高中数学 1-1-2 导数的概念双基限时训练 新人教版选修2-2

高中数学 1-1-2 导数的概念双基限时训练 新人教版选修2-2

【名师一号】2014-2015 学年高中数学 1-1-2 导数的概念双基限时 训练 新人教版选修 2-2 1．当自变量 x 由 x0 变到 x1 时，函数值的增量与相应自变量的增量的比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在 x1 处的导数 C．在区间[x0，x1]上的导数 D．在 x 处的平均变化率 解析 由平均变化率的定义知选 A. 答案 A 2．对于函数 f(x)＝c(c 为常数)，则 f′(x)为( ) A．0 B．1 C．c D．不存在 解析 f′(x)＝lim Δx→0 f x＋Δx －f x Δx ＝lim Δx→0 c－c Δx ＝0. 答案 A 3．y＝x2 在 x＝1 处的导数为( ) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2， ∴Δy Δx ＝2＋Δx.∴f′(1)＝lim Δx→0 (2＋Δx)＝2. 答案 B 4．在导数的定义中，自变量的增量Δx 满足( ) A．Δx<0 B．Δx>0 C．Δx＝0 D．Δx≠0 解析 Δx 可正、可负，就是不能为 0，因此选 D. 答案 D 5．一物体运动满足曲线方程 s＝4t2＋2t－3，且 s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是( ) A．物体 5 秒内共走过 42 米 B．物体每 5 秒钟运动 42 米 C．物体从开始运动到第 5 秒运动的平均速度是 42 米/秒 D．物体以 t＝5 秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为 42 米 解析 由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在 t＝5 秒时的瞬时速度．故选 D. 答案 D 6．如果质点 A 按规律 s＝3t2 运动，那么在 t＝3 时的瞬时速度为________． 解析 ∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2， ∴s′(3)＝lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 (18＋3Δt)＝18. 答案 18 7．设函数 f(x)满足lim x→0 f 1 －f 1－x x ＝－1，则 f′(1)＝________. 解析 ∵lim x→0 f 1 －f 1－x x ＝lim x→0 f 1－x －f 1 －x ＝f′(1)＝－1. 答案 －1 8．函数 f(x)＝x2＋1 在 x＝1 处可导，在求 f′(1)的过程中，设自变量的增量为Δx， 则函数的增量Δy＝________. 解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1) ＝2Δx＋(Δx)2. 答案 2Δx＋(Δx)2 9．已知 f(x)＝ax2＋2，若 f′(1)＝4，求 a 的值． 解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2) ＝2a·Δx＋a(Δx)2， ∴f′(1)＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 (2a＋a·Δx)＝2a＝4. ∴a＝2. 10．已知函数 f(x)＝13－8x＋ 2x2，且 f′(x0)＝4，求 x0 的值． 解 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝[1 3－8(x0＋Δx)＋ 2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋ 2x2 0)＝ －8Δx＋2 2x0Δx＋ 2(Δx)2. f′(x0)＝lim Δx→0 Δy Δx ＝lim Δx→0 (－8＋2 2x0＋ 2Δx)＝－8＋2 2x0， 又∵f′(x0)＝4，∴－8＋2 2x0＝4，∴x0＝3 2. 11．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间 t 存在关系 s(t)＝10t＋5t2(s 的单位 是 m，t 的单位是 s)． (1)求 t＝20，Δt＝0.1 时的Δs 与Δs Δt ； (2)求 t＝20 时的速度． 解 (1)当 t＝20，Δt＝0.1 时， Δs＝s(20＋Δt)－s(20) ＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202) ＝1＋20＋5×0.01＝21.05. ∴Δs Δt ＝21.05 0.1 ＝210.5. (2)由导数的定义知，t＝20 时的速度即为 v＝lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 10 t＋Δt ＋5 t＋Δt 2－10t－5t2 Δt ＝lim Δt→0 5 Δt 2＋10Δt＋10tΔt Δt ＝lim Δt→0 (5Δt＋10＋10t) ＝10＋10t ＝10＋10×20 ＝210(m/s)． 12．若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)． s＝ 3t2＋2，t≥3， 29＋3 t－3 2，0≤t<3. 求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在t＝1 时的瞬时速度． 解 (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在 t∈[3,5]内的位移 变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在 t∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝48 2 ＝24(m/s)． (2)求物体的初速度为 v0，即求物体在 t＝0 时瞬时速度． ∵ 物 体 在 t ＝ 0 附 近 的 平 均 速 度 为 Δs Δt ＝ f 0＋Δt －f 0 Δt ＝ 29＋3 0＋Δt－3 2－29－3 0－3 2 Δt ＝3Δt－18， ∴物体在 t＝0 处的瞬时速度为lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 (3Δt－18)＝－18(m/s)． 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度即为函数在 t＝1 处的瞬时变化率． ∵物体在 t＝1 附近的平均速度变化为 Δs Δt ＝29＋3 1＋Δt－3 2－29－3 1－3 2 Δt ＝3Δt－12， ∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 (3Δt－12)＝－12(m/s)． 即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.