黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题

哈师大附中2017级高二学年下学期开学考试试卷 理 科 数 学 ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1. 抛物线的准线方程为，则实数的值为（ ）‎ A.8 B.-8 C. D.‎ ‎2. 下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3．分别写有数字1,2,3,4,的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A相连，则弦长超过半径的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则¬p为(　　)‎ A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n>1000 C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n<1000 ‎ ‎6.4位二进制数，能表示的最大的十进制数是（ ）‎ A.3 B.4 C.15 D.63‎ ‎7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 后，输出的 ，那么 的值为 ‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲乙下成和棋的概率为（ ）‎ A．50% B．30% C．10% D．60%‎ ‎9. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为 ，乙组数据的平均数为 ，则 的值分别为 ‎ A.2,5 B. 5,5 C.5,8 D.8,8‎ ‎10．三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是（ ）‎ A. 288 B. 240 C. 144 D. 72‎ ‎11.已知双曲线 ：（，）的渐近线与相切，则双曲线的离心率是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知直线和直线，若抛物线上的点到直线和的距离之和的最小值为2，则抛物线C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）‎ ‎13.将参加2012年7月21日北京抗洪的1000名群众编号如下：0001,0002,0003，…1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002，…0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则被抽取的第41个号码为_____________.‎ ‎14.若 的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母且的次数为1的项的系数为________________.‎ ‎15. 已知抛物线 ： 与点，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两点，若 ，则  ．‎ ‎16. 过点 作斜率为 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率等于  ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 已知曲线的极坐标方程是，在以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线所有点的横坐标都伸长为原来的3倍，得到曲线．‎ ‎（1）求曲线的参数方程；‎ ‎（2）直线过点，倾斜角为，与曲线交于两点，求的值．‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 某种产品的广告费用支出 万元与销售额 万元之间有如下的对应数据：‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ 其中：参考公式： ，，‎ 参考数据：，‎ ‎（2）据此估计广告费用为 万元时，所得的销售收入．‎ ‎ ‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 某家庭记录了使用了节水龙头 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： ‎ ‎（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 天的日用水量数据的频率分布直方图：‎ ‎（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 的概率；‎ ‎ ‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 如图，已知点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线 上存在不同的两点 ， 满足 ， 的中点均在 上．‎ ‎（1）设 中点为 ，证明： 垂直于 轴；‎ ‎（2）若 是半椭圆 上的动点，求 面积的取值范围．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若P为椭圆C上不同与点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q，问：是否存在点P，使得？若存在，求出直线AP的斜率．‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，焦距为 ．‎ ‎（1）求椭圆 的方程．‎ ‎ （2）如图，该直线 交椭圆 于 ， 两点， 是椭圆 上的一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ，， 是 的两条切线，切点分别为 ，，求 的最大值，并求取得最大值时直线的斜率．‎ ‎ ‎ 哈师大附中2017级高二学年下学期开学考试 文 科 数 学 答 案 ‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A B A D B C D C C C D ‎13. 0215‎ ‎14. 1‎ ‎15. 2‎ ‎16. ‎ ‎17.（1） 因为直线 的参数方程为 （为参数）．‎ 所以直线 的普通方程是 ，‎ 曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程是 ，‎ 依题意直线 与圆 相切，则 ， ………………………5分 解得 或 ，因为 ，所以 ．‎ ‎ （2） 如图，不妨设 ，，则 ，，‎ ‎ ‎ 所以，即， 时，最大值是 …………10分 ‎18.（1） ，，………………2分 ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，………………………4分 ‎ ，………………………6分 因此回归直线方程为 ； ………………………8分 ‎ （2） 当 时，预计 的值为 ． ‎ 故广告费用为 万元时，所得的销售收入大约为 万元． ………………………12分 ‎ ‎ ‎19. （1） 利用组中值估算抽样学生的平均分：‎ ‎ ‎ 估计这次考试的平均分是 分． ………………………6分 ‎ （2） 从 中抽取 个数全部可能的基本结果有 ，共 个． ………………………8分 如果这 个数恰好是两个学生的成绩，则这 个学生在 段，而 的人数是 人，设这 人的成绩是 ，则事件 ：" 个数恰好是两个学生的成绩"包括的基本结果有 ，共有 个．………………………10分 所以所求的概率为 ………………………12分 ‎20. （1） ………………………4分 ‎（2） ………………………5分 ‎ ‎ 当且仅当即时取=号 即 所以时, ………………………12分 ‎21.(1)椭圆左顶点在圆上，所以，且离心率为，所以椭圆方程为. ………4分 ‎（2）设点，设直线AP的方程为 与椭圆方程联立得，得到 ………………………5分 因为-4为其中一个根，所以，所以，‎ 因为圆心到直线AP的距离为， 所以 ………………………9分 因为，所以………………………10分 所以，解得，所以直线AP斜率为.………………………12分 ‎22. （1） 由题意知， 所以椭圆 的方程为 ； …………………4分 ‎ （2） …………………5分 ‎ …………………6分 存在定点，使得，则点必在轴上 ‎ ………………………12分 ‎ ‎．‎