2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题12 解答题解题技巧

2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题12 解答题解题技巧

专题复习检测 A卷 ‎1．(2018年天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2－2cos 2C＝7.‎ ‎(1)求tan C的值；‎ ‎(2)若c＝，sin B＝2sin A，求a，b的值．‎ ‎【解析】(1)在△ABC中，∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴＝－，则sin ＝cos .‎ 由8sin2－2cos 2C＝7，得8cos2－2cos 2C＝7.‎ ‎∴4(1＋cos C)－2(2cos2C－1)＝7，‎ 即(2cos C－1)2＝0，解得cos C＝.‎ ‎∵0＜C＜π，∴C＝，∴tan C＝tan＝.‎ ‎(2)由sin B＝2sin A，得b＝2a.①‎ 又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ，‎ 即a2＋b2－ab＝3.②‎ 联立①②，解得a＝1，b＝2.‎ ‎2．(2019年陕西宝鸡检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.‎ ‎【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.‎ ‎∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，‎ ‎∴解得d＝2，q＝2.‎ ‎∴an＝2n＋1，bn＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知Sn＝＝n(n＋2)，‎ ‎∴cn＝ ‎∴T2n＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)＝＋.‎ ‎3．某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内(含40件)的产品，每件产品厂家返利4元，‎ 超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家这10天的销售量如下茎叶图所示.‎ ‎(1)现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；‎ ‎(2)若将频率视作概率，回答以下问题：‎ ‎①记乙厂家的日返利额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；‎ ‎②商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．‎ ‎【解析】(1)记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎(2)①设乙产品的日销售量为a，则 当a＝38时，X＝38×4＝152；‎ 当a＝39时，X＝39×4＝156；‎ 当a＝40时，X＝40×4＝160；‎ 当a＝41时，X＝40×4＋1×6＝166；‎ 当a＝42时，X＝40×4＋2×6＝172.‎ ‎∴X的所有可能取值为：152,156,160,166,172.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎152‎ ‎156‎ ‎160‎ ‎166‎ ‎172‎ p ‎∴EX＝152×＋156×＋160×＋166×＋172×＝162.‎ ‎②依题意，甲厂家的日平均销售量为：38×0.2＋39×0.4＋40×0.2＋41×0.1＋42×0.1＝39.5，‎ ‎∴甲厂家的日平均返利额为：70＋39.5×2＝149元．‎ 由①得乙厂家的日平均返利额为162元(＞149元)，‎ ‎∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．‎ ‎4．(2019年山东淄博模拟)如图，六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3.‎ ‎(1)求证：EG⊥DF；‎ ‎(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值．‎ ‎【解析】(1)证明：连接AC，由AECG可知四边形AEGC为平行四边形，∴EG∥AC.‎ 又AC⊥BD，AC⊥BF，∴EG⊥BD，EG⊥BF.‎ ‎∵BD∩BF＝B，∴EG⊥平面BDHF.‎ 又DF⊂平面BDHF，∴EG⊥DF.‎ ‎(2)设AC∩BD＝O，EG∩HF＝P，由已知得平面ADHE∥平面BCGF，∴EH∥FG.‎ 同理可得EF∥HG.‎ ‎∴四边形EFGH为平行四边形，∴P为EG的中点．又O为AC的中点，∴OPAE，‎ 从而OP⊥平面ABCD.‎ 又OA⊥OB，∴OA，OB，OP两两垂直，得BF＝2.‎ 如图，建立空间直角坐标系O－xyz，则B(0,2,0)，E(2，0,3)，F(0，2,2)，P(0,0,3)，‎ ‎∴＝(2，－2,3)，＝(2，0,0)，＝(0,2，－1)．‎ 设平面EFGH的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得 令y＝1，则z＝2.∴n＝(0,1,2)．‎ 设BE与平面EFGH所成角为θ，‎ 则sin θ＝＝.‎ B卷 ‎5．(2019年广东广州综合测试)已知点C(1,0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．‎ ‎(1)求点P的轨迹T的方程；‎ ‎(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】(1)连接CP，OP.‎ 由·＝0，知AC⊥BC，‎ ‎∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|.‎ 易知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，‎ 即|OP|2＋|CP|2＝9.‎ 设点P(x，y)，则(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简得x2－x＋y2＝4.‎ ‎(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p>0)上，其中＝1.‎ ‎∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，‎ 联立化简得x2＋3x－4＝0，‎ 解得x1＝1，x2＝－4.‎ 由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.‎ 故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．‎ ‎6．(2018年北京顺义区二模)已知函数f(x)＝e2x＋mx，其中m≤0.‎ ‎(1)当m＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)若不等式f(x)＞0在定义域内恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】(1)当m＝－1时，f(x)＝e2x－x，则f′(x)＝2e2x－1，∴f′(0)＝1.‎ 又f(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.‎ ‎(2)f(x)的定义域为R，且f′(x)＝2e2x＋m，m≤0.‎ 当m＝0时，f(x)＝e2x＞0恒成立，满足条件．‎ 当m＜0时，由f′(x)＞0，解得x＞ln，‎ ‎∴f(x)在内单调递增，‎ 在内单调递减．‎ ‎∴f(x)在x＝ln处取得最小值 .‎ ‎∴＞0，解得－2e＜m＜0.‎ 综上，当m∈(－2e,0]时，不等式f(x)＞0在定义域内恒成立．‎