数学卷·2018届河北省唐山市开滦二中高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届河北省唐山市开滦二中高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年河北省唐山市开滦二中高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题，共60分 ‎1．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且==，则（　　）‎ A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH相交 D．EH与FG相交 ‎3．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ‎ ‎②若a∥b，a∥c，则b∥c；‎ ‎③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ‎ ‎④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎5．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（　　）‎ A．a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β B．α内有三个不共线点A、B、C到β的距离相等 C．a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β D．α、β都平行于直线a、b ‎6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（　　）‎ A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4‎ ‎7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 ‎9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1D与BC1所成的角为，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 ‎11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（　　）‎ A． B．8π C．9π D．‎ ‎12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π ‎　‎ 二.填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小是　　．‎ ‎14．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长　　cm．‎ ‎15．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为　　．‎ ‎16．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（写出必要的文字说明和计算过程）‎ ‎17．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．‎ ‎18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．‎ ‎（1）求证：AD1⊥平面A1DC；‎ ‎（2）求MN与平面ABCD所成的角．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：‎ ‎（1）PA⊥底面ABCD；‎ ‎（2）平面BEF∥平面PAD；‎ ‎（3）平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，M为A1B1的中点，N是AC1与A1C的交点．‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；‎ ‎（Ⅱ）求证：MN⊥平面ABC1．‎ ‎21．如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4，AB=2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；‎ ‎（Ⅱ）求证：AM⊥平面BCM；‎ ‎（Ⅲ）求点F到平面BCE的距离．‎ ‎22．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．‎ ‎（1）求证：M、N、P、Q四点共面；‎ ‎（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；‎ ‎（3）求异面直线BE与MQ所成的角．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省唐山市开滦二中高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题，共60分 ‎1．将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】根据三视图的特点，知道俯视图从图形的上边向下边看，看到一个正方形的底面，在底面上有一条对角线，对角线是由左上角都右下角的线，得到结果．‎ ‎【解答】解：俯视图从图形的上边向下边看，‎ 看到一个正方形的底面，‎ 在度面上有一条对角线，‎ 对角线是由左上角到右下角的线，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．如图，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且==，则（　　）‎ A．EF与GH互相平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH相交 D．EH与FG相交 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据比例关系和中位线证明出四边形EFHG是梯形，则两腰一定相交于一点．‎ ‎【解答】解：∵==，‎ ‎∴FG∥DB，且FG=BD，‎ ‎∵E、H分别是AB、AD的中点，‎ ‎∴EH∥BD，且EH=BD，‎ ‎∴四边形EFGH是梯形，‎ ‎∴EF、GH相交于一点．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式 即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，‎ 其底面底边长为3，底边上的高为： =，‎ 故底面积S=3×=3，‎ 又因为棱柱的高为3，‎ 故V=3×3=9，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ‎ ‎②若a∥b，a∥c，则b∥c；‎ ‎③若a∥γ，b∥γ，则a∥b； ‎ ‎④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．‎ 其中真命题的序号是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．‎ ‎【解答】解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，‎ ‎①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；‎ ‎②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；‎ ‎③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；‎ ‎④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（　　）‎ A．a、b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β B．α内有三个不共线点A、B、C到β的距离相等 C．a、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β D．α、β都平行于直线a、b ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】排除法，逐一检验答案，把不能推出α∥β的答案排除掉．‎ ‎【解答】解：A对，过直线b作平面γ交平面α于直线c ‎∵b∥平面α，∴b∥c ‎∵b∥平面β，c⊄平面β，∴c∥平面β ‎∵a，b是异面直线，∴a，c是异面直线，‎ 在c上取一点A，过点A在平面α内作直线a′∥a，‎ 则a′∥β，a′⊂平面α，c⊂平面α，‎ ‎∴平面α∥平面β．‎ B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；‎ C错，若a∥b，则不能断定α∥β；‎ D错，若a∥b，则不能断定α∥β．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（　　）‎ A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．‎ ‎【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1，‎ ‎（5.4﹣x）×3×1+π•（ 2）2x=12.6，x=1.6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．‎ ‎【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，‎ 则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．‎ 设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，‎ 而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，‎ 解出R=5，‎ ‎∴根据球的体积公式，该球的体积V===．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，‎ ‎∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，‎ 从而A，B，C正确．‎ ‎∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，‎ ‎∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，‎ 故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1D与BC1所成的角为，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】根据已知中长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1D与BC1所成角为90°，易判断这是一个棱长为2的正方体，设 O为B1D1的中点，证明C1O⊥平面 BB1D1D，得出∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成角，解三角形∠C1BO即可得到直线BC1与平面BB1D1D所成角的大小．‎ ‎【解答】解：因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2 ‎ ‎∴上下底面为正方形 又∵BC1∥AD1，A1D与BC1所形成的角为90°，‎ ‎∴A1D与AD1所成的角为90°，‎ ‎∴AA1D1D为正方形，‎ ‎∴ABCD﹣A1B1C1D1为正方体 设 O为B1D1的中点，则由C1O⊥B1D1，C1O⊥B1B，‎ 得出C1O⊥平面 BB1D1D 连接BO，则∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成角 ‎∵BC1=2； C1O=‎ ‎∴sin∠C1BO=‎ ‎∠C1BO=30°‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 ‎【考点】异面直线的判定．‎ ‎【分析】N是A1B1上的动点，O是底面正方形ABCD的中心，确定平面A1B1O，判定MA与平面A1B1O的关系，即可判定直线NO、AM的位置关系．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，‎ M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，连接A1O，B1O，不难证明AM⊥平面A1B1O，‎ 所以直线NO⊥AM，因为它们不相交．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（　　）‎ A． B．8π C．9π D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径，即可求出该几何体外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：该几何体为三棱锥A﹣BCD，‎ 设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，‎ 依题意，‎ ‎∴球的半径，‎ ‎∴该几何体外接球的表面积为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图，得；‎ 该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，‎ 半圆柱的底面半径为2，高为4，‎ ‎∴半圆柱的体积为：×π•22×4=8π；‎ 长方体的长宽高分别为4，2，2，‎ ‎∴长方体的体积为4×2×2=16，‎ ‎∴该几何体的体积为V=16+8π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二.填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，则异面直线AB1和A1C所成的角的余弦值大小是　　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】延长BA到D，使AD=AB，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1C就是异面直线AB1和A1C所成的角，解三角形A1DC，利用余弦定理可求得此角的余弦值．‎ ‎【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1B1为平行四边形，‎ ‎∴AB1∥A1D，‎ ‎∴∠DA1C就是异面直线AB1和A1C所成的角，‎ 又三角形ABC为等边三角形，设AB=AA1=1，∠CAD=120°‎ 则CD==；A1C=A1D=，‎ 在△A1CD中，cos∠DA1C==．‎ 故答案是：．‎ ‎　‎ ‎14．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长　9　cm．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱台的结构特征．‎ ‎【分析】设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．‎ ‎【解答】解：如图，设圆台的母线长为y，‎ 小圆锥底面与被截的圆锥底 面半径分别是x、4x，‎ 根据相似三角形的性质得．‎ 解此方程得y=9．‎ 所以圆台的母线长为9cm．‎ ‎　‎ ‎15．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为　a　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．‎ ‎【解答】解：连接A1C、MC可得：‎ S△CMD=S ABCD=a2，‎ ‎△A1DM中，A1D=a，A1M=MD=a，‎ ‎∴S△A1MD=A1M•MDsinA 1MD=a，‎ 三棱锥的体积：V A1﹣MCD=V C﹣A1DM 所以 S△MCD×AA1=S△AD1M×d （设d是点C到平面A1DM的距离），‎ ‎∴d=a．‎ 故答案为a．‎ ‎　‎ ‎16．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是　30+6　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．‎ ‎【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD 底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4‎ 侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3‎ 侧面△ACD中，AC==5‎ ‎∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC ‎∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD ‎∵BC⊥CD，AE∩BC=E ‎∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC 因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，‎ ‎∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==‎ 由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6‎ 又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10‎ ‎∴三棱锥的表面积是S表=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6‎ 故答案为：30+6‎ ‎　‎ 三.解答题（写出必要的文字说明和计算过程）‎ ‎17．如图所示，在边长为的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】利用图形求得圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，代入圆锥的表面积公式与体积公式计算．‎ ‎【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，‎ 由已知条件，‎ 解得，，，‎ ‎∴S=πrl+πr2=10π，‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎18．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．‎ ‎（1）求证：AD1⊥平面A1DC；‎ ‎（2）求MN与平面ABCD所成的角．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）利用正方体中的棱与面的关系可得CD⊥平面ADD1A1，进一步得到CD⊥AD1，再结合AD1⊥A1D，运用线面垂直的判定得答案；‎ ‎（2）由已知MN⊥平面A1DC结合（1）的结论可得AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，进一步可得∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，则答案可求．‎ ‎【解答】（1）证明：由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，得CD⊥平面ADD1A1，‎ AD1⊂平面ADD1A1，‎ ‎∴CD⊥AD1，‎ 又AD1⊥A1D，且A1D∩CD=D，‎ ‎∴AD1⊥平面A1DC；‎ ‎（2）解：∵MN⊥平面A1DC，‎ 又由（1）知AD1⊥平面A1DC，‎ ‎∴MN∥AD1，‎ ‎∴AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，‎ ‎∵D1D⊥平面ABCD，‎ ‎∴∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，‎ 由正方体可知，‎ ‎∴MN与平面ABCD所成的角为．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：‎ ‎（1）PA⊥底面ABCD；‎ ‎（2）平面BEF∥平面PAD；‎ ‎（3）平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）平面PAD⊥底面ABCD，由此能证明PA⊥底面ABCD．‎ ‎（2）由已知得ABCD是平行四边形，从而AD∥BE，由三角形中位线定理得EF∥PD，由此能证明平面BEF∥平面PAD．‎ ‎（3）由BE⊥CD，AD⊥CD，得PA⊥CD，从而CD⊥PD，再推导出PD∥EF，由此能证明平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎【解答】证明：（1）∵平面PAD⊥底面ABCD，‎ 且PA垂直于这两个平面的交线AD，‎ ‎∴PA⊥底面ABCD．‎ ‎（2）∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，‎ ‎∴AB∥DE，且AB=DE，‎ ‎∴ABCD是平行四边形，∴AD∥BE，‎ ‎∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，‎ ‎∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，‎ ‎∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，‎ ‎∵BF∩BE=B，AD∩PD=D，‎ ‎∴平面BEF∥平面PAD．‎ ‎（3）∵AB⊥AD，ABED是平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，‎ 由（1）知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，‎ ‎∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，‎ ‎∴CD⊥EF，∴CD⊥平面BEF，‎ ‎∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎　‎ ‎20．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=BB1，M为A1B1的中点，N是AC1与A1C的交点．‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；‎ ‎（Ⅱ）求证：MN⊥平面ABC1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明线面平行，只需证明MN平行于平面BCC1B1内的一条直线，利用三角形的中位线可证；‎ ‎（Ⅱ）由B1C⊥BC1．则AB⊥平面BCC1B1，B1C⊥AB，则B1C⊥平面ABC1，则MN∥B1C，即可证明MN⊥平面ABC1．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B1C，由M，N分别为A1B1，A1C的中点，‎ ‎∴MN∥B1C，‎ 由MN⊄平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴MN∥平面BCC1B1，‎ ‎（Ⅱ）证明：∵在直三棱柱中BC=BB1，‎ ‎∴侧面BCC1B1为正方形，则B1C⊥BC1．‎ ‎∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1=B，‎ BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴AB⊥平面BCC1B1．‎ ‎∵B1C⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴B1C⊥AB，‎ ‎∵AB∩BC1=B，‎ ‎∴B1C⊥平面ABC1，‎ ‎∵MN∥B1C，‎ ‎∴MN⊥平面ABC1．‎ ‎　‎ ‎21．如图，四边形ABEF是等腰梯形，AB∥EF，AF=BE=2，EF=4，AB=2，ABCD是矩形．AD⊥平面ABEF，其中Q，M分别是AC，EF的中点，P是BM中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCE；‎ ‎（Ⅱ）求证：AM⊥平面BCM；‎ ‎（Ⅲ）求点F到平面BCE的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据AB∥EM，且AB=EM，推断出四边形ABEM为平行四边形，连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，进而可推断PQ是的中位线，可知PQ∥CE．最后根据线面平行的判定定理推断出PQ∥平面BCE．‎ ‎（Ⅱ）AD⊥平面ABEF，推断出BC⊥平面ABEF，进而可知BC⊥AM，等腰梯形ABEF中由AF=BE=2，，‎ 可求得∠BEF，BM，进而可知AB2=AM2+BM2推断出AM⊥BM进而根据BC∩BM=B，推断出AM⊥平面BCM．‎ ‎（Ⅲ）根据EM2=BE2+BM2，推断出MB⊥BE，又MB⊥BC，BC∩BE=B，根据线面垂直的判定定理推断出MB⊥平面BCE，进而根据d=2MB求得答案．．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵AB∥EM，且AB=EM，‎ ‎∴四边形ABEM为平行四边形，‎ 连接AE，则AE过点P，且P为AE中点，又Q为AC中点，‎ ‎∴PQ是的中位线，于是PQ∥CE．‎ ‎∵CE⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，‎ ‎∴PQ∥平面BCE．‎ ‎（Ⅱ）∵AD⊥平面ABEF，‎ ‎∴BC⊥平面ABEF，‎ ‎∴BC⊥AM 等腰梯形ABEF中由AF=BE=2，，‎ 可得∠BEF=45°，BM=AM=2，‎ ‎∴AB2=AM2+BM2‎ ‎∴AM⊥BM 又BC∩BM=B，∴AM⊥平面BCM．‎ ‎（Ⅲ）点F到平面BCE的距离是M到平面BCE的距离的2倍，‎ ‎∵EM2=BE2+BM2，‎ ‎∴MB⊥BE，‎ 又MB⊥BC，BC∩BE=B ‎∴MB⊥平面BCE，‎ ‎∴d=2MB=4．‎ ‎　‎ ‎22．已知：如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q．‎ ‎（1）求证：M、N、P、Q四点共面；‎ ‎（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；‎ ‎（3）求异面直线BE与MQ所成的角．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；空间图形的公理；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）要证四点共线，只需找到一个平面，是这四个点在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出；‎ ‎（2）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件．‎ ‎（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可．‎ ‎【解答】（1）证明：由条件有PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线，‎ ‎∴PQ∥DE，MN∥DE，‎ ‎∴PQ∥MN ‎∴M、N、P、Q四点共面．…‎ ‎（2）证明：由等腰直角三角形ABC有AD⊥DE，CD⊥DE，DE∥BC 又AD∩CD=D，‎ ‎∴DE⊥面ACD，‎ 又DE∥BC ‎∴BC⊥平面ACD，‎ ‎∵BC⊂平面ABC，‎ ‎∴平面ABC⊥平面ACD…‎ ‎（3）解：由条件知AD=1，DC=1，BC=2，‎ 延长ED到R，使DR=ED，连结RC …‎ 则ER=BC，ER∥BC，故BCRE为平行四边形 …‎ ‎∴RC∥EB，又AC∥QM ‎∴∠ACR为异面直线BE与QM所成的角θ（或θ的补角）…‎ ‎∵DA=DC=DR，且三线两两互相垂直，‎ ‎∴由勾股定理得AC=AR=RC=，…‎ ‎∵△ACR为正三角形，‎ ‎∴∠ACR=60°，‎ ‎∴异面直线BE与QM所成的角大小为60°．…‎ ‎　‎