广东省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：极坐标与参数方程

广东省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：极坐标与参数方程

广东省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练 极坐标与参数方程 ‎1、（广州市2018高三一模）已知过点的直线的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线和曲线交于，两点，且，求实数的值．‎ ‎2、（珠海市2019届高三9月摸底考试）在直角坐标系中，直线过定点且与直线垂直．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎(2)设直线与曲线交于二点，求的值．‎ ‎3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；‎ ‎（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.‎ ‎4、（惠州市2019届高三第二次（10月）调研）在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为：（t 为参数，0 £a < p ）， 以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为 r = 6sinq．‎ ‎（1）求曲线C 的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点 P(1,2) ， 设曲线C 与直线l 交于点 A B , ， 求｜PA｜+｜PB｜的最小值．‎ ‎5、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为，的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（1）写出和的普通方程；‎ ‎（2）在上求点，使点到的距离最小，并求出最小值.‎ ‎6、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝ 2p cosθ＋8．‎ ‎ (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且求直线l的倾斜角．‎ ‎7、（揭阳市2019届高三第二次模拟）在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线的极坐标方程为,设与的交点为圆与的交点为,求的面积.‎ ‎8、（湛江市2019届高三调研）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．‎ ‎9、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）在平面直角坐标系中,曲线:(为参数,实数),曲线：‎ ‎(为参数,实数).在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线:(,)与交于两点,与交于两点.当时,；当时,.‎ ‎(Ⅰ) 求,的值； ‎ ‎(Ⅱ) 求的最大值.‎ ‎10、（肇庆市2019届高三上学期期末）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，将直线绕极点逆时针旋转个单位得到直线．‎ ‎ （1）求和的极坐标方程；‎ ‎ （2）设直线和曲线交于两点，直线和曲线交于两点，求的 最大值．‎ ‎11、（珠海市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线1的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线C3的极坐标方程为，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且｜AB｜＝4，求α的值.‎ ‎12、（广州市2019届高三12月调研考试）已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．‎ ‎13、（惠州市2019届高三第三次调研考试）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离．‎ ‎14、（江门市 2019届普通高中高三调研）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）证明：直线与曲线相交于两点，并求点到两点的距离之积．‎ ‎15、（揭阳市2019届高三上学期期末）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.‎ ‎（1）求曲线C和射线的极坐标方程；‎ ‎（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．‎ ‎16、（雷州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 ‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断圆与圆的位置关系．‎ ‎17、（汕头市2019届高三第一次（3月）模拟考试）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）设是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最大值为，求的值；‎ ‎（2）若曲线上任意一点都满足，求的取值范围．‎ ‎18、（广东省2019届高三3月一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线Cl上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若，求k的值．‎ ‎19、（广州市2019届高三3月综合测试（一））在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数)。以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为。‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线有两个不同交点，求a的取值范围。‎ ‎20、（揭阳市2019年高三一模）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（,a为常数），过点、倾斜角为的直线l的参数方程满足，（为参数）． ‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且，求a和的值．‎ 参考答案：‎ ‎1、‎ ‎2、解：‎ ‎(1)曲线的直角坐标方程为………………………………2分 直线的参数方程为 (为参数)．………………………………4分 ‎ (2)设对应的参数分别为………………………………5分 将直线与曲线的方程联立得………………………………6分 则是的二根 则………………………………8分 故同正 ‎．………………………………10分 ‎3、解：（1）由，得到……………………………1分 因为 所以直线普通方程为.………………………………………………………………2分 设，则点到直线的距离 ‎……………………4分 当时，‎ 所以点到直线的距离的最大值为.…………………………………………………5分 ‎（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，‎ 所以对R恒成立，……………………………………………………7分 ‎，其中………………………………8分 从而……………………………………………………………………………9分 由于，解得实数的取值范围是. ……………………………………10分 ‎4、【解析】（1）由得…………1分 化为直角坐标方程为,…………3分 即.…………4分 ‎（2）解法一:将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,‎ 得,…………5分 因为故可设是方程的两根,‎ 所以，…………7分 又直线过点,结合的几何意义得 所以原式的最小值为.…………10分 解法二：由直线过点P（1,2），且点P在圆C内部，…………5分 故,所以当直线与线段CP垂直时，弦AB最短，…………7分 此时P为AB的中点，且,所以原式的最小值为.…………10分 ‎5、解：（1）由：，及，.‎ ‎∴的方程为.‎ 由，，消去得.‎ ‎（2）在上取点，则 ‎.其中，‎ 当时，取最小值.‎ 此时，，.‎ ‎6、（1）解法1：因为直线的参数方程为（为参数），‎ 当时，直线的直角坐标方程为．………………………………………1分 当时，直线的直角坐标方程为．………………………3分 因为，…………………………………………………………4分 因为，所以．‎ 所以的直角坐标方程为．…………………………………5分 解法2：因为直线的参数方程为（为参数），‎ 则有 ………………………………………2分 所以直线的直角坐标方程为 ．……………3分 因为，……………………………………………………4分 因为，所以．‎ 所以的直角坐标方程为．………………………………………5分 ‎（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，‎ 将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．……………6分 因为，可设该方程的两个根为，，‎ 则 ，．………………………………………7分 所以 ‎ ‎．……………………………………………8分 整理得，‎ 故．……………………………………………………………9分 因为，所以或，‎ 解得或 综上所述，直线的倾斜角为或．……………………………………………………10分 解法2：直线与圆交于，两点，且，‎ 故圆心到直线的距离．………………………………6分 ‎①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．…………………………………7分 ‎②当时，直线的方程为．‎ 所以，………………………………………………8分 整理得．‎ 解得．……………………………………………………………………………9分 综上所述，直线的倾斜角为或．………………………………………………………10分 ‎7、解：（1）因为，，-------------------------------------------------------1分 所以的极坐标方程为，即，----------------------------3分 的极坐标方程为. ----------------------------------------------------4分 即----------------------------------------------------------------------------------5分 ‎（2）代入，解得.------------------------------------7分 代入，解得.---------------------------------------------8分 故的面积为.----------------------------------10分 ‎8、解：（Ⅰ）对曲线：，，‎ ‎ ∴曲线的普通方程为．…………………………………………2分 ‎ 对曲线：，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴曲线的直角坐标方程为．……………………………………5分 ‎（Ⅱ）设曲线上的任意一点为， ……………………………6分 ‎ 则点到曲线：的距离 ‎，……………………………8分 当，即时，，此时点的坐标为．‎ ‎…………………………………………………………………10分 ‎9、【解析】(Ⅰ)将化为普通方程为,其极坐标方程为,‎ 由题可得当 时,,所以.………………………………………2分 将化为普通方程为,其极坐标方程为,‎ 由题可得当 时,,所以.…………………………………4分 ‎(Ⅱ)由的值可得,的方程分别为,,‎ 所以, ‎ 因为,所以,‎ 所以当即时,取得最大值为.……………10分 ‎10、解：（1）将的参数方程化为普通方程得，将代入，并化简得的极坐标方程为.‎ 的极坐标方程为 …………4分 ‎（2）依题意可得，即 ‎，即 ‎ …………8分 因为，所以，当时，‎ 取得最大值. …………10分 ‎11、解：由消去参数可得的普通方程为…....2分 即，所以的极坐标方程为………4分 设，则 所以，因为，所以………………..10分 ‎12、解：(1) 依题意，直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为．‎ ‎…………………………………………………2分 由得，‎ 因为，………………………………………3分 所以，………………………………………………………4分 所以曲线的参数方程为（为参数）． ……………………5分 ‎（2）联立得， ……………………………6分 同理，．……………………………………………………………7分 又， ………………………………………………………………………8分 所以， …………………9分 即的面积为． ……………………………………………………………10分 ‎13、（1）消去参数得到， ………………………1分 故曲线的普通方程为 ………………………2分 ‎，由 ……3分（注意：无写出此公式本得分点不给分） ‎ 得到，……4分 即,故曲线的普通方程为.………………………5分 ‎（2）〖解法1〗设点的坐标为，………………………6分 点到曲线的距离，……8分 所以，当时，的值最小，………………………9分 所以点到曲线的最小距离为. ………………………10分 ‎（2）〖解法2〗设平行直线：的直线方程为……………6分 当直线与椭圆相切于点P时，P到直线的距离取得最大或最小值。‎ 由得，……………7分 令其判别式，解得，……8分 经检验，当时，点P到直线的距离最小，最小值为………9分 所以点到曲线的最小距离为. ………………………10分 ‎14、（1）由消去参数得直线的普通方程为 ……2分 由得，曲线的直角坐标方程为 ……4分 ‎（2）方法一　将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得 ‎ ……5分 即 ……7分 ‎，方程有两个不同的根，即直线与曲线相交于两点 ……8分 由参数的几何意义得 ……10分 方法二 由 ……5分 解得 ……8分 ……10分 ‎15、解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，‎ 由，，得，‎ 所以曲线C的极坐标方程为，[或] ------------------------3分 的极坐标方程为；--------------------------------------------------------------------5分 ‎（2）依题意设，则由（1）可得，‎ 同理得，即，---------------------------------------------7分 ‎∴‎ ‎∵∴，∴，-----------------9分 ‎△OAB的面积的最小值为16，此时，‎ 得，∴．--------------------------------------------------------------------------10分 ‎16、解：（Ⅰ）圆的参数方程为，(为参数)，‎ 可得，………………………………………………………………………1分 平方相加转换为直角坐标方程为：．……………………………………2分 由圆的极坐标方程 可得,………………………………………………………………3分 转换为直角坐标方程为：，‎ 即：．…………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的的半径圆心坐标为．‎ 圆的的半径圆心坐标为．…………………………………………………7分 则圆心距 ‎ ‎ ‎ 所以，圆与圆相交．…………………………………………………………………10分 ‎17、解析：（1）依题意得曲线的普通方程为，………………………………1分 因为，所以，因为，‎ 因为直线的直角坐标方程为，即，……………………………………2分 所以圆心到直线的距离为，……………………………………………………3分 则依题意得，……………………………………………………………4分 因为，解得．……………………………………………………………………5分 ‎（2）因为曲线上任意一点都满足，所以，……………………7分 所以，解得或，…………………………………9分 又，所以的取值范围为．…………………………………………………10分 ‎18、‎ ‎19、‎ ‎20、解：（1）由得， --------------------------------------1分 又，，得，‎ ‎∴C的普通方程为，-------------------------------------------------------------------2分 ‎∵过点、倾斜角为的直线l的普通方程为，--------------3分 由得 ‎∴直线l的参数方程为 （t为参数）；-------------------------------------------5分 ‎（2）将代入，‎ 得，----------------------------------------------------------------6分 依题意知 则上方程的根、就是交点A、B对应的参数，∵，‎ 由参数t的几何意义知，得，‎ ‎∵点P在A、B之间，∴，‎ ‎∴，即，解得（满足），∴，-------------8分 ‎∵，又，‎ ‎∴．-------------------------------------------------------------------------10分