎ Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：‎ 以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，‎ 若C∩Ω为两段分离的曲线，‎ 则单位圆与圆环的内外圆均相交，‎ 故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，‎ ‎∵|OQ|=2，‎ 故1＜r＜R＜3，‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．已知x与y之间的几组数据如表：‎ x ‎ 3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ 6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+＜“m“：math xmlns：dsi='http://www．dessci．com/uri/2003/MathML'dsi：zoomscale='150'dsi：_mathzoomed='1'style='CURSOR：pointer； DISPLAY：inline﹣block'＞a^，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为y=bx+a，则　＜　b，　＞　a．（填“＞”或“＜”）‎ 附：回归直线方程=x+中： =， =﹣．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求，值，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得a，b，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由系数公式可知， =4.5， =3.5，‎ 由于参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，‎ ‎∴==0.7，‎ ‎=3.5﹣0.7×4.5=0.35，‎ 根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得b=1，a=﹣1，‎ ‎∴＜b，＞a，‎ 故答案为：＜；＞．‎ ‎　‎ ‎14．已知直线x+a2y+6=0与直线（a﹣2）x+3ay+2a=0平行，则a的值为　0或﹣1　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】讨论直线的斜率是否存在，然后根据两直线的斜率都存在，则斜率相等建立等式，解之即可．‎ ‎【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，‎ 它们的方程分别是x=﹣6，x=0，显然两直线是平行的．‎ 当a≠0时，两直线的斜率都存在，故有斜率相等，‎ ‎∴﹣=，‎ 解得：a=﹣1，‎ 综上，a=0或﹣1，‎ 故答案为：0或﹣1．‎ ‎　‎ ‎15．有下列四个命题：‎ ‎①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；‎ ‎②“相似三角形的周长相等”的否命题；‎ ‎③“若b≤﹣1，则方程x2﹣2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“若A∪B=B，则A⊇B”的逆否命题．‎ 其中真命题是　①③　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】写出原命题的逆命题，可判断①；写出原命题的否命题，可判断②；判断原命题的真假，结合互为逆否的两个命题真假性相同，可判断③④．‎ ‎【解答】解：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy=1”，故①为真命题；‎ ‎②“相似三角形的周长相等”的否命题为“不相似三角形的周长不相等”，故②为假命题；‎ ‎③“若b≤﹣1，则△=4b2﹣4（b2+b）=﹣4b≥4，则方程x2﹣2bx+b2+b=0有实根”为真命题，故其逆否命题为真命题；‎ ‎④“若A∪B=B，则A⊇B”为假命题，故其逆否命题为假命题．‎ 故答案为：①③‎ ‎　‎ ‎16．a，b，c，d四封不同的信随机放入A，B，C，D四个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中a没有放入A中的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】由排列组合的知识可得总的投放方法有=24种，其中a放入A中的有=6种方法，由概率公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得总的投放方法有=24种，‎ 其中a放入A中的有=6种方法，‎ ‎∴所求概率P=1﹣=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）；第二组[160，165）；…；第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．‎ ‎（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数及平均身高；‎ ‎（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；‎ ‎（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|x﹣y|≤5”的事件的概率．‎ ‎【考点】概率的应用；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图可得前五组频率，进而可得后三组频率和人数，又可得后三组的人数，可得平均身高；‎ ‎（2）易得后三组的，可得频率分布直方图；‎ ‎（3）身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，列举可得总的基本事件共15种情况，事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，由概率公式可得．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图得前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，‎ 后三组频率为1﹣0.82=0.18，人数为0.18×50=9，‎ ‎∴学校高三年级全体男生身高在180 cm以上（含180 cm）的人数为800×0.18=144，‎ 由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，‎ 设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m=7﹣m，‎ 又由等差数列可得m+2=2（7﹣m），解得m=4，‎ ‎∴第六组人数为4，第七组人数为3，‎ ‎∴平均身高为≈186.4‎ ‎（2）由（1）可得第八组频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2，‎ 第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别等于0.08，0.06．‎ 分别等于0.016，0.012．其完整的频率分布直方图如图．‎ ‎（3）由（2）知身高在[180，185）内的人数为4，设为a、b、c、d，‎ 身高在[190，195]内的人数为2，设为A、B，‎ 若x，y∈[180，185）时，有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种情况；‎ 若x，y∈[190，195]时，有AB共1种情况；‎ 若x，y分别在[180，185）和[190，195]内时，有aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共8种情况．‎ ‎∴基本事件总数为6+1+8=15，事件“|x﹣y|≤5”所包含的基本事件个数有6+1=7，‎ ‎∴P（|x﹣y|≤5）=．‎ ‎　‎ ‎18．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线BE所在直线方程为2x+y﹣3=0‎ ‎（1）求直线AB的方程；‎ ‎（2）求直线BC的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程．‎ ‎【分析】（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；‎ ‎（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；‎ ‎【解答】解：（1）∵AB边上的高CD所在直线方程为x+2y﹣4=0，其斜率为，‎ ‎∴直线AB的斜率为2，且过A（0，1）‎ 所以AB边所在的直线方程为y﹣1=2x，‎ 即2x﹣y+1=0；‎ ‎（2）联立直线AB和BE的方程：，‎ 解得：，‎ 即直线AB与直线BE的交点为B（，2），‎ 设C（m，n），则AC的中点D（，），‎ 由已知可得，‎ 解得：，‎ ‎∴C（2，1），‎ BC边所在的直线方程为，‎ 即2x+3y﹣7=0．‎ ‎　‎ ‎19．某地汽车站在6：00～6：10内任何时刻发出第1班车，在6：10～6：20任何时刻发出第2班车，某人在6：00～6：20的任何时刻到达车站是等可能的，求此人乘坐前2班车的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】根据题意，利用对立事件的概率，求出坐不到第1、第2班车的概率，再求能乘坐前2班车的概率．‎ ‎【解答】解：坐不到车的话只能在6：10～6：20，‎ 概率为=； ‎ 在这段时间坐不到第2班车的概率为；‎ 故坐不到第1、第2班车的概率为×=；‎ 所以此人乘坐前2班车的概率为P=1﹣=．‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．‎ ‎（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值；‎ ‎（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】（1）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为，由此解得m=4．‎ ‎（2）假设存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心 C（1，2），半径r=1，由此利用圆心C（1，2）到直线l：x﹣2y+c=0的距离，能求出c的范围．‎ ‎【解答】解：（1）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，‎ 圆心 C（1，2），半径，‎ 则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离为：‎ ‎…‎ 由于，则，‎ 有，‎ ‎∴，解得m=4．…‎ ‎（2）假设存在直线l：x﹣2y+c=0，‎ 使得圆上有四点到直线l的距离为，…‎ 由于圆心 C（1，2），半径r=1，‎ 则圆心C（1，2）到直线l：x﹣2y+c=0的距离为：‎ ‎，…‎ 解得．…‎ ‎　‎ ‎21．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切 ‎（1）求圆O的方程 ‎（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．‎ ‎【考点】圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用．‎ ‎【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，‎ 即．‎ 得圆O的方程为x2+y2=4．‎ ‎（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．‎ 设P（x，y），‎ 由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，‎ 两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，‎ 化简整理可得，x2﹣y2=2．‎ ‎=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．‎ 由于点P在圆O内，故 由此得y2＜1．‎ 所以的取值范围为[﹣2，0）．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；函数与方程的综合运用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），‎ 根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，‎ 则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；‎ ‎（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），‎ ‎∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，‎ 代入=+得： =+，‎ 即=+=，‎ 由（*）得到x1+x2=，x1x2=，‎ 代入得： =，即m2=，‎ ‎∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，‎ 由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），‎ 根据题意得点Q在圆内，即n＞0，‎ ‎∴n==，‎ 则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．‎ ‎　‎ ‎2017年1月10日