2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末联考试题 数学 word版

2018-2019学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末联考试题 数学 word版

‎2018-2019学年第二学期 南京市六校联合体髙二年级期末考试试卷 数学 2019.06‎ 参考公式：样本数据的方差其中.‎ 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分。‎ ‎1.复数z=(l+2i)(3-i)，其中i为虚数单位，则z的实部是 ▲.‎ ‎2.为调查某髙校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人。若其他年级共有学生2000 人，则该校学生总人数是▲.‎ ‎3.下图是一个算法流程图,若输入x的值为2,则输出y的值为▲.‎ ‎4.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm),所得数据均在区间[80, 130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有▲ 株树木的底部周长大于110 cm.‎ ‎5.已知一组数据6, 7, 8, x，y的平均数是8,且xy= 90,则该组数据的方差为 ‎ ‎6.某种产品每箱装6个，其中有4个合格，2个不合格，现质检人员从中随机抽取2个进行检测，则检测出至少有一个不合格产品的概率是 ‎ ‎7.执行右图所示的伪代码，则输出的5的值是_.‎ ‎8.在区间[2, 4]上随机地取一个实数x，若实数x满足的概率为,则 ‎ ‎9.已知命题任意，恒成立，命题方程表示双曲线。若“”为真命题，则实数的取值范围为 ▲ .‎ ‎10.在的展开式中，项的系数为▲.(用数字作答）‎ ‎11.已知双曲线 (a>0,b>0)的左顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1:2, 则该双曲线的渐近线方程为▲.‎ ‎12.—场晚会共有7个节目丄B、C、D、E、F、G,要求第一个节目不能排G，节目A必须排在前4个，节目D必须后3个，则有 ▲种不同的排法。(用数字作答）‎ ‎13.观察下列数表，‎ 如此继续下去，则此表最后一行的数为 ▲.(用数字作答） ‎ ‎14.己知函数，若函数恰有4个不同的零点， 则的取值范围为 ▲ .‎ 二、解答题:本大体共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。‎ ‎15.(本小题满分14分）‎ 己知矩阵.‎ ‎（1）求A2.‎ ‎（2）求矩阵A的特征值和特征向量。‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1.‎ ‎（1）求异面直线所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角B1—EB—F的余弦值.‎ ‎17.(本小题满分14分）‎ ‎ 为了纪念国庆70周年，学校决定举办班级黑板报主题设计大赛，高二某班的同学将班级长AB=4米、宽BC=2米的黑板做如图所示的区域划分：取AB中点F，连接CF,以AB为对称轴，过A、C两点作一抛物线弧，在抛物线弧上取一点P，作PE丄AB垂足为E.‎ 作PG//AB交CF于点G.在四边形PEFG内设计主题LOGO,其余区域用于文字排版，设PE的长度为t米.‎ ‎（1）求PG长度的表达式，并写出定义域；‎ ‎（2）设四边形PEFG面积为S，求当为何值时，S取最大值，最大为多少平方米？‎ ‎18.(本小题满分16分） ‎ ‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C: (a>0,b>0)的离心率为，点(2, 1)在椭圆C上.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设直线与圆O: 相切，与椭圆C相交于P，Q两点.‎ ‎①若直线过椭圆C的右焦点F，且与圆O切于第一象限，求△OPQ的面积；‎ ‎②求证：的值为定值.‎ ‎19.(本小题满分16分）‎ ‎ 已知数列{}各项均为正数，.‎ ‎(1)若,‎ ‎①求a2，a3, a4的值：‎ ‎②猜想数列{}的通项公式知，并用数学归纳法证明; ‎ ‎(2)若，证明：当时，.‎ ‎20. (本小题满分16分）‎ ‎ 己知函数有极值，且函数的极值点是的极值点，其中e是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值).‎ ‎(1)若，求函数在处的切线方程；‎ ‎(2)求关于的函数关系式；‎ ‎(3)当a>0时，若函数的最小值为，证明：/‎ ‎2018-2019学年第二学期 南京市六校联合体高二年级期末考试试卷 ‎ 数学附加题 2019.06‎ ‎21.【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。请在答卷纸指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或浪算步骤。‎ A.选修4-2:矩阵与变换 已知点P(1,2)，经矩阵，对应的变换作用下，变为点 Q(4,2)‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)直线在M对应的变换作用下变为直线,求直线的方程.‎ B.选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以直角坐标系原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，试求直线与曲线C的交点的直角坐标.‎ C.选修4一5:不等式选讲 ‎ 若正数满足，求的最小值.‎ ‎【必做埋】第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答卷纸指定区域作答。解答应写出文字说明、证明过程或浪算步骤。‎ ‎22.(本小题满分10分）‎ ‎ 某校高二年级成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名男同学，3名女同学，在这10名同学中，1班和2班各有两名同学，3班至8班各有一名同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每位同学被选到的可能性相同）.‎ ‎（1）求选出的3名同学是来自不同班级的概率；‎ ‎（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.‎ ‎23.(本小题满分10分）‎ ‎ 己知函数，其中 若,求 的值；‎ 若，化简：‎ 南京市六校联合体高二年级期末考试试卷 ‎ 数学参考答案及评分标准 2019.06‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．5 2．5000 3．5 4．18 5．2 6． 7．110 8．2‎ ‎9．[0,1) 10．6 11．y＝±x 12．1224 13．2816 14．[－16,0)‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ ‎ (1)A2＝＝ ····································6分 ‎(2)矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ－3)( λ－4)－6＝(λ－1)( λ－6) ····················8分 令f(λ)＝0得λ1＝1，λ2＝6 ····················9分 λ1＝1时 解得x＝－y，取y＝2得＝·······················11分 λ2＝6时 解得x＝y，取y＝1得＝·······························13分 ‎∴矩阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝6，分别对应特征向量＝，＝．········14分 ‎（注：特征向量答案不唯一，只要共线即可）‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 解答 (1) 因为DA，DC，DD1两两垂直，所以分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 因为棱长为 3, A1E＝CF＝1，‎ 则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，C1(0,3,3)，‎ E(3,0,2)，F(0,3,1)． 所以＝(－3,3,3)，＝(3,0,－1)， ···········3分 所以cos〈，〉＝ ＝ ＝－，·········6分 所以异面直线 AC1与 D1E 所成角的余弦值是. ···········7分 ‎(2)平面的法向量是 ···································8分 设平面 BED1F的法向量是n＝(x，y，z)，‎ 又因为＝(0，－3,2)，＝(－3,0,1)，n⊥，n⊥，‎ 所以n·＝0，n·＝0，‎ 即令z＝3，则x＝1，y＝2，所以n＝(1,2,3)．···········11分 所以， ···········13分 所以二面角B1-EB-F的余弦值是 ·······························14分 ‎17．(本小题满分14分)‎ 解：⑴以为坐标原点，以所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系.‎ 所以,所以直线为 ……………2分 因为抛物线是以AB 为对称轴， 设抛物线的方程为， ‎ 因为点在抛物线上，所以，所以 ………………………4分 因为，所以，所以 …7分 ‎⑵因为，，所以四边形的面积 ‎ ………………9分 设，由，解得： ……11分 t ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当t=1时，g(t)取极大值且是最大值g(t)max＝ ……………………13分 答：当时，四边形面积取得最大值为 ……………………14分 ‎（注：不答扣一分）‎ ‎18．(本小题满分16分)‎ 解：（1）由题意，得＝，＋＝1，解得a2＝6，b2＝3． ·······················2分 所以椭圆的方程为＋＝1． ··········································3分 ‎（2）椭圆C的右焦点F(，0)．‎ 设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，‎ 所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)． ·················5分 把切线方程 y＝(x－)代入椭圆C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0．‎ 设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝． ‎ 由椭圆定义可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e( x1＋x2)＝2×－×＝．········7分 所以，△OPQ的面积为． ·······················8分 ‎②解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－．‎ 当x＝时，P (，)，Q(，－)．‎ 因为·＝0，所以OP⊥OQ．··········9分 当x＝－时，同理可得OP⊥OQ。 ‎ 由等面积法可知 ＝ ·································10分 ‎(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．‎ 因为直线与圆相切，所以＝，即m2＝2k2＋2． ··················12分 将直线PQ方程代入椭圆方程，得(1＋2k2) x2＋4kmx＋2m2－6＝0.‎ 设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．··········13分 因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝(1＋k2)×＋km×(－)＋m2．‎ 将m2＝2k2＋2代入上式可得·＝0， ··················15分 所以OP⊥OQ．由等面积法可知 ＝ 为定值 ··················16分 解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0x＋y0y－2＝0，且x＋y＝2．‎ ‎(i)当y0＝0时，则直线PQ的直线方程为x＝或x＝－．‎ 当x＝时，P (，)，Q(，－)．‎ 因为·＝0，所以OP⊥OQ．‎ 当x＝－时，同理可得OP⊥OQ． 由等面积法可知 ＝为定值 ‎ ··································10分 ‎(ii) 当y0≠0时，‎ 由方程组消去y得(2x＋y)x2－8x0x＋8－6y＝0．‎ 设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝． ················12分 所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝．‎ 因为x＋y＝2，代入上式可得·＝0，所以OP⊥OQ．·······················15分 综上所述，OP⊥OQ． ‎ 由等面积法可知 ＝为定值 ·······················16分 ‎19．(本小题满分16分)‎ 解析： (1) 当时，即 ① 当n=2时，………………………………………………………………………1分 当n=3时，…………………………………………………………………………2分 当n=4时，…………………………………………………………………………3分 ‎②由此猜想：‎ 证明如下：‎ ①当n=1时，，成立；……………………………………………………4分 ②假设当n=k时，猜想也成立，即,‎ 则当n=k+1时，‎ ‎. ……………………………………7分 即当n=k+1时，猜想也成立。‎ 由①②得，猜想成立，即.() …………………………8分 ‎(2) 当时，即 当n=2时，由知不等式成立。…………………………………10分 假设当n=k(k)时，命题也成立，即.‎ 由………………………………12分 ‎…………………………………………………15分 即当n=k+1时，命题也成立。‎ 由①②得，原命题成立，即当。……………………………………16分 ‎20．(本小题满分16分)‎ 解：（1）当a＝1时，f(x)＝(x＋1)ex，f ¢(x)＝(x＋2)ex，‎ f(1)＝2e，f ¢(1)＝3e，所以切线方程为y＝3e x－e ························2分 ‎（2）因为，令，解得.‎ 列表如下.‎ 单调减 极小值 单调增 所以时，取得极小值. ························4分 因为，‎ 由题意可知，且 所以，‎ 化简得， ························6分 由，得.‎ 所以，. ························7分 ‎（2）因为，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ························9分 记，则，令，解得.‎ 列表如下.‎ 单调减 极小值 单调增 所以时，取得极小值，也是最小值，‎ 此时，‎ ‎. ························11分 令，解得.‎ 列表如下.‎ 单调减 极小值 单调增 所以时，取得极小值，也是最小值.‎ 所以 ‎. ························13分 令，则，‎ 记，，‎ 则，.‎ 因为，，‎ 所以，所以单调递增.‎ 所以，所以. ························16分 南京市六校联合体高二年级期末考试试卷 ‎ 数学附加题参考答案及评分标准 2019.06‎ ‎21A．（1）＝ 解得 ‎∴a＝1；b＝0 …………4分 ‎（2）由（1）知M＝ TM：®＝＝ 设直线l上任意一点P(x0，y0)经矩阵M变换为P’(x’，y’)‎ 则 …………7分 ‎∵2x’＋4y’＋1＝0‎ ‎∴2(2x0＋y0)＋4y0＋1＝0即4x0＋6y0＋1＝0‎ ‎∴直线l的方程为4x＋6y＋1＝0 …………10分 ‎21B．解：将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 …………2分 将曲线C的参数方程化为普通方程可得： …………5分 由得，解得或，又，所以，‎ 所以直线与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）. …………10分 注：结果多一解的扣2分 ‎21C．解 因为正数a，b，c满足a+b+c=1，‎ 所以，，………5分 即，‎ 当且仅当，即时，原式取最小值1． …………10分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件，则 ‎ ………4分 答：选出的3名同学是来自不同班级的概率为.‎ ‎（2）随机变量的所有可能值为 ‎ ‎ ………5分 ‎ ………6分 ‎ ………7分 ‎ ………8分 ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 答：选出的3名同学中女同学人数的数学期望为. ………10分 ‎(注：不答扣1分，分布列不列表不扣分)‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎（1），=2019时，‎ ‎ ‎ 令得， ·················1分 令得 ·················2分 可得； ·················3分 （2） 若，，‎ 当时，， ·················4分 当时，， ·················5分 当时，， ···········6分 ‎·····‎ ‎ ··········9分 综上， · ···············10分 南京市六校联合体高二年级期末考试试卷 ‎ 数学附加题参考答案及评分标准 2019.06‎ ‎21A．（1）＝ 解得 ‎∴a＝1；b＝0 …………4分 ‎（2）由（1）知M＝ TM：®＝＝ 设直线l上任意一点P(x0，y0)经矩阵M变换为P’(x’，y’)‎ 则 …………7分 ‎∵2x’＋4y’＋1＝0‎ ‎∴2(2x0＋y0)＋4y0＋1＝0即4x0＋6y0＋1＝0‎ ‎∴直线l的方程为4x＋6y＋1＝0 …………10分 ‎21B．解：将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 …………2分 将曲线C的参数方程化为普通方程可得： …………5分 由得，解得或，又，所以，‎ 所以直线与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）. …………10分 注：结果多一解的扣2分 ‎21C．解 因为正数a，b，c满足a+b+c=1，‎ 所以，，………5分 即，‎ 当且仅当，即时，原式取最小值1． …………10分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件，则 ‎ ………4分 答：选出的3名同学是来自不同班级的概率为.‎ ‎（2）随机变量的所有可能值为 ‎ ‎ ………5分 ‎ ………6分 ‎ ………7分 ‎ ………8分 ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 答：选出的3名同学中女同学人数的数学期望为. ………10分 ‎(注：不答扣1分，分布列不列表不扣分)‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎（1），=2019时，‎ ‎ ‎ 令得， ·················1分 令得 ·················2分 可得； ·················3分 （2） 若，，‎ 当时，， ·················4分 当时，， ·················5分 当时，， ···········6分 ‎·····‎ ‎ ··········9分 综上， · ···············10分