2018-2019学年安徽省涡阳县第一中学高一下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省涡阳县第一中学高一下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省涡阳县第一中学高一下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ） ‎ A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法 ‎【答案】D ‎【解析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 ‎【详解】‎ 总体由男生和女生组成，比例为560：420＝4：3，所抽取的比例也是16：12＝4：3．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，属基本题．‎ ‎2．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.‎ ‎3．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是(　　)．‎ A．7 B．8 C．9 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据辗转相除法计算最大公约数.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以最大公约数是8，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查辗转相除法，考查基本求解能力.‎ ‎4．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个白球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是白球 ‎【答案】C ‎【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可 ‎【详解】‎ 对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确 对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确 对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确 对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，‎ ‎∴这两个事件是对立事件，∴D不正确 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题 ‎5．已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ A．变量，之间呈现负相关关系 B．的值等于5‎ C．变量，之间的相关系数 D．由表格数据知，该回归直线必过点 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为，代入回归直线的方程，即可求解，得到样本中心，再根据之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案. ‎ 详解：由题意，根据上表可知，‎ 即数据的样本中心为，‎ 把样本中心代入回归直线的方程，可得，解得，‎ 则，即数据的样本中心为，‎ 由上表中的数据可判定，变量之间随着的增大，值变小，所以呈现负相关关系，‎ 由于回归方程可知，回归系数，而不是，所以C是错误的，故选C. ‎ 点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎6．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（ ） ‎ A．1 B． C．4 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得x≥3，由此能求出4个剩余数据的方差．‎ ‎【详解】‎ 由题意得x≥3，‎ 则4个剩余分数的方差为：‎ s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了方差的计算问题，也考查了茎叶图的性质、平均数、方差等基础知识，是基础题．‎ ‎7．取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，根据题意得出的取值范围，再利用几何概型的概率公式可得出所求事件的概率.‎ ‎【详解】‎ 设其中一段的长度为，可得出另一段长度为，‎ 由于剪得两段绳有一段长度不小于，则或，可得或.‎ 由于，所以，或.‎ 由几何概型的概率公式可知，事件“剪得两段绳有一段长度不小于”的概率为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查长度型几何概型概率公式的应用，解题时要将问题转化为区间型的几何概型来计算概率，考查分析问题以及运算求解能力，属于中等题.‎ ‎8．向量，若，则的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值．‎ ‎【详解】‎ 向量=（-4，5），=（λ，1），‎ 则-=（-4-λ，4），‎ 又（-）∥，‎ 所以-4-λ-4λ=0，‎ 解得λ=-．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．‎ ‎9．已知函数的部分图象如图所示，则函数在上的最大值为（ ） ‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图象求出T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，再求x∈[6，10]时函数f（x）的最大值．‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，5﹣3＝2，解得T＝8，‎ 由T8，解得ω；‎ ‎∴函数的解析式是f（x）＝sin（x+φ）；‎ ‎∵（5，1）在f（x）的图象上，有1＝sin（φ）‎ ‎∴φ＝2kπ，k∈Z；‎ φ＝2kπ，k∈Z；‎ 又﹣π＜φ＜0，∴φ；‎ ‎∴函数的解析式是f（x）＝sin（x）‎ 当x∈[6，10]时，x∈[，]，‎ ‎∴sin（x）∈[﹣1，]；‎ ‎∴函数f（x）的最大值是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记图像与性质是关键，是基础题．‎ ‎10．执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值.‎ ‎【详解】‎ 由流程图可知，程序输出的值为：，‎ 即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．将函数的图像向右平衡个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）‎ A．函数的最大值为 B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 ‎【答案】C ‎【解析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin（2x）的图象，‎ 再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到函数g（x）＝2sin（x）的图象，‎ 故g（x）的最大值为2，故A错误；‎ 显然，g（x）的最小正周期为2π，故B错误；‎ 当时，g（x）＝，是最小值，故函数g（x）的图象关于直线对称，故C正确；‎ 在区间上，x∈[，]，函数g（x）＝2sin（x）单调递减，故D错误，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题．‎ ‎12．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则 的形状为（ ）‎ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．顶角为的等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】先利用同角三角函数基本关系得，结合正余弦定理得进而得B,再利用化简得,得A值进而得C,则形状可求 ‎【详解】‎ 由题 ‎ 即，由正弦定理及余弦定理得 即 ‎ 故 整理得 ，故 ‎ 故为顶角为的等腰三角形 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题 二、填空题 ‎13．已知向量，满足：，，，则_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意结合平行四边形的性质可得的值.‎ ‎【详解】‎ 由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得：‎ ‎，即：，‎ 据此可得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14．某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001,002,003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第行到第行： 若从表中第6行第6列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号是_______.‎ ‎【答案】578‎ ‎【解析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．‎ ‎【详解】‎ 第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适 则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，‎ 则第6个编号为578，‎ 故答案为：578．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．本题属于基础题．‎ ‎15．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据程序框图，依次计算运行结果，发现输出的S值周期变化，利用终止运行的条件判断即可求解 ‎【详解】‎ 由程序框图得：;‎ 第一次运行 ‎ 第二次运行 第三次运行故周期为4，‎ 当，程序运行了2019次，，故的值为 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，根据程序的运行功能判断输出值的周期变化是关键，是基础题 ‎16．如图，一栋建筑物AB高（30-10）m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】由已知可以求出、、的大小，在中，利用锐角三角函数，可以求出.在中，运用正弦定理，可以求出.在中，利用锐角三角函数，求出.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知：，，由三角形内角和定理可知.在中，.在中，由正弦定理可知：，‎ 在中，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了锐角三角函数、正弦定理，考查了数学运算能力.‎ 三、解答题 ‎17．如图，以Ox为始边作角与（） ，它们终边分别单位圆相交于点、，已知点的坐标为．‎ ‎（1）若，求角的值；‎ ‎（2）若 ·，求．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)由已知利用三角函数的定义可求，利用两角差的正切公式即可计算得解；‎ ‎(2)由已知可得，进而求出，最后利用两角和的正弦公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由三角函数定义得，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以 ‎ ‎（2）·，∴∴，‎ 所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正切公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎18．涡阳县某华为手机专卖店对市民进行华为手机认可度的调查，在已购买华为手机的名市民中，随机抽取名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：‎ ‎ ‎ 分组（岁）‎ 频数 合计 ‎（1）求频数分布表中、的值，并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）在抽取的这名市民中，从年龄在、内的市民中用分层抽样的方法抽取人参加华为手机宣传活动，现从这人中随机选取人各赠送一部华为手机，求这人中恰有人的年龄在内的概率.‎ ‎【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据分布直方图计算出第二个矩形的面积，乘以可得出的值，再由频数之和为得出的值，利用频数除以样本容量得出第四个矩形的面积，并计算出第四个矩形的高，于此可补全频率分布直方图；‎ ‎（2）先计算出人中年龄在、内的市民人数分别为、，将年龄在的位市民记为，年龄在的位市民记为、、、，记事件恰有人的年龄在内，列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频数分布表和频率分布直方图可知，解得.‎ 频率分布直方图中年龄在内的人数为人，对应的为，‎ 所以补全的频率分布直方图如下图所示：‎ ‎（2）由频数分布表知，在抽取的人中，年龄在内的市民的人数为，‎ 记为，年龄在内的市民的人数为，分别记为、、、.‎ 从这人中任取人的所有基本事件为：、、、、、、、、、，共个基本事件.‎ 记“恰有人的年龄在内”为事件，则所包含的基本事件有个：、、、，‎ 所以这人中恰有人的年龄在内的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图和频率分布表的应用，同时也考查了古典概型概率公式计算概率，在列举基本事件时要遵循不重不漏的基本原则，常用的是列举法，也可以利用树状图来辅助理解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19．设平面向量，，函数．‎ ‎（1）求的最小正周期，并求出的单调递增区间；‎ ‎（2）若锐角满足，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)最小正周期为，单调递增区间，.(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)根据题意求出函数的解析式，并化为 的形式，再求周期及单调区间．（Ⅱ）由得到，进而得 ‎，再根据并利用倍角公式求解可得结果．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意得 ‎ ‎.‎ ‎∴的最小正周期为．‎ 由，‎ 得．‎ ‎∴函数的单调递增区间为，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ ‎∵为锐角，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎20．在中，内角，，的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由二倍角公式得，求得则角 可求；（2），得，由正弦定理得，再结合余弦定理得则面积可求 ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 解得，‎ 因为，所以；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由正弦定理得 所以，‎ 由余弦定理，，‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，准确计算是关键，是基础题 ‎21．如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.‎ ‎(1)请用表示,用表示;‎ ‎(2)记∠BAP=θ,求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）22.‎ ‎【解析】利用向量的三角形法则即可求得答案 由，，可得 ‎，利用向量的数量积的坐标表示的表达式，利用三角函数知识可求最值 ‎【详解】‎ ‎(1)=-.‎ ‎(2)∵∠BAC=60°,设∠BAP=θ,‎ ‎∴∠CAP=60°+θ,‎ ‎∵AB=8,AC=3,AP=2,‎ ‎∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cos θ=3sin θ+13cos θ+8=14sin(θ+φ)+8,‎ ‎.‎ ‎∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数与平面向量的综合，而辅助角公式是解决三角函数的最值的常用方法，体现了转化的思想在解题中的应用。‎ ‎22．在中，分别是角的对边.‎ ‎（1）求角的值； ‎ ‎（2）若，且为锐角三角形，求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题结合余弦定理得角的值；（2）由正弦定理可知，，得，利用三角恒等变换得A的函数即可求范围 ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，∴，‎ 由余弦定理可知，，‎ 又∵，∴.‎ ‎（2）由正弦定理可知，，‎ 即，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 又∵为锐角三角形，∴，则即，‎ 所以， 即，‎ 综上的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，注意锐角三角形的应用，准确计算是关键，是中档题