浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：立体几何

浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：立体几何

浙江省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练 立体几何 一、选择、填空题 ‎1、（温州市2019届高三8月适应性测试）某几何体的三视图如图所示（单位：），该几何体的体积（单位：）是（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎2、（金丽衢十二校2019届高三第一次联考）己知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ ‎　A、　　　　B、　　C、　　　D、‎ ‎3、（浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）‎ A. ‎ B. 4 C. 2 D. ‎ ‎4、（七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为 ，表面积为 .‎ ‎5、（温州九校2019届高三第一次联考）已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A.若则 B.若则 ‎ ‎ C.若则 D.若则 ‎ ‎6、（嘉兴市2019届高三上学期期末检测）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： cm 3）是 ‎ A、36 B、54 C、72 D、108‎ ‎7、（丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末）如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则（　　）‎ A．存在点G，使PG⊥EF成立 ‎ B．存在点G，使FG⊥EP成立 ‎ C．不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立 ‎ D．不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立 ‎8、（宁波市2019届高三上学期期末考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎9、（台州市2019届高三上学期期末质量评估）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为 A． B． C． D． ‎ ‎10、（浙南名校联盟（温州九校）2019届高三上学期期末联考）如图，在三棱柱中，点在平面内运动，使得二面角的平面角与二面角的平面角互余，则点的轨迹是 A.一段圆弧 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一支 ‎ ‎11、（绍兴市2019届高三3月适应性考试）如图，在三棱柱中，两两互相垂直，，是线段上的点，平面与平面所成（锐）二面角为，当最小时，‎ A． B． C． D． ‎ ‎12、（杭州市2019届高三4月教学质量检测（二模））《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于（ ）‎ A．3 B．5 C．6 D． 12‎ ‎13、（稽阳联谊学校2019届高三4月联考）在阿基米德的墓碑上刻着一副“圆柱容球”的几何图形，它的三视图如图所示，记球的体积为，圆柱的体积为，球的表面积为，圆柱的全面积为，则下列结论正确的是 A.， B.， ‎ C.， D.，‎ ‎14、（绍兴市上虞区2019届高三第二次（5月）教学质量调测）已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为 ‎15、（台州市2019届高三4月调研）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C. D.‎ ‎16、（温州市2019届高三2月高考适应性测试）在正四面体 ABCD 中，P，Q分别是棱 AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，M 是EF 的中点，则能使点 M 的轨迹是圆的条件是（▲ ）‎ ‎ A、PE＋QF＝2 B、PE•QF＝2 C、PE＝2QF D、PE2＋QF2＝2‎ ‎17、（温州市2019届高三8月适应性测试）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 ‎ D. 若，，，则 参考答案：‎ ‎1、C　　2、B　　3、B　　‎ ‎4、，．提示：该几何体为圆锥的一半，且底面向上放置。所以表面积由底面半圆，侧面的一半，和轴截面的面积组成。所以其体积为，表面积为，其中，，．‎ ‎5、C ‎6、A　　7、C　　8、D　　9、B　　10、D ‎11、B　　12、B　　13、B　　14、B　　15、B ‎16、D　　17、D 二、解答题 ‎1、（温州市2019届高三8月适应性测试）如图，已知三棱锥中，，，侧面为矩形，。将绕翻折至，使在平面内。‎ （1） 求证：平面；‎ （2） 求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎2、（金丽衢十二校2019届高三第一次联考）如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，点M，E分别是PA，PD的中点 （1） 求证：CE//平面BMD （2） 点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值 ‎3、（浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考）如图，在三棱锥中，和均为等腰三角形，且，.‎ （1） 判断是否成立，并给出证明；‎ （2） 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎4、（七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考）如图，已知四棱锥，底面为矩形， 且侧面平面，侧面平面，为正三角形，‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎5、（温州九校2019届高三第一次联考）如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点，已知.，为的中点。‎ （1） 求证平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值 ‎6、（嘉兴市2019届高三上学期期末检测）如图，多面体 PABCDA1B1C1D1 由正方体 ABCD - A1B1C1D1 和四棱锥 P - ABCD 组 成．正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长为 2，四棱锥 P - ABCD 侧棱长都相等，高为 1．‎ ‎（Ⅰ）求证： B1C ⊥ 平面 PCD ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角 B - PB1 - C 的余弦值．‎ ‎7、（丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1．BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝．‎ ‎（Ⅰ）求证：PD⊥AB；‎ ‎（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎8、（宁波市2019届高三上学期期末考试）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，是的中点，且，‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部 分，求二面角的余弦值.‎ ‎9、（台州市2019届高三上学期期末质量评估）如图，四棱锥中，垂直平面，，，，为的中点. ‎ ‎（Ⅰ） 证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎10、（浙南名校联盟（温州九校）2019届高三上学期期末联考）在三棱台中，是等边三角形，二面角的平面角为，.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎11、（绍兴市2019届高三3月适应性考试）四棱锥中，，四边形 是矩形，且，上的动点，是线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求的长．‎ ‎12、（杭州市2019届高三4月教学质量检测（二模））如图，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，，，，点P在线段DF上．‎ ‎（1）证明：AF⊥平面ABCD．‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求PF的长度． ‎ ‎13、（稽阳联谊学校2019届高三4月联考）在四棱锥中，平面，，，，，为棱上的点.‎ ‎（Ｉ）若，求证：平面.‎ ‎（Ⅱ）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎14、（绍兴市上虞区2019届高三第二次（5月）教学质量调测）已知等腰直角三角形，，分别是的中 点，沿将折起（如图），连接.‎ ‎ (Ⅰ)设点为的中点，求证：面；‎ ‎ (Ⅱ)设为的中点，当折成二面角为时，求与面所成 ‎ 角的正弦值.‎ ‎15、（台州市2019届高三4月调研）如图棱锥的底面是菱形，，，侧面垂直 于底面，且是正三角形.‎ ‎（Ｉ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎16、（温州市2019届高三2月高考适应性测试）在三棱锥 D - ABC中，AD^DC，AC^CB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面 ABD ^ 平面 BCD ，E 为 AC 的中点．‎ ‎（ I）证明： AD ^ BC ；‎ ‎（ II）求直线 DE 与平面 ABD 所成的角的正弦值．‎ 参考答案：‎ ‎1、‎ ‎2、‎ ‎3、‎ ‎4、解：（Ⅰ）因为，所以平面；…2分 又因为平面且平面平面，由线面平行的性质定理知.…7分 ‎（Ⅱ）过作交于，所以.因为侧面平面，侧面平面，所以平面，过作交于，连接，所以即为直线与平面所成角．…10分 又因为，所以，于是在中，‎ 解法二：以的中点为原点，建立空间坐标系，设，则，，设与面所成的角为，由题意点在面的射影必在轴 上，且由是边长为2的正三角形得，所以 ‎，…10分 设平面的一个法向量为，则 ‎，解得，‎ 因为 ，‎ 设平面的一个法向量为，则 ‎,解得，…12分 ‎，‎ 所以，，设直线与平面所成角为，于是．…15分 19． ‎5、（I）取的中点，连结,易得所以四边形是平行四边形，因此…………4分 又平面，所以//平面 …………6分 ‎（II）取的中点中点，连结,由，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，所以平面平面…………8分 又，所以平面…………9分 所以，又，所以平面…………10分 所以是与平面所成角………12分 又，所以…………14分 所以…………15分 另解：如图建立空间直角坐标系，则 设由 即…………9分 得，…………10分 所以,,，‎ ‎,，‎ 设平面的法向量，由，得，所以取…………12分 设与平面所成角为，则…………14分 ‎…………15分 ‎6、‎ ‎7、‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8、‎ ‎ ‎ ‎9、（Ⅰ）证明: PC⊥平面ABCD，故PC⊥AC． ………………2分 又AB＝2，CD＝1，AD⊥AB，所以AC＝BC＝． ‎ 故AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC． ………………4分 所以AC⊥平面PBC，所以平面ACE⊥平面PBC． …………………………6分 ‎（Ⅱ）解: PC⊥平面ABCD，故PC⊥CD．又PD＝2，所以PC＝． …………8分 在平面ACE内，过点P作PF垂直CE，垂足为F．‎ 由（Ⅰ）知平面ACE⊥平面PBC，所以PF垂直平面ACE． …………10分 由面积法得：即．‎ 又点E为AB的中点，．‎ 所以． ……………………………………12分 又点E为AB的中点，所以点P到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等．‎ 连结BD交AC于点G，则GB＝2DG．‎ 所以点D到平面ACE的距离是点B到平面ACE的距离的一半，即．‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．……………………15分 A B C D P E ‎(第19题)‎ x y z F 另解：如图，取AB的中点F，如图建立坐标系．‎ 因为，所以．所以有：‎ ‎，，，，，‎ ‎． …………9分 ‎．，．‎ 设平面ACE的一个法量为n，则 取，得，．‎ 即n． …………13分 设直线与平面所成角为，则 n，． …………15分 ‎10、（I）证明：设，与交于点，取棱的中点，‎ 连结.‎ 因，，‎ 故. ………………………2分 又是棱的中点，‎ 故.‎ 同理 又平面，且，‎ 因此平面，‎ 又平面， ………………………4分 所以； ………………………6分 ‎（II）方法一：‎ 作，垂足为.‎ 因平面，‎ 故平面，‎ 从而为直线与平面所成的角. ……………………10分 不妨设,则，， ……………………13分 所以. ……………………15分 方法二：如图，以为原点建立空间直角坐标系， ……………………8分 由（I），为二面角的平面角，则，‎ 设，，则点 , , ，.‎ 设为平面，即平面的一个法向量，‎ 由 ，得， ………10分 令，则，即. ……12分 设是直线与平面所成的角，‎ 则. …………15分 ‎11、‎ ‎12、‎ ‎13、‎ ‎ ‎ ‎14、解：（Ⅰ）由题意可知，∥，即，于是，面，从而面，‎ 因此. …………3分 另一方面，由是中点得：. …………5分 面. …………7分 ‎（Ⅱ）不妨设等腰直角三角形的直角边长为.由二面角为可知是等边三角形，. …………9分 因为∥，故∥面，即点到面的距离等于点到面的距离.而为之中点，于是点到面的距离为. …………11分 计算得：， …………13分 所以与面所成角的正弦值为. …………15分 ‎15、‎ ‎16、解：（I）法一：过做，（其中与都不重合，否则，若与重合，则与矛盾；若与重合，则，与矛盾）‎ 面面 面 ‎ ，又 ‎ 面 法二：参见第（II）问的法三 ‎（II）法一：做，则，由（1）知：面 即与面所成角，且 法二：由（I）知：，且 记的中点为，的中点为 ‎ 是的中点，， ‎ 面 面面 即与面所成角，且 法三：由（I）知平面，，以为原点，分别以射线为轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系 由题意知：‎ ‎∴，‎ ‎∵平面的法向量为，‎ 设与面所成角为 ‎∴‎ 法四：以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系 则，设，面的法向量为，面的法向量为，则，即，则 ‎，‎ ‎，即与面所成角的正弦值为.‎