湖北省宜昌市第二中学2019-2020高二上学期十月阶段性检测数学试卷
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知数列1,5 , 3,13 ,…,则5在这个数列中的项数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系,属于基础题．
【解答】
解：由1,5 , 3,13 ,…,得an=4n-3,令4n-3=5,解得n=7,
故选C．
2. 已知等差数列{an}中,a2+a8=16,a4=1,则a6的值为( )
A. 15 B. 17 C. 36 D. 64
【答案】A
【解析】解：由等差数列的性质可得2a5=a2+a8=16,解得a5=8
∴等差数列{an}的公差d=a5-a4=8-1=7,
∴a6=a5+d=8+7=15
故选：A．
由等差数列的性质可得a5,进而可得数列的公差,而a6=a5+d,代入化简可得．
本题考查等差数列的通项公式,涉及等差数列的性质的应用,属基础题．
3. 若直线过点M(1,2),N(4,2+3),则此直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵直线过点M(1,2),N(4,2+3),
∴该直线的斜率为k=2+3-24-1=33,
即tanα=33,；
∴该直线的倾斜角为．
故选：A．
利用两点的坐标,求出直线的斜率,从而求出该直线的倾斜角．
本题考查了利用两点的坐标求直线的斜率与倾斜角的应用问题,是基础题目．
1. 数列{an}的通项公式an=1n+1+n,它的前n项和为Sn=9.则n=( )
A. 9 B. 10 C. 99 D. 100
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的性质和应用,数列求和的方法,解题时要认真审题,仔细解答,属于基础题．
由题意知an=n+1-n,通过Sn=9,求解即可．
【解答】
解：数列{an}的通项公式an=1n+1+n=n+1-n,
Sn=(2-1)+(3-2)+…+(n+1-n)=n+1-1=9．
解得n=99．
故答案为：C．
2. 设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】解：设{an}的前3项为a1,a2,a3,则由等差数列的性质可得a1+a3=2a2,
∴a1+a2+a3=3a2=12,解得a2=4,
由题意可得a1+a3=8a1a3=12,解得a1=2a3=6或a1=6a3=2,
∵{an}是递增等差数列,
∴a1=2,a3=6,
故选：B．
由等差数列的性质可得a1+a3=2a2,又已知a1+a2+a3=12,可得a2=4,故条件转化为a1+a3=8,a1×a3=12,解方程即可求出a1．
本题考查了等差数列的通项公式与等差数列的性质,应用了解方程思想,是高考重点考查的内容．
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1,则Sn=( )
A. 2n-1 B. 2n-1 C. 12(3n-1) D. 3n-1
【答案】D
【解析】解：当n=1时,∵a1=1,2S1=a2,∴a2=2．
当n≥2时,由2Sn=an+1,2Sn-1=an,两式相减得2an=an+1-an,
∴an+1=3an,
∴数列{an}是以a2=2,3为公比的等比数列,
∴Sn=a1+2×(3n-1-1)3-1=3n-1,
当n=1时,上式也成立．
故选：D．
利用当n≥2时,2Sn=an+1,2Sn-1=an,两式相减得3an=an+1,再利用等比数列的前n项和公式即可得出,n=1时单独考虑．
熟练掌握an=Sn-Sn-1(n≥2)及等比数列的前n项和公式是解题的关键．
1. 如图,直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则必有( )
A. k1
α3,且均为锐角．
由于正切函数y=tanx在(0,π2)上单调递增,且函数值为正,所以tanα2>tanα3>0,即k2>k3>0．
当α为钝角时,tanα为负,所以k1=tanα1<0．
综上k112.8,
解得n≥4,
即从第4天开始,走的路程少于30里,
故选：B．
由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列,由求和公式可得首项,可得答案．
本题考查等比数列的求和公式,求出数列的首项是解决问题的关键,属基础题．
1. “m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：当m=12时,直线(m+2)x+3my+1=0的斜率是-53,直线(m-2)x+(m+2)y-3=0的斜率是35,
∴满足k1⋅k2=-1,
∴“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分条件,
而当(m+2)(m-2)+3m⋅(m+2)=0得：m=12或m=-2．
∴“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”充分而不必要条件．
故选：B．
判断充分性只要将“m=12”代入各直线方程,看是否满足(m+2)(m-2)+3m⋅(m+2)=0,判断必要性看(m+2)(m-2)+3m⋅(m+2)=0的根是否只有12．
本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．
1. 已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】C
【解析】解：∵Sn-Sn-3=51(n>3),
∴an+an-1+an-2=51(n>3),又数列{an}为等差数列,
∴3an-1=51(n≥2),
∴an-1=17.(n≥2),
又a2=3,Sn=100,
∴Sn=(a2+an-1)×n2=(3+17)2×n=100,
∴n=10．
故选C．
依题意可求得an-1=17(n≥2),结合a2=3,Sn=100,利用等差数列的性质即可求得n的值．
本题考查数列的求和,突出等差等差数列的性质,考查观察与利用差等差数列的性质分析解决问题的能力,属于中档题．
2. 已知等比数列{an}中的各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a10+a11a8+a9=
A. 1-2 B. 1+2 C. 3-22 D. 3+22
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的定义和性质,等比数列的通项公式的应用,求出q=1+2,是解题的关键,属于中档题．
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q,
∵各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,
∴a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,解得q=1+2,或q=1-2(舍去)．
∴a10+a11a8+a9=a8q2+a8q3a8+a8q=q2+q31+q=3+22．
故选D．
1. 意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*).若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2019项的和为( )
A. 672 B. 673 C. 1346 D. 2019
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查数列的概念及简单表示法,考查推理与运算能力,属于中档题．
由题意可得数列{an}为周期数列,该数列的周期为3,每一周期的和为2,由此可求出答案．
【解答】
解：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……,
此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an},
则{an}：1,1,0,1,1,0,1,1,0,……,
其周期为3,
故数列{an}的前2019项的和S2019=2×20193=1346,
故选C．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=3n+1n+3,则a2+a20b7+b15=______ ．
【答案】83
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用,属于基础题．
根据等差数列的前n项和公式进行转化即可．
【解答】
解：在等差数列中,a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21=a1+a212×2b1+b212×2=S21T21,
∵SnTn=3n+1n+3,∴S21T21=3×21+121+3=6424=83,
故答案为83．
3. 已知三个数1m,1,1n成等差数列；又三个数m2,1,n2成等比数列,则1m+n值为______．
【答案】±12
【解析】解：∵三个数1m,1,1n成等差数列；又三个数m2,1,n2成等比数列,
∴1m+1n=2,m2n2=1,
∴m+nmn=2,mn=±1,
∴1m+n=±12．
故答案为：±12．
由三个数1m,1,1n成等差数列；又三个数m2,1,n2成等比数列,可得1m+1n=2,m2n2=1,即m+nmn=2,mn=±1,由此可求1m+n值.
本题考查等差数列、等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础．
1. 等比数列{an}共有20项,其中前四项的积是1128,末四项的积是512,则这个等比数列的各项乘积是______ ．
【答案】32
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质,属基础题．
由题意可得a1a202=2,而要求的式子等于a1a2010,代值计算可得．
【解答】
解：由题意可得a1a2a3a4=1128,a20a19a18a17=512,
两式相乘结合等比数列的性质可得(a1a20)4=1128×512=4,
解得(a1a20)2=2
∴等比数列的各项乘积等于(a1a20)10=25=32
故答案为：32
1. 若数列满足,则称数列为调和数列。已知数列为调和数列,且,则___________________
【答案】20
【解析】【分析】
本题主要考查新数列定义,及等差数列的重要性质,属中档题型．
利用调和数列及等差数列的求和公式与性质得出即可．
【解答】
解：由题意知：∵数列{1xn}为调和数列,
∴11xn+1-11xn=xn+1-xn=d,
∴{xn}是等差数列
又∵x1+x2+…+x20=200=20(x1+x20)2,
∴x1+x20=20,
又∵x1+x20=x5+x16,
∴x5+x16=20,
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
2. (本小题10分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a5=a4+7且a1+a10=20．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求满足不等式Sn<3an-2的n的值．
【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d,
由a3+a5=a4+7,得2a1+5d=a1+3d+7①．
由a1+a10=20,得10a1+45d=100②,
解得a1=1,d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-1；
(2)因为a1=1,an=2n-1,所以Sn=a1+an2n=n2,
由不等式Sn<3an-2,得n2<3(2n-1)-2,
所以n2-6n+5<0,解得113loga(1-a)对任意的正整数恒成立,求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)∵点(n,sn)在函数y=12x2+12x的图象上,
∴Sn=12n2+12n①,
当n≥2时,Sn-1=12(n-1)2+12(n-1)②,
①-②得an=n,
当n=1时,a1=S1=12+12=1,符合上式,
∴an=n；
(2)由(1)知an=n,则
1anan+2=12(1n-1n+2).
∴Tn=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+…+(1n-1n+2)]
=12(1+12-1n+1-1n+2)
=34-12(1n+1+1n+2).
∵Tn+1-Tn=1(n+1)(n+3)>0,
∴数列{Tn}单调递增,
∴(Tn)min=T1=13．
要使不等式Tn>13loga(1-a)对任意正整数n恒成立,只要13>13loga(1-a),
∵1-a>0,
∴0a,即00,可判断数列{Tn}单调递增,从而可求得a的取值范围．
