2017-2018学年黑龙江省大庆市第十中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年黑龙江省大庆市第十中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版

大庆市第十中学2018年第二学期高二年级第一次月考 数学试卷（理）‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1.函数，其导数是，则的值为（ ）‎ A: B： C： D：‎ ‎2.函数在处的切线方程是（ ）‎ A: B： C： D：‎ ‎3.已知，，，则和的值分别是（ ）‎ A: B： C： D：‎ ‎4.设函数可导，则=（ ）‎ A: B：3 C： D：以上答案都不对 ‎5.直三棱柱中，若，，，则（ ）‎ A: B： C： D：‎ ‎6.已知，则=（ ）‎ A: B： C： D：‎ ‎7.函数，则（ ）‎ A: 是函数的极大值点 B：是函数的极小值点 ‎ C：是函数的极大值点 D：是函数的极小值点 ‎8．正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A: B： C： D：‎ ‎9.函数的导函数的图象如下图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A：函数在上单调递增 B：:函数的单调递减区间为 C:函数在处取得极大值 D：函数在处取得极小值 ‎(9题图) （11题图）‎ ‎10.若函数在区间内是减函数，，则（ ）‎ A: B： C： D：‎ ‎11. 如上图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某个学生得出下列四个结论，其中正确的是（ ）‎ ‎①；②；③三棱锥是正三棱锥；④平面的法向量与平面的法向量互相垂直；‎ A: ①② B：③④ C：②③ D：①④‎ ‎12.函数的定义域为R，，对，都有成立，则不等式的解集为（ ）‎ A: B： C： D：‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.已知向量， ，且与互相垂直，则______________‎ ‎14. 在空间直角坐标系中，已知，若点在上，且，则点坐标是_____________‎ ‎15.曲线上的点到直线的最短距离是____________‎ ‎16.函数在处有极大值，则的值为___________‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分)（1已知函数。‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间。‎ ‎18．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点。‎ ‎（1）求证：； （2）求所成角的余弦值； （3）求的长。‎ ‎19．（12分）已知函数。‎ ‎（1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值； （3）求函数在区间上的最大值与最小值。‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，点是的中点，作交于点。‎ ‎（1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小 ‎21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，且，，，，。‎ ‎（1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由。‎ ‎22．（12分）已知函数。‎ ‎（1）讨论的单调性； （2）若，，求的取值范围。‎ 大庆十中2017-2018学年度第一学期高二年级第一次月考 数学试卷（理）答案 ‎1.B 2.B 3A 4.B 5.D ‎6.B 7.A 8.D 9.D 10.C ‎11.C 12.B ‎13. 14. 15. 16．6‎ ‎17. 解：（1）因为f（x）=x2-lnx ， 所以f′（x）=2x-． 所以f'（1）=1． 又因为f（1）=1， 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=x-1．即x-y=0．…（5分） （2）因为函数f（x）=2x2-lnx的定义域为（0，+∞）， 由f′（x）=2x-＜0，得0＜x＜； 所以函数f（x）=x2-lnx的单调递减区间是（0，），单调递增区间为 ‎（单调区间开、闭均给分）．…（10分） 18.解：‎ ‎（1）因为，所以；...(4分)‎ ‎（2），‎ ‎，所以）求所成角的余弦值为；...(8分)‎ ‎（3）。...(12分)‎ ‎（注：本题也可以采用直接证明、求解或建立空间直角坐标系的方法进行证明、求解）‎ ‎19.解：（1）的单调增区间为；单调减区间为 ‎（单调区间开、闭均给分）；...(4分)‎ ‎（2）当时，有极大值，极大值为；‎ 当时，有极小值，极小值为；...（8分）‎ ‎（3）由（1）知，函数在上单调递减，在区间上单调递增，‎ 且;,;‎ 因此，函数在上的最小值为，最大值为。...（12分）‎ ‎20．解：‎ 如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1。‎ ‎（1）（注：可采用立体几何与向量两种方法证明。）下面给出一种使用空间向量的证明方法。‎ 连接AC，AC交BD于点G，连接EG。‎ 依题意得A（1,0,0），P（0，0,1），E（0，）。‎ 因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，则G（），‎ 且，‎ 所以，即。而，且 因此。...(4分)‎ ‎（2）（可采用立体几何与向量两种方法证明。）‎ 依题意得B（1,1,0），，，‎ 所以。所以。‎ 由已知，所以平面。...(8分)‎ ‎（3）答：。‎ 已知，由（2）可知，，故是二面角的平面角。‎ 设点F的坐标为（）,则 因为 所以 即。‎ 因为，所以 所以。‎ 又因为，所以 因为 所以=，即二面角的大小为...(12分)‎ ‎21.解：（1）证明：由已知平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD， 且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PA⊥平面ABCD．所以PA⊥CD． 又因为BE⊥AD，BE∥CD，所以CD⊥AD．所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．…（4分） （2）如图所示建立空间直角坐标系E-xyz，则点E（0，0，0），P（0，-2，2），A（0，-2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）． 所以，，． 设平面PBC的法向量为=（x，y，z），所以即令y=1，解得=（2，1，3‎ ‎）． 设平面PBE的法向量为=（a，b，c），所以即 令b=1，解得=（0，1，1）．所以cos＜＞=．‎ 由图可知，二面角C-PB-E的余弦值为．…（8分）‎ ‎（3）“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“”．‎ 因为，设，λ∈（0，1），‎ 则M（0，2λ-2，2-2λ），．‎ 由（2）知平面PBC的法向量为=（2，1，3），‎ 所以．解得．‎ 所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．…（12分）‎ ‎22. 解：（1）由f（x）=-ax2+lnx，得f′（x）=-2ax+=（x＞0），‎ 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；‎ 当a＞0时，由f′（x）=0，得=-＜0，=＞0，‎ ‎∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；…(4分)‎ ‎（2）当a≤0时，若x∈（1，+∞），则f（x）+a=-ax2+lnx+a=a（1-x2）+lnx＞0，满足题意；‎ 当a＞0时，由（1）知，当，即a时，f（x）在（1，+∞）上为减函数，此时f（x）< f（1）=-a，此时不满足条件； 当，即0＜a＜时，f（x）在（1，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，‎ 此时=，‎ 由，得1+ln2a＜2a，‎ 令g（a）=1+ln2a-2a，则g′（a）=，‎ 则g（a）在（0，）上为增函数，‎ 因为g（a）＜g（）=0，即1+ln2a＜2a恒成立，‎ 所以此时0＜a＜．‎ 综上，若∃x∈（1，+∞），使得f（x）＞-a，a的取值范围为a．…(12分)‎