四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期末联考共性化练习数学（理）试题

四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高二上学期期末联考共性化练习数学（理）试题

蓉城名校联盟2019～2020学年度上期高中2018级期中联考 数学学科共性化巩固练习卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点，‎ 为双曲线上一点,‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率．‎ ‎2.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、‎ B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A. 16 B. 14 C. 12 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ‎，当且仅当（或）时，取等号.‎ 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以 ‎.‎ ‎3.设，是离心率为5的双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 A. B. ‎ C. 24 D. 48‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由双曲线的离心率求出与，可得，再由，结合双曲线的定义求出，由此能求出的面积.‎ ‎【详解】∵，是离心率为5的双曲线的两个焦点，‎ ‎ ，‎ 解得，， ，‎ ‎ ，‎ 且由双曲线的性质知,‎ ‎ ,, 的面积.故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的定义与双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ 二、填空题.‎ ‎4.把二进制数1111（2）化为十进制数是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二进制数的定义可将化为十进制数.‎ ‎【详解】由二进制数的定义可得，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查二进制数化十进制数，考查二进制数的定义，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题设可知有解，即有解，令借，则，所以，由于，故，结合正弦函数的图像可知，则，应填答案．‎ 点睛：解答本题的思路是依据题设条件将其转化为方程有解，进而分离参数，然后通过三角换元将其转化为求函数的值域问题，最后借助正弦函数的图像求出其值域使得问题获解．‎ ‎6.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为______.‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先设抛物线的解析式，写出抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径，求出，的面积是与乘积的一半.‎ ‎【详解】设抛物线的解析式，‎ 则焦点为，对称轴为轴，准线为，‎ 直线经过抛物线的焦点，A，B是与的交点，‎ 又轴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又点在准线上，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为36.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点，关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法.‎ 三、解答题.‎ ‎7.已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点．‎ ‎（1）求圆方程；‎ ‎（2）是否存在过点直线与圆交于两点，且的面积为（为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据题意设出圆的方程，由直线和圆相切列出方程，进而解得未知量；（2）根据题意得到原题等价于研究方程是否有解的问题，化简得到无解即可.‎ 解析：‎ ‎（1）设圆心坐标为，则圆的方程为：，‎ 又与相切，则有，解得：，，‎ 所以圆的方程为：；‎ ‎（2）由题意得：当存在时，设直线，设圆心到直线的距离为，‎ 则有，化简得：，无解；‎ 当不存在时，，则圆心到直线的距离，那么，‎ ‎，满足题意，所以直线的方程为：.‎ 点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.‎ ‎8.已知抛物线C；过点．‎ 求抛物线C的方程；‎ 过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）．（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设过点P（3，﹣1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1•k2的值．‎ ‎【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为． ‎ ‎（2）设，，直线MN的方程为，‎ 代入抛物线方程得． ‎ 所以，，． ‎ 所以,‎ 所以，是定值．‎ ‎【点睛】求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎9.已知椭圆的右焦点为，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交椭园于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1).(2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，得到，进而求出，即可得到椭圆方程；‎ ‎（2）先由题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，由韦达定理，根据的面积，求出，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）由题意可知， ‎ 离心率，所以 所以 所以椭圆的方程为， ‎ ‎（2）由题意可以设直线的方程为，‎ 由得， ‎ 设，‎ 所以，，‎ 所以的面积创 因为的面积为，所以.‎ 解得. ‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程，以及椭圆中的直线问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎