2018-2019学年上海市晋元高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市晋元高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年上海市晋元高级中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．，若，则可取的值有 A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】C ‎【解析】由得到或，解出的值后分别代入集合进行验证即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由，，得：或，‎ 若，解得，此时；‎ 若，解得，此时；.‎ 综上，可取的值有个.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合中元素的特征，属于基础题.‎ ‎2．若，则下列不等式不能成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；‎ 选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；‎ 选项C：由于，所以，所以，所以成立；‎ 选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等关系和不等式，属于基础题.‎ ‎3．已知，，，且都不为零，则“”是“与解集相同”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 若，取，，则与的解集不同，所以“”不是“与解集相同”的充分条件；‎ 若，，，且都不为零，且与的解集相同，此时必有，所以成立，所以“”是“与解集相同”的必要条件.‎ 综上，“”是“与解集相同”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于常考题.‎ ‎4．定义，已知函数、的定义域都是，则下列四个命题中为真命题的是 ‎①若、都是奇函数，则函数为奇函数：‎ ‎②若、都是偶函数，则函数为偶函数；‎ ‎③若、都是增函数，则函数为增函数；‎ ‎④若、都是减函数，则函数为减函数．‎ A．②③④ B．③④ C．②④ D．①②③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的奇偶性和单调性分别对四个选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎①若、都是奇函数，则函数不一定为为奇函数，如与，故为假命题；‎ ‎②若、都是偶函数，则函数为偶函数，故为真命题；‎ ‎③若、都是增函数，则函数为增函数，故为真命题；‎ ‎④若、都是减函数，则函数为减函数，故为真命题．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎5．已知集合，，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据交集的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集及其求法，属于基础题.‎ ‎6．一元二次不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 解得或，‎ 故不等式的解集是或．‎ ‎7．已知集合，集合，且是的真子集，则实数_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由是的真子集知，，解得的值即可.‎ ‎【详解】‎ 是的真子集，‎ ‎，即，‎ 解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查真子集的概念，属于基础题.‎ ‎8．已知命题“若且，则”，那么它的逆命题为_________．‎ ‎【答案】“若，则且”‎ ‎【解析】根据逆命题的定义直接写出即可.‎ ‎【详解】‎ 命题“若且，则”的逆命题为“若，则且”.‎ 故答案为：“若，则且”.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查逆命题的定义，属于基础题.‎ ‎9．已知函数，函数，那么它们的积函数_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题中所给积函数的定义直接写出答案即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的定义及其求法，属于基础题.‎ ‎10．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用二次函数的对称轴，确定单调区间与对称轴之间的关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的对称轴为，‎ 则函数在区间上单调递减，‎ 所以要使函数在区间上单调递减，‎ 则有：，解得，‎ 所以实数的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的应用以及二次函数的性质，属于基础题.‎ ‎11．若函数是偶函数，定义域为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为函数是偶函数，则，即，且，解得，所以.‎ ‎【考点】函数的奇偶性及其应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到函数的定义域、一元二次函数的奇偶性及其应用，二次函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与应用意识，本题的解答中根据二次函数的性质，应用函数的奇偶性是解得的关键，试题比较基础，属于基础题.‎ ‎12．若不等式对一切成立，则的取值范围是 _ _ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当，时不等式即为 ，对一切恒成立 ① 当时，则须 ，∴② 由①②得实数的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质，注意对二次项系数是否为0进行讨论；当，时不等式即为，对一切恒成立，当时 利用二次函数的性质列出满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围.‎ ‎13．已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】试题分析：∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，‎ ‎∴．‎ ‎【考点】函数的奇偶性．‎ ‎14．若，，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将式子适当变形后，利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎，，且，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是对式子进行适当变形，从而利用基本不等式求最值，属于常考题.‎ ‎15．关于的不等式的解集为，对于系数、、，有如下结论：‎ ‎①；②；③；④；⑤．‎ 其中正确的结论的序号是______．‎ ‎【答案】③⑤‎ ‎【解析】根据不等式解集的特征及不等式的解与对应方程的关系可得满足的条件，从而可得正确的选项．‎ ‎【详解】‎ 因为的不等式的解集为，‎ 所以且的两个根为，‎ 所以，所以．‎ 故，‎ 故填③⑤．‎ ‎【点睛】‎ 一元二次不等式的解、一元二次方程及一元二次函数的之间的关系是：‎ ‎（1）一元二次不等式的解集的端点是对应方程的根；‎ ‎（2）一元二次不等式的解集的端点是对应函数的零点；‎ 解题中注意它们之间的联系．‎ ‎16．某学习小组在研究问题：“已知关于的不等式的解集是，解关于x的不等式”．提出如下解决方案：‎ ‎，不等式两边同除得：，令，则，所以不等式的解集为，即不等式的解集为．参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先认真分析题目所给解答的方法，然后按照所给定义解答即可.‎ ‎【详解】‎ 关于的不等式的解集为，‎ 用替换得：，‎ 所以有，解之得：或.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理及不等式的解法，解题关键是用替换，从而得到，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集，集合，集合，集合，﹐求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出和的并集在全集之下的补集，然后再根据子集的定义，列出不等式求出的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 显然，‎ 故 ，‎ 要使成立，须满足：或，‎ 解之得，或，‎ 综上，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集、并集、补集的综合运算，考查子集的定义，考查逻辑思维能力，属于常考题.‎ ‎18．已知且，试比较与的大小．‎ ‎【答案】当且时，；当时，，当时，.‎ ‎【解析】将两式作差后得：，分类讨论的范围，得到两式的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎①当且时，，‎ ‎②当时，，‎ ‎③当时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用作差法比较代数式大小的问题，解题关键是当作差后符号不能确定时，应分类讨论，属于常考题.‎ ‎19．已知关于的一元二次方程.‎ ‎(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)若方程两根为且满足，求的值．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】(1)方程总有两个不相等的实数根，只需根的判别式即可；(2)由一元二次方程根与系数的关系得到韦达定理，化简，代入韦达定理即可解出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)∵，‎ ‎∴方程有两个不相等的实根．‎ ‎(2)∵，，‎ ‎，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，韦达定理得应用，属于基础题.‎ ‎20．小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量（条）是售价（元）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．‎ ‎（1）试写出围巾销售每日的毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；‎ ‎（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？‎ ‎【答案】（1）；定价为22元或23元（2）25元 ‎【解析】（1）根据题意先求出销售量与售价之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．‎ ‎【详解】‎ 设，∴，解得，b=70，∴．‎ ‎（1）， ‎ ‎∵，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． ‎ ‎（2）设售价x（元）时总利润为z（元），‎ ‎∴ ，‎ ‎ 元，‎ 当时，即时，取得等号，‎ ‎∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.‎ ‎【点睛】‎ 本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）试讨论当取不同值（或范围）时，方程的解个数.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）当或时，方程有一个解；‎ 当或或时，方程有两个解；‎ 当或时，方程有三个解．‎ ‎【解析】（1）对进行分类讨论后，根据函数奇偶性的定义判断即可；‎ ‎（2）由，可得，变为，，方程解的个数问题可以变为函数和图象交点个数的问题，作出图象观察交点个数即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，函数，此时，函数是偶函数；‎ 当时，，，，函数是非奇非偶函数；‎ ‎（2）由，可得， 变为，‎ 令，‎ 在同一坐标系下，作出函数以及的图象，由图象可得： ‎ 当或时，有一个交点，方程有一个解；‎ 当或或时，有两个交点，方程有两个解；‎ 当或时，有三个交点，方程有三个解．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的判断以及函数零点的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，考查数形结合思想，属于中档题.‎